50. Integral indefinida por el método de Sustitución (Cambio Variable). Expresión con raíz cuadrada.
Summary
TLDREn este video educativo, el licenciado Rodolfo Rodríguez Alférez guía a los estudiantes a través del ejercicio 50 de integrales indefinidas utilizando el método de sustitución. Se enfoca en la integral de x al cubo sobre la raíz cuadrada de x al 45, demostrando las propiedades de radicación y la derivación para simplificar la integral. Al final, se resuelve obteniendo la función original más una constante de integración, invitando a los espectadores a suscribirse y seguir aprendiendo matemáticas.
Takeaways
- 📘 El vídeo trata sobre la integración de funciones utilizando el método de sustitución.
- 👨🏫 Se menciona que el vídeo es presentado por el licenciado Rodolfo Rodríguez Alférez.
- 📐 Se resuelve el ejercicio 50, que implica la integral de \( x^3 \) sobre \( \sqrt{x^{453}} \).
- 🔢 Se destacan tres propiedades clave para resolver la integral: la propiedad de la radicación, la derivación y la simplificación de exponentes.
- 🛠️ Se transforma la raíz cuadrada en una fracción para facilitar la integración.
- 📝 Se hace una sustitución donde \( x^{45} = u \) y se calcula la derivada para encontrar \( du \).
- 🧮 Se simplifica la integral sustituyendo \( x^3 \) por \( du \) y se cancelan los términos equivalentes.
- 🔄 Se aplica la propiedad de los exponentes negativos para simplificar la integral.
- 📐 Se usa la propiedad de la integral de una potencia para resolver la integral.
- 🔍 Se resuelve el exponente fraccionario y se iguala el denominador para simplificar la expresión.
- 📘 Se concluye con la integral resuelta y se invita a suscribirse al canal educativo.
Q & A
¿Qué método se utiliza para resolver la integral indefinida mencionada en el guion?
-Se utiliza el método de sustitución para resolver la integral indefinida.
¿Cuál es la integral que se resuelve en el ejercicio 50 del guion?
-La integral que se resuelve es la integral de x al cubo sobre la raíz cuadrada de x al 45.
¿Qué propiedad de las raíces se utiliza en el proceso de sustitución?
-Se utiliza la propiedad de las raíces que indica que la raíz n-ésima de x a la m se puede escribir como x a la m/n.
¿Cómo se simplifica la expresión raíz cuadrada de x al 45 en el guion?
-La raíz cuadrada de x al 45 se simplifica como x a la 45/2, que es x a la 45/2.
¿Cuál es la derivada de x a la 45/2 que se utiliza en el proceso?
-La derivada de x a la 45/2 es 45/2 * x a la 43/2.
¿Cómo se reemplaza la variable en la integral después de la sustitución?
-Después de la sustitución, se reemplaza x al cubo por 2/45 * dv, donde v es x a la 45/2.
¿Cuál es el resultado de cancelar x al cubo en la integral?
-Al cancelar x al cubo, se obtiene una integral que se reduce a 1/4 * dv.
¿Cómo se maneja el exponente negativo en la integral?
-El exponente negativo se maneja cambiando el signo del exponente y elevando la base a la potencia correspondiente, en este caso, 1/2 - 1.
¿Qué propiedad se utiliza para integrar una potencia negativa?
-Se utiliza la propiedad de la integral de una potencia, donde la integral de x a la n se eleva la n en 1 y luego se coloca el resultado en el denominador.
¿Cómo se simplifica la expresión final de la integral después de aplicar las propiedades?
-La expresión final se simplifica al combinar los términos y elevar los exponentes, lo que resulta en x a la 45/2 elevado a la 1/2 más la constante de integración.
Outlines
📘 Introducción a la integral y propiedades básicas
El presentador inicia el video saludando y explicando que continuarán con la resolución de integrales indefinidas utilizando el método de sustitución. Se menciona el ejercicio 50, que implica resolver la integral de x^3 sobre la raíz cuadrada de x^45. Se introduce la conversión de la raíz cuadrada a una fracción exponencial y se explican tres propiedades clave que serán necesarias para resolver la integral.
