[SER222] Asymptotics (1/5): Bounding Functions
Summary
TLDREste video introduce la idea de 'enmarcar' una función, esencial en análisis asintóticos. Se explica cómo crear funciones que sean siempre mayores o menores que la función original, proporcionando límites superior e inferior. Estas 'funciones de enmarcado' son útiles para entender el comportamiento a largo plazo de una función, ignorando detalles a corto plazo. Se enfatiza la importancia de examinar el límite cuando las entradas son grandes, evitando casos especiales y centrándose en el comportamiento general.
Takeaways
- 📐 La idea de 'bounding a function' es crear una función que está siempre por encima o por debajo de otra función original.
- 🔼 Una 'upper bound' es una función que siempre es más grande que la función original para valores suficientemente grandes de n.
- 🔽 Una 'lower bound' es una función que siempre es más pequeña que la función original.
- 🌐 La boundedness ayuda a entender el comportamiento de una función sin tener que conocerla directamente.
- 📉 La aproximación asintótica se enfoca en el comportamiento de las funciones cuando n se hace muy grande, ignorando el comportamiento inicial.
- 🚫 La asintótica evita preocuparse por casos especiales que ocurren con entradas pequeñas a programas.
- 📈 Las funciones de crecimiento (growth functions) se utilizan para modelar el número de operaciones necesarias para resolver problemas de diferentes tamaños.
- 🔍 La derivación de una función de crecimiento es un tema que se explorará más adelante en el video.
- 📊 La visualización gráfica de funciones ayuda a comprender las relaciones entre ellas y a identificar bounds.
- 🔑 La capacidad de limitar una función nos da una forma de predecir su comportamiento en términos de sus bounds.
Q & A
¿Qué es la idea principal de este video?
-El video busca introducir la idea de limitar o 'bounding' una función, concepto que puede parecer abstracto pero que resulta útil para entender el comportamiento de las funciones, especialmente en términos asintóticos.
¿Qué significa 'bounding' una función?
-El 'bounding' de una función implica crear otra función que esté siempre por encima (upper bound) o por debajo (lower bound) de la función original, proporcionando así una especie de límite para el comportamiento de esta.
¿Cuál es la importancia de los upper bounds y lower bounds en la análisis de funciones?
-Los upper bounds y lower bounds son importantes porque nos permiten entender el comportamiento general de una función sin tener que conocer su fórmula exacta, dándonos una idea de su comportamiento en límites extremos.
¿Por qué es útil examinar el límite de una función?
-Examinar el límite de una función es útil para comprender su comportamiento a largo plazo, especialmente cuando las entradas a programas son muy grandes, y para evitarnos tener que lidiar con casos especiales que pueden ocurrir con entradas pequeñas.
¿Qué es un upper bound en el contexto del video?
-Un upper bound es una función que siempre es mayor o igual que la función original para valores suficientemente grandes de n, sirviendo como un límite superior para el comportamiento de la función.
¿Qué representa un lower bound en relación a una función?
-Un lower bound es una función que siempre es menor o igual que la función original, estableciendo un límite inferior para el comportamiento de la función.
¿Cuál es la relación entre el bounding de una función y su comportamiento asintótico?
-El bounding de una función es una herramienta para analizar su comportamiento asintótico, es decir, cómo se comporta la función cuando el tamaño del problema (n) se hace muy grande.
¿Por qué es importante entender el comportamiento de las funciones para el análisis de programas?
-Entender el comportamiento de las funciones es crucial para el análisis de programas porque nos permite predecir el rendimiento y el tiempo de ejecución que requerirá un programa para diferentes tamaños de entrada.
¿Cómo se relaciona el concepto de 'bounding' con el análisis de la eficiencia de algoritmos?
-El 'bounding' es una técnica utilizada en el análisis de la eficiencia de algoritmos para proporcionar límites que nos indican cuán eficiente o ineficiente puede ser un algoritmo en el peor o mejor de los casos.
¿Qué es un growth function y cómo se relaciona con el bounding de funciones?
-Un growth function es una función que representa el número de operaciones necesarias para resolver un problema de un tamaño dado. Se relaciona con el bounding porque se usa para establecer upper bounds y lower bounds para entender el comportamiento de los algoritmos a medida que el tamaño del problema crece.
¿Qué se entiende por 't of n' en el contexto del video?
-'t of n' se refiere a la función que resulta de un análisis empírico, que representa el tiempo que toma un algoritmo para procesar una entrada de tamaño n. Es una forma de medir el rendimiento del algoritmo.
