70. Ecuación vectorial de una recta en el plano y el espacio EXPLICACION
Summary
TLDREste vídeo de 'Mante, fácil' explica cómo obtener la ecuación vectorial de una recta, útil tanto para el plano cartesiano como para el espacio tridimensional. Se recuerda la ecuación de una recta en dos dimensiones y se introduce la ecuación vectorial, demostrando con GeoGebra cómo cualquier punto de una recta se puede obtener como la suma de un vector de posición más un escalar multiplicado por un vector de dirección. Se promete que en próximos videos se resolverán ejercicios aplicando esta ecuación.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre cómo obtener la ecuación vectorial de una línea recta en diferentes espacios, como el plano cartesiano y el espacio tridimensional.
- 📐 Se explica que la ecuación de una recta en el plano cartesiano se obtiene con la fórmula \( m \cdot x - y + c = 0 \), donde \( m \) es la pendiente y \( c \) es el desplazamiento.
- 🔄 La pendiente en el plano cartesiano se relaciona con el ángulo \( \theta \) que la recta forma con el eje x, siendo la pendiente \( \tan(\theta) \).
- 🚫 La fórmula tradicional de la recta en el plano no se aplica en el espacio tridimensional, donde es necesario una ecuación vectorial.
- 📍 Se introduce la ecuación vectorial de una recta como una herramienta para representar rectas en espacios de más de dos dimensiones.
- 📝 Se deduce paso a paso la ecuación vectorial de una recta en el plano cartesiano utilizando Geogebra, y luego se extiende al espacio tridimensional.
- 🛠 La ecuación vectorial se expresa como \( \vec{r} = \vec{p} + t\vec{v} \), donde \( \vec{p} \) es el vector de posición de un punto en la recta, \( \vec{v} \) es el vector director y \( t \) es una constante escalar.
- 🔄 Se demuestra que cualquier punto en la recta se puede obtener como la suma de un vector fijo (posición de un punto en la recta) y un vector director multiplicado por una constante escalar.
- 📊 Se ilustra cómo el vector director \( \vec{v} \) determina la dirección de la recta, y cómo la constante escalar \( t \) permite desplazar y escalar este vector para alcanzar cualquier punto en la recta.
- 🔧 Se resalta la utilidad de la ecuación vectorial para localizar puntos en la recta a través de operaciones con vectores, sin necesidad de coordenadas específicas.
Q & A
¿Qué es la ecuación vectorial de una línea recta?
-La ecuación vectorial de una línea recta es una forma de representar una línea en el plano cartesiano, en el espacio tridimensional y en espacios de cualquier dimensión. Se escribe como r = p + t*v, donde 'r' es un punto en la línea, 'p' es un punto fijo en la línea, 'v' es el vector director de la línea y 't' es una constante escalar.
¿Para qué sirve la ecuación vectorial en geometría?
-La ecuación vectorial en geometría sirve para representar y manipular líneas rectas en diferentes espacios, permitiendo encontrar puntos en la línea a través de operaciones vectoriales y proporcionando una forma de describir la dirección y la posición de los puntos en relación con otros puntos y vectores.
¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta en el plano cartesiano tradicionalmente?
-Tradicionalmente, la ecuación de una recta en el plano cartesiano se obtiene con la fórmula 'm*(x - x0) = y - y0', donde 'm' es la pendiente de la recta, y '(x0, y0)' son las coordenadas de un punto en la recta.
¿Qué es el vector de posición y cómo se relaciona con la ecuación vectorial de una recta?
-El vector de posición es un vector que comienza en el origen y termina en el punto que se desea representar. En la ecuación vectorial de una recta, el vector de posición 'p' se utiliza para representar un punto fijo en la recta, y se combina con el vector director 'v' y un escalar 't' para encontrar otros puntos en la recta.
¿Qué es el vector director y cuál es su importancia en la ecuación vectorial?
