Particle On A Sphere Wavefunction | Physical Chemistry II | 7.5

Professor Derricotte

23 Mar 202111:53

Summary

TLDRВ этом видео мы выводим волновую функцию для частицы на сфере. Используя метод разделения переменных, решаем уравнение для двух переменных — углов θ и φ. Волновая функция разделяется на два уравнения: одно похоже на решение для частицы на кольце, а другое решается через полиномы Лежандра. Эти решения известны как сферические гармоники, которые играют важную роль в квантовой механике, особенно при изучении водородного атома. Обсуждается также выражение для энергии частицы на сфере, зависящее от квантового числа l.

Takeaways

🔢 Уравнение для частицы на сфере использует оператор Лежандра, который действует на волновую функцию.
🔍 Метод разделения переменных применяется для решения уравнения, разделяя волновую функцию на функции от двух переменных: θ и φ.
🌐 Решение уравнения включает разложение волновой функции на две части: одну для θ и одну для φ.
📐 Уравнение для переменной φ похоже на решение задачи частицы на кольце и имеет аналогичное решение.
📊 Функция для переменной θ решается через полиномы Лежандра, которые зависят от квантовых чисел l и mₗ.
🔮 Полученные решения, называемые сферическими гармониками, представляют собой функции от θ и φ и зависят от квантовых чисел.
🌌 Сферические гармоники выглядят как атомные орбитали, что полезно для изучения водородного атома.
⚛️ Энергия трехмерной частицы на сфере выражается через квантовое число l, и её формула включает h-bar и момент инерции.
🔢 Квантовые числа l (квантовое число углового момента) и mₗ (магнитное квантовое число) имеют целочисленные значения.
⚛️ Эти решения вводят основные аспекты движения: поступательное, колебательное и вращательное, которые важны для изучения водородного атома.

Q & A

В чем заключается проблема частицы на сфере, описанная в видео?
-Проблема частицы на сфере заключается в нахождении волновой функции, удовлетворяющей уравнению с оператором Лежандра, который действует на волновую функцию и возвращает постоянную, умноженную на эту же волновую функцию.
Какой метод используется для решения уравнения с оператором Лежандра?
-Для решения этого уравнения используется метод разделения переменных, что позволяет разбить исходную задачу на две независимые задачи по переменным θ и φ.
Как выглядит волновая функция после применения метода разделения переменных?
-Волновая функция разделяется на две функции: одна зависит от угла θ (обозначается как θ(θ)), а другая — от угла φ (обозначается как φ(φ)).
Каков следующий шаг после разделения волновой функции на функции θ и φ?
-Следующим шагом является подстановка разделенной волновой функции в исходное уравнение и проведение алгебраических преобразований, чтобы разделить уравнение на два отдельных уравнения для θ и φ.
Какое решение получено для функции φ(φ)?
-Решение для функции φ(φ) соответствует случаю частицы на кольце и выражается как φ(φ) = (1/√2π) * e^(i * mₗ * φ), где mₗ — квантовое число магнитного момента.
Что собой представляет решение для функции θ(θ)?
-Решение для функции θ(θ) выражается через полиномы Лежандра, которые зависят от двух квантовых чисел — l (квантовое число момента импульса) и mₗ, и являются функцией cos(θ).
Что такое сферические гармоники и как они связаны с решением задачи?
-Сферические гармоники представляют собой решения задачи частицы на сфере и выражаются через комбинацию функции φ(φ) и полиномов Лежандра для θ(θ). Они обозначаются как Yₗₘₗ(θ, φ).
Каковы основные квантовые числа, используемые для описания сферических гармоник?
-Основные квантовые числа — это l (квантовое число углового момента) и mₗ (магнитное квантовое число). Квантовое число l принимает целые значения от 0 и выше, а mₗ может быть равно 0, ±1, ±2 и так далее.
Какое физическое значение имеют сферические гармоники в контексте химии и квантовой механики?
-Сферические гармоники имеют форму, которая напоминает атомные орбитали. Это важные решения, которые используются для описания 3D вращательного движения квантовой частицы, например, при анализе атома водорода.
Как выражается энергия частицы на сфере и от чего она зависит?
-Энергия частицы на сфере зависит от квантового числа l и выражается формулой E = l(l+1) * ℏ² / (2I), где I — момент инерции, а l — квантовое число углового момента.

Outlines

00:00

📐 Вывод волновой функции для частицы на сфере

В первом абзаце объясняется, что в данном видео будет выведена волновая функция для частицы на сфере. Автор напоминает, что в предыдущем видео рассматривалась задача частицы в сфере и был представлен оператор Лежандра, который действует на волновую функцию и возвращает константу. Задача заключается в нахождении решения этого дифференциального уравнения, зависящего от двух переменных. Для решения предложено использовать метод разделения переменных, что позволит упростить задачу и рассмотреть её как набор одномерных задач.