Outlines
📈 Introducción al concepto de limitación de funciones
El vídeo comienza explicando la idea de limitar una función, que puede parecer abstrata al principio pero que resulta útil más adelante. Se presenta un gráfico con tres funciones y se enfatiza en una de ellas, llamada f(m). La limitación de una función implica encontrar otra función que sea siempre mayor que la original, lo cual se denomina un límite superior. Se ejemplifica con una función que crece rápidamente y siempre es mayor que f(n). La idea es analizar cómo se comporta la función en el límite, es decir, para valores de n muy grandes, ignorando los comportamientos iniciales y centrándose en el comportamiento a largo plazo. Esto se relaciona con el análisis asintótico y cómo se puede usar para entender mejor el comportamiento de las funciones de crecimiento en programas informáticos, evitando casos especiales con entradas pequeñas.
Mindmap
Keywords
💡Bounding a function
💡Upper bound
💡Lower bound
💡Asymptotic approach
💡Limit
💡Growth functions
💡Problem size
💡Operations
💡Empirical analysis
💡Special cases
Highlights
Introduction to the concept of bounding a function
Utility of bounding functions in practical applications
Visual representation of bounding with a graph
Definition of an upper bound for a function
Explanation of how an upper bound functions
Importance of asymptotic analysis in bounding
Concept of looking at limits to understand function behavior
Avoidance of small input special cases in asymptotics
Definition of a lower bound for a function
Explanation of how a lower bound functions
Understanding a function through its bounds
Concept of boundedness and its implications
Practical use of bounding in analyzing growth functions
Avoidance of small input anomalies through asymptotics
Assumption of the existence of a growth function
Importance of growth functions in program analysis
Future discussion on deriving growth functions
Transcripts
In this video, I want to introduce
the idea of bounding a function.
So this will seem to be kind of
a very vague thing or maybe mathematical thing,
but later on you'll see that this is actually
gonna be useful to us.
So consider the following, let's maybe
look at the graph on the right hand side.
The graph on the right hand side
actually has three functions.
And let me maybe highlight one of them.
So let's say this middle one called f of m.
The idea of bounding a function is
to say okay,
I could come up with another function
that maybe is always going to be larger
than the original function.
So let's pretend that's an A there
and this is an N.
This function here, right?
This left hand side one, you can see
it's shooting up.
If we project forward in our mind,
that function is probably gonna grow
pretty fast and is always gonna be larger
than f of n.
That is what we call an upper bound.
It's a function, right, that somehow
at the ending is telling us a little bit
about f of n, right?
F of n always lives below a of n.
For sufficiently larger values of n.
Part of the idea of boundedness is
to say okay, hey, we're going to
look at things in the limit.
Right, this is an asymptotic approach
where we basically say that we
don't care about the little behavior here, right?
Kind of the beginning of times,
it doesn't matter all that much.
And really what we care about is how
things behave right when n gets really large.
In journal, I used a phrase in the limit, right,
because some of the things you'll be looking
at, right, basically will be saying okay,
I need to take the limit on this function
and figure out how it behaves, you know,
very long term.
So that's what we'll be doing.
Again, right, the idea of bounding a function
is basically to create a new function
which has some relationship to the one
we're initially analyzing, right?
So A is an upper bounding of f of n.
We could also have, for example, b of n.
B of n appears to be what's called a lower bounding, right?
So it's something that's lower than,
pretend that's an n there that I just wrote.
It's always lower than the other function
that I'm looking at.
And again, this tells me a little bit about f, right?
So if I have a and b, I know a little bit
about f, even if I don't have f directly.
And that'll be useful later on.
For now, just think about the idea
that I have functions, basically, that can
sit on either side of another function
to kind of close in on it.
All right, to kind of give me this kind of
limit or this kind of region, right,
where you know, I know that f of n
is gonna be between these two values, perhaps.
So that's the idea of boundedness.
I'm putting a bound that says the function
can only go this far in either the upward
or the downward direction.
A little actually on the outside,
a little question there on the other side,
what makes asymptotics useful?
What is the point of examining the limit?
The idea is if I'm using this technique
or this idea, right, in terms of growth functions,
growth functions are in for programs.
Sometimes when the inputs to programs
are really small, strange things happen, right?
There's kind of special cases maybe that occur.
We're going to avoid that and basically say,
okay, for particularly large inputs
or particularly large data sets, what happens, right?
Asymptotics avoids, right, how we deal with
our little special cases there, right?
Now the little region that I've
denoted and here, I'm just gonna cross it out.
Right, you wanna just skip all of that stuff.
All right, so that's the basic idea of bounding
a function and we're gonna really explore
this idea of an upper and a lower bound.
So up until now, we've been using t of n, right?
That was the result of the function we got
from our empirical analysis.
The units on that was basically just time, right?
Problem size in, time out.
Here we're going to do is we're going to assume
that we have an actual proper growth function, right?
And the growth function's gonna take in
the problem size in, but then its result
is going to be the number of operations, right?
The number of steps needed to occur
to solve a problem of that particular size.
So for now what we're going to do
is we're actually going to assume
that our growth function f of n exists.
Later on we'll talk about how exactly to derive it.
For now we'll just assume that it exists.
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