Los Universos Paralelos Ocultos Vienen de Hace Muchos Años...
Summary
TLDRThis script delves into the history and significance of Euclid's 'Elements,' a foundational text in mathematics second only to the Bible in number of editions. It explores the enigmatic fifth postulate, which led to the development of non-Euclidean geometries, such as hyperbolic and spherical geometries. The narrative follows the journey of mathematicians like Gauss, Bolyai, and Lobachevsky, who challenged and expanded Euclidean principles. The script also connects these mathematical concepts to Einstein's theory of general relativity and the curvature of spacetime, highlighting their relevance to understanding the universe's structure. It concludes by discussing the implications of a flat universe and the cosmic microwave background, emphasizing the role of geometry in cosmology.
Takeaways
- 📚 Euclid's 'Elements' was a foundational text in mathematics for over 2000 years, second only to the Bible in the number of editions published.
- 🤔 For centuries, mathematicians were troubled by a single phrase in Euclid's work, which seemed to be an error, but eventually realized that Euclid was not mistaken.
- 🔍 The fifth postulate of Euclid, concerning the uniqueness of parallel lines, was a point of contention and led to the development of non-Euclidean geometries.
- 🌐 The concept of non-Euclidean geometry introduced the idea of multiple parallel lines through a point, which was a radical departure from Euclidean geometry.
- 🛰️ The geometry of our universe, as understood through Einstein's theory of relativity, relies on the understanding of curved spaces, which is a fundamental aspect of non-Euclidean geometry.
- 🧵 The development of non-Euclidean geometry was a significant breakthrough, showing that there are consistent mathematical systems that do not adhere to Euclid's fifth postulate.
- 🎻 Janos Bolyai, a 17-year-old student, spent countless days and nights working on the mystery of parallel lines, leading to the discovery of a new and strange universe within non-Euclidean geometry.
- 🎼 Carl Friedrich Gauss, a renowned mathematician, had also independently discovered non-Euclidean geometry but chose not to publish his findings for fear of ridicule.
- 🌌 The geometry of the universe can be explored through the cosmic microwave background (CMB), which provides a snapshot of the universe at a very early stage.
- 📏 Gauß's experiment attempted to measure the curvature of space itself by measuring the angles of a triangle formed by mountains, which was a precursor to modern cosmological measurements.
- 📉 The Planck mission data suggests that the universe is remarkably flat, with a curvature close to zero, which is a significant finding in cosmology.
Q & A
What is the significance of Euclid's 'Elements' in the history of mathematics?
-Euclid's 'Elements' is significant as it was the reference text for over 2000 years and has been published in more editions than any other book except the Bible. It summarized all known mathematics at the time, establishing a foundation for geometry and number theory.
What was the main issue with the fifth postulate of Euclid's 'Elements'?
-The fifth postulate, also known as the parallel postulate, was problematic because it seemed more complex than the other postulates and appeared to be a mistake. It states that if a straight line crosses two other straight lines and forms inner angles on the same side that are less than two right angles, the two lines will eventually intersect on that side.
What is the parallel postulate and why was it so controversial?
-The parallel postulate states that for a given line and a point not on that line, there is exactly one line through the point that does not intersect the given line. It was controversial because it was more complex than Euclid's other postulates, and many mathematicians attempted to prove it as a theorem from the first four postulates without success.
Who was Janos Bolyai and what did he discover?
-Janos Bolyai was a Hungarian mathematician who, despite warnings from his father, dedicated himself to solving the mystery of the parallel postulate. He discovered a new and strange universe where more than one line could be parallel to a given line, leading to the development of non-Euclidean geometry.
What is non-Euclidean geometry and how does it differ from Euclidean geometry?
-Non-Euclidean geometry is a type of geometry in which the first four postulates of Euclid are accepted, but the fifth postulate (parallel postulate) is not. It differs from Euclidean geometry in that it allows for more than one line to be parallel to a given line through a point not on the line, and it is based on different assumptions about the nature of space.
What is the Poincaré disk model of hyperbolic geometry?
-The Poincaré disk model is a visual representation of hyperbolic geometry where the entire hyperbolic plane is represented within a disk. In this model, lines are represented as circular arcs that are orthogonal to the boundary of the disk, and points are within the disk. It demonstrates the properties of hyperbolic geometry, such as the fact that the sum of angles in a triangle is less than 180 degrees.
How did Carl Friedrich Gauss contribute to the understanding of non-Euclidean geometry?
-Carl Friedrich Gauss was a mathematician who, independently of Bolyai, discovered non-Euclidean geometry. He found that it was consistent and named it 'non-Euclidean' geometry. However, he decided not to publish his findings for fear of ridicule. Gauss also contributed to the understanding of the geometry of the Earth and the consistency of spherical geometry.
What is the significance of the discovery of gravitational waves?