05:00

🧮 Разделение переменных и построение решения

Здесь автор вводит два новых компонента волновой функции: одно зависит от угла θ (Тета), другое — от угла φ (Фи). Путём подстановки этих функций в уравнение Лежандра и некоторых математических преобразований, уравнение удаётся разделить на два отдельных уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной. Первое уравнение соответствует задаче о частице на кольце, а решение для второй переменной связано с полиномами Лежандра.

10:01

🌍 Сферические гармоники и квантовые числа

В третьем абзаце раскрываются детали решения для сферической части уравнения с использованием полиномов Лежандра. Автор отмечает, что решения для таких задач называют сферическими гармониками, обозначаемыми буквой Y и зависящими от квантовых чисел l и mₗ. Также приводится энергия для частицы на сфере, которая зависит от квантового числа l и выражается как l(l+1)h²/2I. В завершение автор упоминает, что все полученные решения будут использоваться для изучения атома водорода.

Mindmap

Keywords

💡волновая функция

Волновая функция описывает квантовое состояние системы, в данном случае частицы на сфере. Она играет ключевую роль в решении уравнений квантовой механики, так как содержит всю информацию о вероятностном распределении частиц. В видео волновую функцию разделяют на две части для упрощения решения уравнений.

💡разделение переменных

Метод разделения переменных используется для упрощения решения дифференциальных уравнений. В видео показано, как с помощью этого метода можно разделить волновую функцию на две составляющие: одну, зависящую от угла θ, и другую — от угла φ, что позволяет решать их по отдельности.

💡легандровы многочлены

Легандровы многочлены — это набор ортогональных полиномов, которые появляются при решении уравнений, связанных с вращательным движением. В видео они используются для решения части уравнения, зависящей от угла θ. Эти многочлены необходимы для описания волновых функций в сферических координатах.

💡угловой момент

Угловой момент (l) — это квантовое число, которое описывает вращательное движение частицы. В видео это квантовое число входит в выражение для энергии частицы на сфере и определяет форму волновой функции, также играя важную роль при описании атомов.

💡магнитное квантовое число

Магнитное квантовое число (ml) характеризует проекцию углового момента на заданную ось. Оно используется для описания решения уравнений для φ, что связано с вращением частицы в сфере. В видео оно связывается с решениями дифференциальных уравнений, описывающих вращательное движение.

💡сферические гармоники

Сферические гармоники — это функции, которые описывают угловые зависимости волновых функций в сферических координатах. В видео они являются решением для волновой функции частицы на сфере и играют ключевую роль при описании квантовых систем, таких как атом водорода.

💡вращательное движение

Вращательное движение частицы — это движение вокруг оси, которое описывается с помощью угловых переменных. В видео речь идет о частице, которая движется на сфере, и вращательное движение является основой для описания её поведения в квантовой механике.

💡квантовые числа

Квантовые числа, такие как угловой момент (l) и магнитное квантовое число (ml), описывают дискретные значения энергии и состояния частицы. В видео они играют ключевую роль в описании энергетических уровней и волновых функций частицы на сфере.

💡энергетическое выражение

Энергетическое выражение для частицы на сфере зависит от квантового числа l и описывает энергию вращательного движения. В видео это выражение представлено как l(l+1)h^2/2I, где I — момент инерции частицы. Это выражение используется для определения энергетических уровней в системе.

💡уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера — это основное уравнение квантовой механики, которое описывает эволюцию волновой функции. В видео рассматривается решение этого уравнения для частицы на сфере с использованием метода разделения переменных и специальных функций, таких как легандровы многочлены.

Highlights

Introduction of the wave function derivation for a particle on a sphere.

Use of separation of variables technique to simplify solving the wave function.

Breaking the wave function into two parts: Theta and Phi.

Expanding the Legendre operator and separating variables.

Deriving two differential equations, each depending on either Theta or Phi.

Establishing a constant m sub l from the separated differential equations.

Solving the equation for Phi, identical to the particle on a ring solution.

Introducing the Legendre polynomials to solve the Theta-dependent equation.

Combining the two solutions to define the spherical harmonics.

Explanation of spherical harmonics and their connection to quantum mechanical orbitals.

Spherical harmonics are key to understanding the quantum particle's 3D rotational motion.

Introduction of the energy expression for the 3D particle on a sphere.

Explanation of the quantum numbers: l (angular momentum) and m sub l (magnetic quantum number).

The 3D particle in a sphere problem sets the foundation for studying the hydrogen atom.

Summarization of all three types of quantum motion: translational, vibrational, and rotational.