-El vector director es un vector que indica la dirección de una recta. Es crucial en la ecuación vectorial porque, al ser multiplicado por un escalar 't', permite desplazar el punto 'p' a lo largo de la recta, obteniendo así todos los puntos que conforman la recta.
¿Cómo se determina el vector director de una recta en el espacio tridimensional?
-El vector director de una recta en el espacio tridimensional se determina a partir de la dirección que tiene la recta, similar a cómo se determina en el plano cartesiano, pero en tres dimensiones. Se elige un vector que tenga la misma dirección que la recta y se utiliza en la ecuación vectorial.
¿Por qué la ecuación tradicional de la recta no es válida en el espacio tridimensional?
-La ecuación tradicional de la recta no es válida en el espacio tridimensional porque solo utiliza las variables 'x' y 'y', y no tiene en cuenta la dimensión adicional de 'z'. Además, la noción de pendiente como un ángulo con el eje 'x' no se extiende de manera directa a más de dos dimensiones.
¿Cómo se relaciona la multiplicación de un vector por un escalar con la posición de los puntos en la recta?
-La multiplicación de un vector por un escalar altera la magnitud y, posiblemente, la dirección del vector. En el contexto de la ecuación vectorial de una recta, esto permite desplazar el vector director 'v' a lo largo de la recta, encontrando así los puntos 'r' en diferentes posiciones a lo largo de la recta.
¿Cómo se puede representar la ecuación vectorial de una recta en términos de sus componentes en el espacio tridimensional?
-En el espacio tridimensional, la ecuación vectorial de una recta se puede representar en términos de sus componentes como 'x = x0 + at', 'y = y0 + bt', 'z = z0 + ct', donde '(x0, y0, z0)' son las coordenadas del punto 'p', 'a', 'b', 'c' son las componentes del vector director 'v' y 't' es el escalar.
¿Qué es el ángulo theta mencionado en el guion y cómo se relaciona con la pendiente de una recta en el plano cartesiano?
-El ángulo theta es el ángulo que la recta forma con el eje x en el plano cartesiano. La pendiente de la recta, que es la tangente de theta, describe la dirección en la que se encuentra la recta en el plano, y es una medida de la inclinación de la recta con respecto al eje x.
Outlines
📘 Introducción a las ecuaciones vectoriales de rectas
Este primer párrafo introduce el tema del vídeo, que es la ecuación vectorial de una recta. Se menciona que esta ecuación es útil para representar líneas rectas no solo en el plano cartesiano sino también en el espacio tridimensional y en espacios de cualquier dimensión. El vídeo tiene como objetivo explicar cómo se obtiene esta ecuación y cómo se deduce una fórmula que se aplicará en ejercicios futuros. Se recuerda que la ecuación de una recta en el plano cartesiano se obtiene con la fórmula 'cero igual a m por x menos x0', donde 'm' es la pendiente y 'x0' son las coordenadas de un punto en la recta. Además, se introduce la idea de que en el espacio tridimensional, la ecuación de una recta requiere un enfoque diferente, ya que la pendiente no es suficiente para definir la dirección de una recta en tres dimensiones.
📐 Explicación de la ecuación vectorial de una recta en el plano
En el segundo párrafo, se extiende la idea de la ecuación de una recta en el plano cartesiano a través de la representación vectorial. Se describe cómo un punto 'p' en el plano y un vector 'v' que indica la dirección de la recta se pueden usar para encontrar la ecuación vectorial de la recta. Se explica que cualquier punto en la recta se puede representar como un vector 'r', que es la suma de un vector de posición 'p' y un escalar multiplicado por un vector de dirección 'v'. Este enfoque se basa en la idea de que la recta es paralela al vector 'v' y pasa por el punto 'p'. Se utiliza Geogebra para ilustrar paso a paso cómo se obtiene la ecuación vectorial de la recta en el plano.