-The discovery of gravitational waves is significant as it confirms predictions made by Einstein's theory of general relativity. Gravitational waves are ripples in the fabric of spacetime caused by some of the most violent and energetic processes in the universe, such as the merger of black holes.
How does the theory of general relativity relate to the geometry of the universe?
-The theory of general relativity posits that massive objects curve spacetime around them, and this curvature affects the motion of other objects. The theory is based on the idea that the geometry of spacetime is not flat but curved, and this curvature is what we perceive as gravity.
What is the cosmic microwave background (CMB) and why is it important for understanding the universe's geometry?
-The cosmic microwave background (CMB) is the thermal radiation left over from the early universe, shortly after the Big Bang. It is important for understanding the universe's geometry because it provides a snapshot of the universe when it was only 380,000 years old. By studying the CMB, scientists can measure the curvature of the universe and determine whether it is flat, spherical, or hyperbolic.
What is the current understanding of the universe's curvature based on observations?
-Based on observations from missions like Planck, the current understanding is that the universe is very close to being flat, with a curvature of approximately zero within the margin of error. This suggests that the geometry of the universe is Euclidean on large scales.
Outlines
📚 The Legacy and Mystery of Euclid's Elements
This paragraph delves into the historical significance of Euclid's 'Elements,' which, aside from the Bible, has been published more than any other book and served as the reference text for over 2000 years. It discusses a lingering doubt among mathematicians about a single phrase that seemed erroneous. The narrative then shifts to reveal that Euclid was not mistaken, but rather, small changes in the interpretation of this phrase opened up new and strange mathematical universes. The paragraph concludes with the intriguing discovery that these universes are crucial for understanding our own universe, setting the stage for a deep dive into the evolution of mathematical thought.
🤔 The Euclidean Postulate and the Search for Truth
The focus here is on Euclid's approach to summarizing all known mathematics into a single comprehensive book, the 'Elements,' which included 465 theorems based on definitions, common notions, and postulates. The paragraph particularly highlights the fifth postulate, which has been a subject of debate for centuries. It describes the attempts by various mathematicians to prove or disprove it, leading to the realization that it might be an independent axiom. The narrative introduces the concept of parallel lines and the implications of the fifth postulate on the understanding of Euclidean geometry.
🌐 The Birth of Non-Euclidean Geometries
This paragraph introduces the revolutionary idea of non-Euclidean geometries, which challenged the traditional Euclidean model. It tells the story of János Bolyai, a young mathematician who, against his father's advice, dedicated himself to solving the mystery of parallel lines. Bolyai's work led to the discovery of hyperbolic geometry, a geometry where multiple lines can be parallel to a given line through a point not on it. The paragraph explains the concept of geodesic lines on curved surfaces and introduces the hyperbolic plane, which is likened to a crochet piece that expands exponentially, creating infinite folds.
🎻 Bolyai's Life and the Development of Non-Euclidean Geometry
The narrative shifts to Bolyai's personal life, highlighting his multiple passions, including mathematics, playing the violin, and dueling. It describes his arrogance and the difficulties it caused in his military career, particularly an incident where he dueled with 13 officers. Despite his love for dueling, Bolyai's first love remained mathematics. The paragraph also discusses Carl Friedrich Gauss's independent discovery of non-Euclidean geometry and his decision not to publish his findings for fear of ridicule. It touches on the concept of spherical geometry and Gauss's work as a geodesist, which involved measuring the Earth.
🌌 The Evolution of Geometric Understanding and the Impact of Gauss
This paragraph discusses the evolution of non-Euclidean geometry and Gauss's pivotal role. It reveals that Gauss's private correspondence acknowledged the consistency of non-Euclidean geometry and his own earlier discoveries in this field. The narrative also covers the development of spherical geometry as a valid non-Euclidean geometry, following a modification to Euclid's second postulate. The paragraph concludes with a reflection on Euclid's fifth postulate, suggesting that while Euclid was correct, his approach to defining fundamental geometric concepts was flawed.
🛰️ The Implications of Curved Geometries in Modern Physics
The final paragraph explores the implications of curved geometries in the context of Einstein's theory of general relativity. It explains how Einstein's happiest thought led to the understanding that gravity is not a force but a curvature of spacetime caused by massive objects. The paragraph describes how this curvature affects the paths of light and the perception of straight lines, as evidenced by the observation of a supernova and gravitational lensing. It concludes with the current understanding that the universe is flat, based on measurements from the cosmic microwave background (CMB), and reflects on the significance of these mathematical concepts in understanding the fabric of the universe.
Mindmap
Keywords
💡Euclid
💡Postulates
💡Non-Euclidean Geometries
💡Hyperbolic Geometry
💡Spherical Geometry
💡Geodesics
💡Poincare Disk Model
💡General Theory of Relativity
💡Gravitational Lensing
💡Cosmic Microwave Background (CMB)
💡Flat Universe
Highlights
A single phrase in one of the oldest math books held the key to understanding the universe.
Euclid's 'Elements' has been published in more editions than any other book except the Bible and was the reference text for over 2000 years.
