Applications of Logarithms (full lesson) | grade 12 MHF4U | jensenmath.ca

Summary

In dieser Lektion werden Logarithmen in verschiedenen praktischen Anwendungen in Chemie und Physik genutzt. Zunächst wird ein logarithmisches Gleichungssystem behandelt, bei dem extrane Lösungen ausgeschlossen werden. Danach wird gezeigt, wie man den pH-Wert mit der Formel für Hydroniumionenkonzentrationen berechnet. Weitere Beispiele beinhalten die Anwendung von Logarithmen im Bereich der Dezibel-Skala zur Messung der Schallintensität sowie die Richter-Skala zur Bestimmung der Erdbebenstärke. Die Lektion bietet praxisnahe Anwendungen von Logarithmen und verdeutlicht deren Nutzen in realen Szenarien.

Takeaways

• 😀 Logarithmische Gleichungen erfordern die Überprüfung auf extraneous roots, die Lösungen sind, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.
• 😀 Bei der Lösung von Logarithmus-Gleichungen müssen alle Variablenterms auf eine Seite der Gleichung verschoben werden, um sie zu lösen.
• 😀 Die Produktregel für Logarithmen ermöglicht es, zwei Logarithmen mit der gleichen Basis zu einer einzigen Logarithmusausdruck zu kombinieren.
• 😀 Logarithmische Ausdrücke sind nur definiert, wenn die Argumente positiv sind. Dies führt zu Einschränkungen für mögliche Lösungen.
• 😀 In der Chemie wird der pH-Wert durch die Formel pH = -log[H⁺] berechnet, wobei [H⁺] die Konzentration von Hydronium-Ionen ist.
• 😀 Der pH-Wert eines Stoffes kann leicht berechnet werden, indem man den negativen Logarithmus der Hydronium-Ionenkonzentration verwendet.
• 😀 Eine Konzentration von Hydronium-Ionen, wie 0.0001 M, entspricht einem pH-Wert von 4, da log(10⁻⁴) = -(-4) = 4.
• 😀 Der pH-Wert gibt an, ob eine Lösung sauer (pH < 7) oder alkalisch (pH > 7) ist, z. B. hat Blut einen pH-Wert von 6,4 und ist leicht sauer.
• 😀 Die Dezibelskala misst den Schallpegel und verwendet die Formel Δβ = 10 * log(I₂/I₁), um den Unterschied der Schallintensitäten zu berechnen.
• 😀 Eine normale Unterhaltung hat eine Intensität, die 1000-mal intensiver ist als ein Flüstern, was sich durch die Dezibelskala als Verhältnis ausdrückt.

Q & A

Was ist ein extranes Ergebnis bei der Lösung von Logarithmusgleichungen?

Ein extranes Ergebnis ist eine Lösung, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt, oft weil sie dazu führt, dass der Logarithmus einen undefinierten Ausdruck hat (z.B. einen negativen oder Nullwert im Argument).

Warum müssen bei Logarithmusgleichungen die Argumente positiv sein?

Logarithmische Ausdrücke sind nur definiert, wenn das Argument positiv ist. Das bedeutet, dass wir sicherstellen müssen, dass alle Ausdrücke innerhalb des Logarithmus größer als Null sind.

Wie wird die pH-Werte-Berechnung mit Logarithmen durchgeführt?

Die Formel für den pH-Wert lautet: pH = -log[H+], wobei [H+] die Konzentration von Hydronium-Ionen in Molen pro Liter darstellt. Der pH-Wert ist der negative Logarithmus der Hydronium-Konzentration.

Wie wird die pH-Berechnung durchgeführt, wenn die Konzentration der Hydronium-Ionen 0,0001 mol/L beträgt?

Da 0,0001 gleich 10^-4 ist, wird der pH-Wert durch Berechnung von -log(10^-4) ermittelt, was zu einem pH-Wert von 4 führt.

Was bedeutet es, wenn der pH-Wert eines Stoffes 6,4 beträgt?

Ein pH-Wert von 6,4 bedeutet, dass der Stoff leicht sauer ist, da der pH-Wert unter 7 liegt und Werte unter 7 als sauer gelten.

Was zeigt die Decibel-Skala?

Die Decibel-Skala misst die Lautstärke oder Intensität von Geräuschen. Sie verwendet Logarithmen, um die Differenz der Schallintensitäten zwischen zwei Geräuschen darzustellen.

Wie wird der Unterschied in der Schallintensität zwischen zwei Geräuschen berechnet?

Der Unterschied in der Schallintensität zwischen zwei Geräuschen wird mit der Formel Δβ = 10 log(I2/I1) berechnet, wobei I2 und I1 die Intensitäten der beiden Geräusche sind.

Wie viel intensiver ist ein normales Gespräch im Vergleich zu einem Flüstern, wenn die Decibelwerte 60 und 30 betragen?

Die Intensität des normalen Gesprächs ist 1000-mal intensiver als das Flüstern, da der Unterschied in den Decibelwerten 30 beträgt und der Intensitätsratios 1000 ergibt.

Wie wird die Intensität eines Geräusches auf der Decibel-Skala berechnet, wenn die Intensität des Geräusches im Verhältnis zur ersten Intensität gegeben ist?

Die Intensität eines Geräusches kann berechnet werden, indem man die Formel Δβ = 10 log(I2/I1) verwendet und die gegebenen Werte für die Intensitäten in die Formel einsetzt. Der berechnete Wert wird dann zur Bestimmung der Lautstärke auf der Decibel-Skala verwendet.

Wie wird die Magnitude eines Erdbebens auf der Richterskala berechnet?

Die Magnitude eines Erdbebens wird mit der Formel M = log(I/I0) berechnet, wobei I die Intensität des Erdbebens und I0 die Intensität eines Standard-Erdbebens ist.