🔄 Ampliación de la ecuación vectorial a tres dimensiones
El tercer párrafo lleva la idea de la ecuación vectorial de una recta al espacio tridimensional. Se ilustra cómo, similarmente al plano cartesiano, se puede definir una recta en el espacio tridimensional a partir de un punto 'p' y un vector de dirección 'v'. Se muestra que cualquier punto en la recta se puede obtener como la suma del vector de posición 'p' y un escalar multiplicado por el vector de dirección 'v'. Esto se demuestra con ejemplos gráficos, y se enfatiza que la ecuación vectorial de la recta en tres dimensiones sigue siendo 'r igual a p más t por v', donde 'r' es el vector de posición de un punto en la recta, 'p' es el vector de posición de un punto conocido en la recta y 'v' es el vector de dirección. El vídeo concluye con una invitación a ver futuras sesiones para resolver ejercicios prácticos y un llamado a la interacción a través de comentarios y sugerencias.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación vectorial
💡Recta en el plano cartesiano
💡Pendiente
💡Ángulo theta
💡Escalar
💡Vector de posición
💡Vector director
💡Espaço tridimensional
💡Geogebra
💡Ejercicios resueltos
Highlights
Introducción al tema de la ecuación vectorial de una recta y su importancia en diferentes espacios.
Explicación de cómo se obtiene la ecuación de una recta en el plano cartesiano usando la pendiente.
Discusión sobre la limitación de la ecuación de pendiente en el espacio tridimensional y la necesidad de una ecuación vectorial.
Introducción a la ecuación vectorial como una herramienta para representar rectas en espacios de cualquier dimensión.
Demostración paso a paso en GeoGebra de cómo se obtiene la ecuación vectorial de una recta en el plano cartesiano.
Descripción de cómo un punto en el plano se puede considerar como un vector de posición.
Explicación de cómo la dirección de una recta se representa mediante un vector en lugar de una pendiente.
Procedimiento para localizar todos los puntos sobre una recta usando la suma de vectores.
Representación gráfica de la suma de vectores para encontrar puntos sobre una recta.
Introducción de la constante escalar 't' y su papel en la ecuación vectorial de una recta.
Fórmula de la ecuación vectorial de una recta: r = p + t*v.
Descripción de cómo la ecuación vectorial se escribe usando componentes x, y en lugar de vectores.
Extensión de la ecuación vectorial al espacio tridimensional y su aplicación.
Uso de un punto en el espacio tridimensional y un vector de dirección para definir una recta.
Demostración de cómo cualquier punto sobre una recta en tres dimensiones se puede describir usando la ecuación vectorial.
Anuncio de próximos videos con ejercicios resueltos de ecuaciones de rectas en el plano y en el espacio.
Invitación a los espectadores a interactuar con el canal a través de likes, suscripciones y comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mante
fácil en este vídeo vamos a ver el tema
de una ecuación vectorial de una recta
la ecuación vectorial nos va a servir
pues para representar una línea recta
en el plano cartesiano pero también en
el espacio tridimensional y en general
en un espacio r en general o sea con
cualquier cantidad de dimensiones bueno
en este vídeo lo que voy a hacer es
explicar cómo es que se obtiene esta
ecuación vamos a deducir una fórmula y
ya en el próximo vídeo empezaremos a
resolver algunos ejercicios con la
fórmula que obtendremos en este vídeo
así que si quieren saber de dónde sale
la fórmula los invito a que miren este
vídeo y sí en cambio lo que quieren es
ver ejercicios resueltos de ecuaciones
de rectas en el plano y en el espacio
los invito a que mejor miren los
siguientes vídeos bueno vamos a empezar
recordando cómo es que obtenemos la
ecuación de una recta en el plano
cartesiano o sea en
en dos dimensiones
la adecuación de una recta en el plano
cartesiano se obtiene con esta fórmula
que es cero igual a m por x x 0 esta
fórmula la vemos en geometría analítica
y en cálculo bueno el cálculo de una