Mathematicians had doubts about a phrase that seemed like a mistake in Euclid's work.
Euclid's fifth postulate, also known as the parallel postulate, was the subject of controversy and attempts to prove it from the first four postulates.
Attempts to prove the fifth postulate directly failed, leading to alternative approaches like proof by contradiction.
The concept of non-Euclidean geometry emerged when mathematicians like Alhazen and Omar Khayyam explored the implications of the fifth postulate being false.
János Bolyai spent years working on the parallel postulate and eventually imagined a world where more than one line could be parallel to a given line through a point.
Bolyai's work led to the discovery of hyperbolic geometry, where multiple lines can be parallel to a given line on a curved surface.
Hyperbolic geometry was further developed with the Poincaré disk model, where lines are arcs of circles intersecting the disk at right angles.
Carl Friedrich Gauss, a prominent mathematician, had also explored non-Euclidean geometry but chose not to publish his findings for fear of ridicule.
Gauss's work on spherical geometry, which is relevant to our understanding of the Earth's surface, contributed to the development of non-Euclidean geometries.
Nikolai Lobachevsky independently discovered non-Euclidean geometry before Bolyai, but his work was published later.
Euclid's fifth postulate turned out to be correct, but his definitions of points, lines, and planes were criticized for being recursive and lacking clarity.
The development of non-Euclidean geometries challenged the traditional Euclidean model and expanded our understanding of mathematical space.
Einstein's theory of general relativity, proposed in 1915, is based on the principles that the laws of physics are the same in all inertial frames and that the speed of light is constant.
In general relativity, gravity is not a force but a curvature of spacetime caused by massive objects.
The behavior of light and objects in a gravitational field, such as a galaxy acting as a gravitational lens, demonstrates the curvature of spacetime.
Observations of gravitational waves and the cosmic microwave background (CMB) provide evidence for the predictions of general relativity and the curvature of spacetime.
The Planck mission data suggests that the universe is flat, with a curvature close to zero, which is consistent with the predictions of general relativity.
The study of non-Euclidean geometry and its implications has been fundamental in understanding the universe and the theory of general relativity.
Transcripts
una sola frase en uno de los libros de
matemáticas más antiguos tenía la clave
para comprender el universo elementos de
euclides se ha publicado en más
ediciones que ningún otro libro Con
excepción de la Biblia fue el texto de
referencia por más de 2000 años pero
durante ese tiempo los matemáticos
tenían dudas de una sola frase que
parecía un
error a la larga algunos de los mejores
matemáticos se dieron cuenta de que
después de todo euclides no se equivocó
Pero había más en la historia pequeños
cambios en esta frase abrieron universos
nuevos y extraños de la
nada sorprendentemente 80 años después
descubrimos que esos extraños universos
son clave para entender nuestro propio
[Música]
universo alrededor del 300 antes de
Cristo el matemático griego euclides
asumió un proyecto enorme resumir todas
las matemáticas conocidas en ese
entonces para básicamente crear un solo
libro que contuviera todo lo que se
sabía de las
Matemáticas pero no era una tarea fácil
antes de euclides había un pequeño
problema con las matemáticas se
demostraban las cosas pero lo hacían
dándole vueltas porque un triángulo
tiene 180 gr Porque si tomas dos líneas
par sí Pero puede haber paralelas Ah
puedes hacer un cuadrado Pero por qué
existe el cuadrado había esta
recursividad infinita de la razón
fundamental por la que algo es verdadero
es como en el diccionario cada palabra
se define en función de otras palabras
Cómo se llega a la verdad fundamental
euclides usó la solución que
introdujeron los griegos aceptemos que
unas cuantas de las cosas más simples y
básicas son
verdaderas Estos son nuestros postulados
con base en los postulados podemos
probar teoremas de uno en uno para
construir la matemática usando la lógica
mientras estas primeras afirmaciones
sean verdaderas todo lo que siga a
partir de ellas debe debe ser
definitivamente verdadero perfeccionó la
regla de oro de las pruebas matemáticas
rigurosas en la que se basa toda la
matemática moderna euclides usó este
método cuando publicó su serie de 13
libros llamada elementos en la que
demostró
465 teoremas cubriendo casi todas las
matemáticas conocidas por entonces
incluso geometría y teoría de números y
todos estos teoremas se basaban en
algunas definiciones unas cuantas
nociones comunes y
postulados vamos directo al libro uno y
este libro empieza en definiciones por
ahí hay que empezar las definiciones son