🔢 Desarrollo del cálculo mediante sustitución
Se comienza a trabajar la integral aplicando la sustitución. Se convierte la raíz cuadrada de x^45 en x^(45/2), y se deriva x^45 para obtener 4x^3. Luego, se sustituye esta expresión en la integral original, simplificando los términos. Se menciona cómo la constante 4 puede salir de la integral, y se comienza a transformar la integral restante, utilizando propiedades exponenciales y simplificaciones.
📝 Resolución final y simplificación de la integral
El proceso de integración continúa con la aplicación de la propiedad de las potencias para completar la solución. Se suman fracciones y se ajustan los exponentes para obtener el resultado final de la integral, que incluye un término con raíz cuadrada y una constante de integración. Finalmente, el presentador invita a los espectadores a suscribirse al canal y concluye el video.
Mindmap
Keywords
💡Integrales indefinidas
💡Método de sustitución
💡Propiedades de la radicación
💡Exponente
💡Derivada
💡Constante de integración
💡Propiedades de los exponentes negativos
💡Integral de una potencia
💡Ley de la oreja
💡Radicación
Highlights
Introducción al método de sustitución para resolver integrales indefinidas.
Explicación del ejercicio 50: integral de x al cubo sobre raíz cuadrada de x al 45.
Propiedades de la radicación utilizadas para transformar la integral.
Conversión de la raíz cuadrada en una potencia fraccionaria.
Simplificación de la expresión x a la 45/2 mediante la propiedad de las potencias.
Derivación de x a la 4/5 para encontrar la variable de integración.
Determinación de la variable de integración 'v' como x a la 4/5.
Reemplazo de la variable original por la variable de integración en la integral.
Eliminación de la parte común x al cubo entre el numerador y el denominador.
Extracción de la constante 4 fuera de la integral.
Transformación de la integral de una potencia fraccionaria.
Apllicación de la propiedad de la integral de una potencia para simplificar la expresión.
Manipulación algebraica para simplificar la fracción resultante de la integral.
Resolución de la fracción resultante utilizando la técnica de igualar denominadores.
Simplificación final de la integral obteniendo la función x a la 45/2.
Conclusión del ejercicio presentando la integral resuelta.
Invitación a suscribirse al canal educativo y a seguir aprendiendo matemáticas.
Transcripts
muy buenos días amigos y amigas vamos a
seguir con integrales indefinidas por el
método de sustitución
vamos a hacer el ejercicio 50 entonces
dice integral de x al cubo sobre raíz
cuadrada de x al a 453 vamos a hallar
esta integral
bueno recuerde que es con el licenciado
rodolfo rodríguez alférez bueno en
primer lugar vamos a tener en cuenta
estas tres propiedades para resolver
esta integral ponentes presté atención
es entonces lo vuelvo a copiar acá
integral de x al cubo
sobre observe que esta raíz cuadrada la
podemos convertir en otra forma donde va
a quedar así
raíz cuadrada en encima de ala m es
igual a la m sobre n
desde cuenta que este una propiedad de
radicación bueno entonces
vamos a hacer esto entre paréntesis
vamos a colocar x a la 45
observamos que x a la 45
tiene como exponente 1
dividido entre el índice de la raíz y el
índice es dos porque el raíz cuadrada
antes que haría a la un medio
por equis
ahora observe acá
vamos a llamar que es x a la 45 desde
una vez lo vamos a colocar aquí
lo va a hacer con otro color
bueno entonces vamos a llamar que uno
es igual
a x a la 4
+ 5 y ahora sí vamos a derivar
de la riva de dv
la derivada de x a la 4 sería 4x al cubo
por derivada de x que sería de x más la
ería de una constante que es cero antes
no le va a colocar cero ciertos temas
pero no ahora despejamos de x
este 4x al cubo pasa a dividir a dv
tenemos que así
de x es igual a 2 sobre 4 x al cubo y
ahora presta atención lo que tenemos que
lo que tenemos tenemos el valor de v
entonces vamos a hacer una pequeña nube
cita
y