variable y aquí hay que recordar que x 0
y 0 son las coordenadas de un punto que
se encuentre sobre la recta mientras que
la m representa la pendiente de la recta
la pendiente nos dice la dirección en la
que se encuentra esa recta por ejemplo
si nuestra recta fuera esta de aquí
qué pasa por este punto en este caso
este punto sería el x0 y es 0 y la recta
tendría una dirección que podríamos
medir mediante el ángulo que forma con
el eje x ese ángulo por ejemplo lo
podemos llamar theta y entonces la
pendiente de la recta se define como la
tangente de theta es decir la pendiente
es la tangente del ángulo que forma la
recta con el eje x bueno todo esto es
simplemente es un recordatorio de lo que
vemos en geometría analítica pero aquí
ahora el problema es que si nosotros
quisiéramos calcular la ecuación de una
recta en el espacio tridimensional ya
esta fórmula ya no sería válida porque
para empezar esta fórmula únicamente
utiliza las variables xy la pendiente
queda bien definida en el plano porque
sabemos que bueno pues el ángulo theta
es el ángulo que forma con el eje x pero
ya en el espacio tridimensional ya no es
fácil definir pues el ángulo que forma
la red
con algunos de los ejes por ejemplo eso
ya ya sería difícil o no tendría sentido
definirlo en el espacio entonces por esa
razón es que vamos a ver ahora otra
ecuación que es la ecuación vectorial y
la cual sí nos va a servir tanto para el
plano cartesiano como para el espacio de
tres dimensiones para explicar la
ecuación vectorial lo voy a hacer en
geogebra paso a paso así que vamos allá
bueno para empezar vamos a ver cómo se
obtiene la ecuación de la recta en el
plano cartesiano y después vamos a
extender estas ideas al espacio
tridimensional de una manera muy
sencilla
aquí tenemos entonces el plano
cartesiano y vamos a empezar pues con
algún punto en el plano por el cual va a
pasar nuestra recta por ejemplo este
punto de aquí vamos a llamarle punto p
en este caso para indicar la dirección
de la recta no lo vamos a hacer ni
mediante la pendiente ni mediante un
ángulo con el eje x sino que lo vamos a
hacer mediante un vector el vector es el
que nos va a decir la dirección en la
cual va a estar la recta en este caso
vamos a poner por ejemplo este vector de
aquí al cual vamos a llamar vector v
bueno lo que esto significa es que si
nosotros trazamos aquí por p una recta
paralela a v
bueno pues esa es la recta en la
dirección de la recta cuya ecuación
vamos a obtener ahora por ejemplo en
este caso nuestra recta quedaría de esta
forma la recta en amarillo que como
podemos ver lleva la misma dirección de
uve
bueno lo que vamos a hacer para esto
entonces es en lugar de considerar el
punto p como un punto en el plano vamos
a tomarlo como si fuera un vector como
ya he explicado en vídeos anteriores
muchas veces pues en lugar de considerar
los puntos del plano pues como puntos
podemos considerarlos como vectores que
empiezan en el origen y terminan en ese
punto a los cuales se les llama vectores
de posición entonces en este caso el
vector de posición del punto p quedaría
de esta forma a ese vector pues igual lo
vamos a llamar p pero ahora ya lo
estamos considerando como un vector
bueno ahora lo que nosotros queremos es
encontrar una manera de localizar todos
los puntos que se encuentran sobre la
recta vamos a tomar por ejemplo un punto
cualquiera sobre la recta por ejemplo
este punto de aquí en anaranjado y este
punto de nuevo podemos interpretarlo
como un vector que empieza en el origen
por ejemplo este vector de aquí al cual
vamos a llamar vector r así es como
usualmente se le llama bueno nosotros
queremos llegar
al punto en el cual termina el vector r
únicamente realizando operaciones con
estos vectores con el vector p y con el
vector uve y queremos llegar pues al
punto
r sea cual sea el punto r sobre la recta
o sea a este punto de aquí oa este punto
de acá oa este punto de este lado o sea
cualquier punto que se encuentre sobre
la recta esto lo vamos a hacer de una