un punto es lo que no tiene partes una
línea es una longitud sin anchura y los
extremos de una línea Son puntos por
línea se refería a una curva y esta
tiene
extremos una línea recta es aquella que
yace igualmente respecto a sus puntos
etcétera etcétera hizo 23 definiciones y
luego están los cinco postulados
los primeros cuatro son sencillos uno si
tienes dos puntos puedes trazar una
línea recta entre ellos dos toda línea
recta se puede prolongar
indefinidamente tres dado un centro y un
radio se puede trazar un círculo y
cuatro todos los ángulos rectos son
iguales entre sí el postulado cinco se
pone más serio Qué es que si una línea
recta al incidir sobre dos líneas rectas
hace los ángulos interiores del mismo
lado menores que dos ángulos rectos
las dos líneas rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán en el
mismo lado de los ángulos menores a dos
ángulos
rectos de qué Rayos está hablando es un
postulado los demás son como de media
oración y son más que obvios y llega el
cinco de repente y es todo un párrafo
Qué está
haciendo esto hizo sospechar a los
matemáticos parecía que euclides se
había equivocado el filósofo griego
proclo pensó que el postulado C de debía
incluso ser eliminado de los postulados
porque es un teorema pero si es un
teorema deberíamos poder demostrarlo a
partir de los primeros cuatro postulados
y esto fue lo que muchos intentaron
algunos Incluyendo a tolomeo y proclo
creyeron que lo habían logrado pero no
era así de hecho todo lo que pudieron
hacer fue reformular el postulado cinco
con otras
palabras este es uno de esos enunciados
si tienes una recta y un punto que no
está en esa recta entonces hay un una
única recta que será paralela a la
primera recta Esta es la razón de que el
quinto postulado a veces se le llame el
postulado de las paralelas cuando falló
el método de la demostración directa
otros matemáticos como alhen y Omar
kayam intentaron un enfoque distinto la
prueba por contradicción La idea es
simple mantienes los primeros cuatro
postulados iguales pero asumes que el
quinto es falso entonces usas esos
nuevos postulados para demostrar
teoremas Y si llegas a una contradicción
por ejemplo verdadero es igual a falso
entonces significa que tu nuevo quinto
postulado debe estar equivocado y por
tanto la única opción restante es que la
versión de euclides del quinto postulado
es correcta y habrás demostrado El
quinto postulado y Qué pasaría si el
quinto postulado fuera falso Según
euclides por un punto que no está en una
recta puede pasar solo una recta que sea
paralela a la primera una alternativa es
que no se pudieran trazar rectas
paralelas que pasen por ese punto Ay
Quiénes lo entar y vieron que entonces
la longitud de las líneas tenía que ser
finita y eso no puede ser esa opción se
descartó contradecía el segundo
postulado que dice que las rectas se
pueden prolongar
indefinidamente la otra alternativa es
que se puede trazar más de una línea
paralela por un punto que no esté en la
primera recta Así que eso es lo que
hicieron asumieron que el quinto
postulado fallaba y pensaban esto tiene
que estar mal Dónde está la no podían
encontrar la contradicción entonces la
prueba por contradicción también falló
en total los matemáticos pararon más de
2000 años tratando de probar El quinto
postulado pero todos los que trataron
[Música]
fallaron y así cerca de 1820 hanos bolay
un estudiante de 17 años comenzó a pasar
sus días y noches trabajando en este
misterio su papá se preocupó y le
escribió a su hijo no Deberías intentar
este acercamiento a las paralelas
conozco ese camino hasta el final ya
atravesé esa noche sin fondo que
extinguió toda la luz y alegría de mi
vida te lo ruego deja la ciencia de las
paralelas por la paz aprende de mi
ejemplo pero el joven bolay no le hizo
caso a su padre no podía dejar la
ciencia de las paralelas por la paz
después de años de trabajo se dio cuenta
de que tal vez el quinto postulado no
podía probarse con los otros cuatro
podía ser totalmente
independiente de acuerdo con euclides
solo puede pasar una línea paralela por
un punto pero volay imaginó un mundo en
el que pudieran pasar más de una línea
paralela por ese punto Pero cómo bueno
Quién dijo que se necesitaba tener una
superficie plana en una superficie curva
como esta se pueden trazar más de una
línea que sea paralela a la recta
original pero esperen un momento esas
líneas no se ven
rectas Bueno lo que hace especial a las
líneas rectas es que son el camino más
corto entre dos puntos en esta
superficie esos caminos más cortos se
ven curvados porque las superficie es
curva aquí hay un ejemplo más familiar
los aviones intentan Volar por el camino
más corto entre dos ciudades básicamente
vuelan en línea recta pero esa línea no
se ve recta en un mapa porque la
superficie es curva estos caminos más
cortos en superficies curvas se llaman
geodésicas entonces todas estas líneas
son rectas pero no se ven rectas porque
el mundo que imaginó B era curvo ahora