es igual a equis a la 45 y de x es igual
a demus sobre 4x al kun también le
hacemos una pequeña nube cita
como ustedes pueden apreciar ahí en el
vídeo
bueno entonces ahora sí vamos
reemplazando bueno presté atención como
lo estamos haciendo aquí
entonces ahora tenemos integral
de x al cubo
sobre x 45 ya sabemos que es un tema que
daría un ala un medio
por de x y de x tv
sobre 4x al cubo bueno cancelando x al
cubo nos va a quedar de esta forma
es x al cubo
se cancela
y entonces nos queda más reducido
esto nos queda así de un
sobre
y ahora un medio multiplicado por cuatro
entre nos quedaría 4
x
y a la un medio
observé una cosa este 4 como es una
constante puede salir de la integral y
entre nos quedaría así un cuarto porque
este 4 está en el denominador ustedes
queda aquí en la parte de abajo antes
sería un cuarto
integral
de de un sobre
a un medio ahora observe aquí qué pasa
con él a un medio
bueno entonces observamos la propiedad
del exponente negativo que yo tengo así
1 sobre a la n al subirlo el exponente
cambia el signo entonces de una vez
un cuarto y entonces al subirlos me
queda así
me queda un ala menos un medio
por dv
y ahora sí vamos a utilizar la tercera
propiedad integral de una potencia y
entonces como nos queda nos queda de la
siguiente forma un cuarto
y entonces al aplicar esta propiedad
observamos que nos va a quedar así esto
x
e
al menos un medio
+ 1
sobre menos un medio
+ 1
más la constante integración
observé que el exponente se le suma 1 y
como el exponente es menos un medio
menos un medio más 1 y lo que se coloque
la parte de arriba en el exponente se va
a colocar como denominador ustedes pero
aparece aquí n 1 y aquí abajo n 1 que
nos queda la misma expresión en la parte
del exponente y en la parte del
denominador y entonces cómo queda
resolviendo eso que nos queda así vamos
a resolver menos un medio
lo vamos a sumar con este 1 recuerde que
hay un proceso rápido que es así para
igualar denominadores este 2 multiplica
este 1 y me queda de esta forma menos 1
más
2 x 1 2
sobre dos de ellas quedó igualado los
denominadores este 2 multiplica este 1 y
me queda 2 ahora menos uno más dos
tienen diferentes signos se restan a 2
le quitó 1 me queda 1 el mayor es dos
íes positivamente me queda uno positivo
y éste me queda un medio
para resolver menos un medio más uno eso
nos da un medio y eso lo vamos a colocar
así
un cuarto
cierto entonces por ahora se llama
colocar aquí un ala un medio
sobre
un medio
más la constante integración bueno como
ustedes ya saben
aquí este 2 multiplica
a un medio es de 2 entonces cómo nos
queda
recuerde que también podemos utilizar la
ley de la oreja pero antes para mayor
agilidad ya sabemos que este 2 número
que está dividiendo multiplica a un ala
un medio de una vez nos queda así
bueno un cuarto
x 2 x 1 acá nos quedaría 2
y algún medio
observé que a cada uno por dos lados
daría dos cuartos
de un médium este ya sabemos que vale x
a la 45 que nos queda así
y es igual a x a la 4
+ 5
a la un medio más la constante
integración ahora sí vamos a simplificar
bueno simplificando mitad y mitad de 4
eso nos da un medio
cierto se nos queda un medio
x a la 45 a la un medio lo vamos a
llevar a la forma de radicación ustedes
cómo está así lo podemos llegar a esta
forma y entre nos queda raíz cuadrada
de x 45
más la constante integración entre ella
llegamos al final
ya no podemos bajar esta expresión aquí
y entre nos queda así integral
de x al cubo
sobre
raíz cuadrada
de x al 45
aquí cerramos bien la la raíz
por equis
observen que es integral es igual
a un medio
de la raíz cuadrada de quedar a 45 más
la constante integración ahora sí amigos
y amigas los invito a que se sigan
suscribiendo a este canal educativo y
darle me gusta a los vídeos y nos vemos
en la siguiente clase chao chao
y nos vemos en el siguiente vídeo
mi nombre es world por rodríguez y nos
gustan las matemáticas mi nombre
y nos gustan las automáticas
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