conocemos esto como geometría
hiperbólica
cuando solía pensar en un plano
hiperbólico me lo imaginaba como una
enorme silla de montar pero en realidad
no es así el plano hiperbólico se parece
mucho más a esta pieza de crochet
empieza muy plano y uniforme en el
centro Pero conforme se mueve hacia
fuera se crea cada vez más y más tela Y
eso aleja a las líneas
paralelas y entre más afuera vayamos la
cantidad de tela va a crecer
exponencialmente y termina provocando
estos pliegues Así que si quieres pensar
en el plano hiperbólico creo que debes
pensar en sillas de montar en sillas de
montar en sillas de montar como un caos
de pliegues infinitos pero esa pequeña
pieza de crochet no es todo el plano
hiperbólico para mostrarlo tenemos que
hacer un mapa uno en donde quepa todo el
plano en un
disco para Mostrar cómo funciona vamos a
llenar todo el plano con estos
triángulos empezando en el centro como
en el crochet todo se ve muy normal Pero
conforme nos alejamos del centro tenemos
todo este espacio extra y podemos meter
más y más triángulos Parece que son más
chicos Pero en realidad son del mismo
tamaño ahora como el plano hiperbólico
es infinito se pueden agregar triángulos
por siempre y todos tienen que caber en
el disco a medida que nos acercamos a la
orilla los triángulos van a parecer cada
vez más
pequeños infinitamente más pequeños
interminables y nunca lograremos
alcanzar la orilla
esto se conoce como el modelo del disco
de poincare aquí las líneas rectas son
arcos de círculos que intersecan el
disco a 90 gr Y al igual que en la forma
original una línea recta en el centro se
ve recta mientras que las líneas rectas
cercanas a ella Parecen
curvarse lo extraordinario es que bji
aún no tenía un modelo de geometría
hiperbólica solo estaba trazando
triángulos euclidianos asumiendo que el
quinto postulado de euclides no se
sostenía Y aunque bji descubrió que el
comp atamiento en la geometría
hiperbólica es muy distinto al de la
euclidiana matemáticamente parecía igual
de
consistente en 1823 hanos con 20 años le
escribió a su papá descubrí cosas tan
maravillosas que me
fascinaron de la nada creé un nuevo y
extraño
universo pero Bay había estado haciendo
más que solo abordar antiguos misterios
matemáticos en sus 20 se unió al
ejército donde siguió desarrollando
otras dos de sus pasiones tocar el
violín y batirse en Duelo dominaba a
ambas pero Especialmente con la espada
no tenía rival quizá por sus muchos
talentos bolay se volvió arrogante y le
era difícil aceptar la autoridad de sus
superiores eso hacía que fuera difícil
llevarse bien con él esto llegó a un
punto álgido cuando durante uno de sus
despliegues 13 oficiales de caballería
de su guarnición lo retaron a un duelo
Bay aceptó el reto con la condición de
que después de cada dos duelos pudiera
tocar su violín un momento bji peleó con
cada uno sucesivamente y ganó los 13
duelos dejando a sus adversarios en la
[Música]
plaza Aunque a bolj le encantaban los
duelos su primer amor seguía siendo las
matemáticas en 1832 9 años después de
haber descubierto su extraño y nuevo
universo publicó sus hallazgos como un
apéndice de 24 páginas en el libro de
texto de su padre farcas bolji
extremadamente orgulloso y emocionado
por el trabajo de su hijo se lo envió a
quien Quizá es el mejor matemático de
todos los tiempos Carl thed gaus después
de estudiarlo detenidamente gaus
respondió meses después elogiarlo
equivaldría a elogiarme a mí mismo ya
que todo el contenido de la obra
coincide casi exactamente con mis
propias meditaciones que han ocupado mi
mente los últimos 30 o 35
años años antes gaus había recorrido un
un camino similar en 1824 Le escribió
una carta privada a uno de sus amigos en
la que describía haber descubierto una
geometría curiosa con teoremas
paradójicos y para los no iniciados
absurdos por ejemplo escribía gaus los
tres ángulos del triángulo pueden ser
tan pequeños como se desee si solo se
toman los lados lo suficientemente
grandes sin embargo el área del
triángulo nunca puede exceder un límite
definido En otras palabras se puede
tener un triángulo infinitamente largo
pero el área es
finita se puede ver por qué con el
modelo del disco de poincare un
triángulo pequeño se ve bastante normal
Pero conforme se hace más grande los
ángulos se vuelven cada vez más pequeños
finalmente todos esos ángulos llegan a
cero porque estas rectas intersecan el
disco a 90 gr estas rectas son
infinitamente largas pero debido a la
geometría el área es
finita en la misma carta privada gaus
escribía todos mis esfuerzos por
descubrir una contradicción o
inconsistencia en esta geometría no
euclidiana han sido
infructuosos al igual que bolji gaus
descubrió que esta geometría era
absolutamente consistente la nombró
geometría No euclidiana un nombre que se
quedó describe geometrías en las que se
cumplen los primeros cuatro postulados
pero no el quinto pero gaus decidió no
publicar sus hallazgos por temor a
quedar en ridículo esta aversión a un
tipo distinto de geometría Debería ser
al menos un poco sorprendente Porque
existe otra geometría con la que
deberíamos estar muy familiarizados la
geometría esférica ya que todos vivimos
en una esfera en una esfera las líneas
rectas son parte de círculos máximos que
son los círculos con la mayor
circunferencia posible en la tierra el
Ecuador y los meridianos son ejemplos de
círculos
máximos y podemos usar esto para ver
cómo se comportan las líneas rectas
estas líneas parecen ir en la misma
dirección Pero conforme se prolongan se
puede ver que se intersecan una vez y
otra vez al otro lado de la tierra y
esto siempre ocurre para dos círculos
máximos porque cada uno debe tener la
mayor circunferencia posible por eso en
una esfera no hay líneas
paralelas gaus llevaba mucho tiempo
fascinado por la geometría esférica
además era un geodesta y a menudo tomaba
medidas de la tierra en la década de
1820 le dieron la tarea de medir el
reino de Hanover para ayudar a hacer un
mapa como parte de su medición escaló
las montañas cercanas a gotinga con la
ayuda de gente situada en otros puntos
de referencia pudo medir cuidadosamente
los ángulos de varios triángulos que
luego serían usados para determinar la
posición de un lugar con respecto a otro
como referencia para la medición y para
ayudar a determinar la redondez de la
tierra midieron con precisión los
ángulos de un gran triángulo formado por
tres
montañas pero a pesar de sus ideas
románticas de tomar mediciones en la
cima de las montañas gaus No era el
correspondiente más amable cuando volay
Recibió la respuesta de su héroe se
sintió devastado porque creyó que gaus
estaba intentando socavar lo y robarle
sus ideas quedó tan resentido por la
respuesta de gaus que nunca volvió a
publicar en 1848 volay tuvo que soportar
otra pena cuando se enteró de que el
matemático ruso nikolai lobachevski
había descubierto por su cuenta la No
euclidiana mucho antes que Bay publicara
su apéndice de 24
páginas cuando Bay murió en 1860 dejó
20.000 páginas de manuscritos
matemáticos sin publicar él no supo que
gaus había descubierto la geometría no
euclidiana por su cuenta ni que después
de recibir el apéndice gaus Le escribió
a un amigo Considero que Este joven
geometra bolay es un genio de primer
nivel
[Música]
mientras Bay se amargaba la geometría no
euclidiana siguió desarrollándose hasta
1854 la geometría esférica no se
consideraba geometría no
euclidiana debido a que en una esfera
las líneas no se pueden prolongar
indefinidamente esto es con lo que se
toparon los matemáticos anteriores Y por
lo que descartaron esta geometría ya que
el segundo postulado de euclides no se
sostenía pero en 1854 ran modificó el
segundo postulado de una prolongación
infinita algo que es entre comillas
ilimitado y así el segundo postulado se
sostiene en una
esfera con este cambio la geometría
esférica se convirtió en otra geometría
nu euclidiana válida utilizando los
cuatro postulados generalizados y
tomando el quinto como que no hay líneas
paralelas ahora se puede derivar la
geometría esférica o
elíptica consideras que el quinto
postulado fue un error hubiera sido
mejor que no lo hubiera escrito nunca si
no lo hubiera escrito habría arriesgado
su geometría porque no hubiera podido
demostrar mucho de lo que él decía es
muy hermoso que lo haya escrito es
hermoso que la gente pasara 2000 años
tratando de refutarlo solo para
descubrir que de hecho tenía razón
cuando él escribió esto pero aunque
euclides se acertó al escribir El quinto
postulado cometió un error distinto Este
es el problema con lo que estaba
haciendo euclides definición uno un
punto es lo que no tiene partes Qué es
tener una parte Qué es una parte Qué es
no tener partes una línea es una
longitud sin anchura Qué es tener
anchura ya se Igualmente respecto a sus
puntos de qué Rayos está hablando lo
leímos hace dos minutos y todos dijimos
sí tiene sentido lo que dice no tiene
sentido no me des una definición que va
a tener una recursividad infinita si
defines algo en función de otras cosas
entonces Define esas cosas Si me dices
que es eso Entonces dime que es es lo
anterior a eso definir es una mala idea
no deberías tener definiciones sino
términos indefinidos no voy a decirte
que es un punto no voy a decirte que es
una recta no voy a decirte que es un
plano solo voy a decirte cuáles son los
postulados que se supone que satisfacen
Lo importante es la relación entre los
objetos no la definición de los objetos
en sí y cuando abres tu mente a esa
posibilidad de repente te das cuenta de
que hay un mundo geométrico
perfectamente válido en el cual línea
significa Círculo máximo y plano
significa esfera y punto es un punto en
una esfera Y entonces se satisfacen
cuatro de esos axiomas pero no el quinto
y de manera similar hay otro modelo
llamado modelo del disco para el espacio
hiperbólico en el cual el disco es el
plano y cuando digo líneas rectas me
refiero a arcos de círculos que son
ortogonales al disco y los puntos Son
puntos dentro del disco y el disco es el
plano se puede pensar en la geometría
como un juego los primeros cuatro
postulados son las reglas básicas
necesarias para jugar el juego y el
quinto postulado selecciona el mundo en
el que vas a jugar si eliges que no haya
líneas paralelas vas a jugar en
geometría esférica si eliges una línea
paralela vas a jugar en geometría plana
y si eliges más de una línea paralela
vas a jugar en geometría
hiperbólica pero ran decidió llevarlo un
paso más allá en lugar de elegir jugar
en un solo mundo por qué no combinarlos
todos en
uno durante su discurso inaugural en
1854 sentó las bases para una geometría
en la que la curvatura podría variar de
un lugar a otro una parte podría ser
plana otra un poco curva e incluso otra
parte con una curvatura
profunda a tres o más
dimensiones en 168 se produjo otro gran
avance cuando Eugenio beltrami demostró
inequívocamente que las geometrías
hiperbólica y esférica eran tan
consistentes como la geometría plana de
euclides es decir si hubiera alguna
inconsistencia en la geometría
hiperbólica o en la esférica tendría que
estar presente también en la geometría
plana las perspectivas de estas nuevas
geometrías eran magníficas y resulta que
esto era solo el
principio en 1905 Einstein propuso la
teoría de la relatividad especial que se
basa en Solo dos postulados uno las
leyes de la física son las mismas en
todos los sistemas de referencia
inercial y dos la velocidad de la luz en
el vacío es la misma para todos los
observadores inerciales En consecuencia
el espacio y el tiempo deben ser
relativos Pero eso generaba un problema
para la gravedad newtoniana porque según
Newton la fuerza de la gravedad es
inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre los dos objetos pero
en la relatividad especial de Einstein
esa distancia ya no está bien definida
En qué sistema de referencia estamos
midiendo Einstein tenía que encontrar
una manera de conciliar la relatividad y
la gravedad dos años después en 1907
Einstein tuvo el pensamiento más feliz
de su vida se imaginó a un hombre
cayendo del tejado de una casa y lo que
alegró tanto a Einstein es que se dio
cuenta de que mientras el hombre
estuviera cayendo Se sentiría
absolutamente ingrávido Y si soltara un
objeto este permanecería en un
movimiento uniforme con relación a él
sería como estar en el espacio lejos de
cualquier masa flotando en una nave
espacial a una velocidad constante y ese
es un observador inercial y el gran
descubrimiento es que Einstein se dio
cuenta de que no son similares son
idénticos porque no hay experimento que
pueda hacerse para determinar si estás
en caída libre en un campo gravitatorio
uniforme o si estás en el espacio
profundo lejos de cualquier cuerpo
masivo por tanto el hombre en caída
libre también debe ser un observador
inercial es decir no está acelerando ni
experimentando ninguna fuerza de
gravedad pero si la gravedad no es una
fuerza cómo se explican cosas como que
la estación espacial orbite la tierra no
debería salir volando en línea recta los
astronautas de la estación espacial
también se sienten ingrávidos y Esa es
la clave es como si viajaran a velocidad
constante en línea
recta se siente así porque eso es
precisamente lo que están haciendo viaj
en línea recta Entonces cómo podría esa
línea recta parecer curva a un
observador distante La respuesta es
porque el espaciotiempo en el que se
encuentra esa línea recta es
curvo verán los cuerpos masivos curvan
el espacio-tiempo y los objetos que se
mueven por el espaciotiempo curvo
seguirán el camino más corto a través de
esa geometría curvada la geodésica y
mientras los astronautas de la estación
espacial sigue en una línea recta esta
parecerá curva a un observador distante
porque la tierra curva el espaciotiempo
o a su
alrededor el comportamiento de las
líneas rectas en geometrías curvas es
fundamental para comprender el universo
en que vivimos y en los más de 100 años
que van desde su publicación la teoría
general de la relatividad ha tenido un
éxito
notable en 2014 los astrónomos
observaron brevemente una supernova la
muerte violenta y sumamente brillante de
una estrella de hecho vieron exactamente
la misma supernova en cuatro lugares
diferentes Cómo Pues en entre la
supernova y la Tierra había una galaxia
masiva que curva el espacio-tiempo la
luz de la supernova que se propagaba en
todas direcciones seguía varios caminos
distintos para llegar a la Tierra y
cuatro de ellos llegaron aproximadamente
al mismo tiempo la galaxia sirvió como
una lente gravitatoria inmensa los
astrónomos se dieron cuenta de que otras
galaxias del cúmulo también podrían
captar la luz de esa supernova pero con
longitudes de trayectoria y potenciales
gravitatorios diferentes por lo que la
luz llegaría a la Tierra en momentos
distintos tras una cuidadosa
modelización predijeron que deberían ver
una repetición de esa supernova justo un
año después y el 11 de diciembre de 2015
tal como Se predijo volvieron a ver la
misma
supernova además de poder observar los
efectos de la curvatura del
espaciotiempo ahora incluso podemos
medir Las ondas del propio espacio
tiempo ondas gravitatorias formadas por
sucesos cósmicos muy muy lejanos como la
fusión de agujeros negros y según un
estudio reciente de nanog grab El tejido
espacio temporal parece estar repleto de
restos de grandes sucesos cósmicos en
los 100 años transcurridos desde la
publicación de la relatividad general
innumerables descubrimientos han
corroborado sus predicciones y en su
núcleo se encuentran las geometrías
curvas de bolji y riman pero hasta ahora
todos los efectos que hemos visto son
distorsiones locales del
espaciotiempo Cuál es la forma de todo
el el
universo usando las diferencias entre
las geometrías también podemos
averiguarlo en la geometría plana
Esperamos que todos los ángulos de un
triángulo sumen 180 gr sin falta Pero en
geometría esférica los ángulos no suman
180 gr sino más del mismo modo en
geometría hiperbólica los ángulos suman
menos de 180 gr para determinar la forma
del universo basta con medir los ángulos
de un
triángulo y medir un triángulo es
precisamente lo que hacía gaus hace 200
años de hecho esto llevó a algunos a
especular con que en realidad estaba
intentando medir la curvatura del
espacio mismo el ángulo que encontró 180
gr dentro del error de
observación Pero eso no Debería ser muy
sorprendente tomemos como ejemplo este
globo que se aproxima a una esfera Si
trazo en él un pequeño triángulo la
superficie en la que dibujo es
prácticamente plana y los ángulos dentro
del triángulo sumarán esencial m 180 gr
pero si hago el Triángulo lo
suficientemente grande entran en juego
los efectos de la curvatura Y entonces
los ángulos del triángulo sumarán más de
180 gr y Este era el problema del
experimento de gaus Incluso si intentaba
medir la curvatura del espacio en Sí de
lo cual no hay pruebas sólidas el
triángulo que midió habría sido
demasiado pequeño en relación con el
tamaño del
universo entonces para superar el
problema de escala que encontró gaus
tenemos que ampliar los triángulos
formados entre montañas hasta los
triángulos más grandes que podamos y
como mirar cada vez más lejos es lo
mismo que mirar al pasado tenemos que
retroceder en el tiempo lo más posible
hasta la primera luz que podemos ver el
fondo cósmico de microondas o cmb en
inglés una imagen de cuando el universo
tenía solo 380,000 años Aunque el cmb es
casi totalmente uniforme hay algunos
puntos ligeramente más calientes o más
fríos sabemos A qué distancia está el
cmb Así que si podemos calcular el
tamaño de uno de esos puntos podremos
trazar un triángulo cósmico se cree que
las primeras variaciones de densidad y
temperatura se originaron a partir de
fluctuaciones cuánticas en el universo
primitivo que luego estallaron al
expandirse el universo debido a esta
rápida expansión no todas las regiones
pudieron estar en contacto causal con la
información que tenemos de cómo ilusionó
el universo primitivo los astrónomos
pueden predecir Con qué frecuencia
deberían aparecer manchas de distintos
tamaños en el cmb eso es lo que muestra
este espectro de potencia básicamente es
un histograma de la frecuencia con la
que debería producirse cada punto si el
universo es plano ahora tenemos algo con
qu comparar nuestra medición si el
universo es plano el ángulo que midamos
en el cielo Debería ser el mismo que
esperamos pero si el universo es curvo
como una esfera los ángulos del
triángulo deberían sumar más de 180 gr
por lo que el ángulo que midamos sería
mayor que el previsto y este pico se
desplazaría a la izquierda De igual
forma si el universo tiene una geometría
hiperbólica las manchas serían más
pequeñas de lo previsto y este pico se
desplazaría a la derecha Entonces qué
medimos Esta es la información de la
misión plank que es prácticamente la que
esperaría si el universo fuera plano
esta misión también nos da la mejor
estimación actual de la curvatura del
universo que es de punto C 007 má menos
pun
0019 eso es básicamente cero dentro del
margen de error Así que estamos bastante
seguros de que el universo en que
vivimos es
plano pero vivir en un universo plano
Parece ser extraordinariamente fortuito
actualmente la densidad de masa energía
promedio se reduce al equivalente de
unos seis átomos de hidrógeno por metro
cúbico si en promedio hubiera habido un
átomo de hidrógeno más el universo
tendría una forma curva más esférica si
hubiera habido uno menos la curvatura
sería de geometría hiperbólica Y hasta
ahora no estamos seguros de Por qué el
universo tiene la densidad de más
energía que
tiene lo que sí sabemos Es que la
relatividad general es una de las
mejores teorías físicas de la realidad y
en su esencia están esas geometrías
paradójicas y Aparentemente absurdas que
encontramos Gracias a que los
matemáticos pasaron más de 2000 años
pensando en una sola frase del texto
matemático más famoso del
[Música]
mundo
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