manera sencilla simplemente realizando
una suma de vectores si se fijan este
vector v es un vector libre que nosotros
podemos trasladar de tal manera que
empiece aquí donde termina el vector p
pero con trasladarlo no sería suficiente
en este caso porque si lo trasladamos
por ejemplo bueno pues el vector
terminaría por aquí nosotros quisiéramos
que el vector terminará hasta acá y
entonces podríamos representar al vector
r como la suma del vector p más el
vector que terminaría pues hasta acá
porque hay que recordar que la suma de
dos vectores es precisamente así como se
hace gráficamente entonces en este caso
nos va a convenir trasladar el vector
uve aquí pero multiplicarlo a su vez por
una constante
al hacer eso bueno pues obtendríamos
este vector en azul que está aquí
recordemos que al multiplicar nosotros
un vector por un escalar el escalar lo
que hace es alargar el vector o contraer
el vector dependiendo del valor del
escalar o incluso cambiar la dirección
del vector todo eso ya lo hemos estado
viendo en vídeos anteriores bueno pues
entonces por ejemplo en este caso
este vector se obtendría de multiplicar
y 2.42 que sería el escalar por el
vector v si nosotros por ejemplo
quisiéramos localizar otro punto sobre
la recta por ejemplo este punto de aquí
pues tendríamos que multiplicar el
vector v por 1 punto 62 sí en cambio
quisiéramos localizar este punto de por
acá bueno pues en este caso tendríamos
que multiplicar el vector por un escalar
negativo para cambiar la dirección del
vector uve en este caso estaríamos
multiplicando por menos 1 punto 59
entonces lo que vemos es que cualquier
punto sobre la recta se puede obtener
como la suma del vector
que recordemos es el vector simplemente
de posición de un punto que conozcamos
sobre la recta más un escalar
multiplicado por el vector v que nos
dice la dirección de la recta esto es
precisamente la ecuación vectorial de la
recta la ecuación vectorial de la recta
se escribe de esta forma r igual a p más
un escalar que vamos a llamar t por b
entonces ésta va a ser la fórmula que
estaremos utilizando para representar la
ecuación vectorial de una recta algunas
veces en lugar de escribirlo así lo
escribiremos de esta forma para dejar
bien claro que el vector r es un vector
que depende de ti o sea es un vector que
varía dependiendo pues el valor de t que
pongamos aquí mientras que p&v esos son
vectores fijos o sea son el mismo vector
siempre el vector p es un vector que nos
están dando y el vector v es un vector
que nos están dando pero el vector r es
un vector que varía o sea nos dice todos
los puntos que se encuentran sobre la
recta
bueno también otra forma de representar
la ecuación vectorial de la recta es así
en lugar de llamarle r al vector de
posición de un punto sobre la recta pues
directamente lo ponemos con sus
componentes x coma de las cuales son
variables y van a depender del valor de
t bueno todas estas mismas ideas las
podemos trasladar al espacio
tridimensional muy fácilmente
vamos a verlo ahora en tres dimensiones
bueno ahora estamos aquí en el espacio
tridimensional y vamos a ver que las
mismas ideas que vimos hace un momento
para el plano son válidas también para
el espacio de tres dimensiones así que
igual que antes vamos a empezar con un
punto p en el espacio por ejemplo este
punto de aquí vamos a ponerle un tope
vamos a determinar una recta a partir de
un vector un vector que nos va a decir
la dirección que tiene esa recta por
ejemplo vamos a poner este vector de
aquí y ese vector es el que nos va a
indicar cuál es la dirección de la recta
o sea en este caso si dibujáramos la
recta tendríamos que dibujar la de tal
forma que pase por p y sea paralelo
paralela a la recta a este vector en
este caso la recta quedaría de esta
forma como podemos ver la recta es
paralela al vector y pasa por p bueno a
este vector vamos a llamarle vector uve
y es el vector de dirección el cual en
este caso haría el papel de la pendiente
como bueno como en el caso del plano
cartesiano que teníamos una pendiente
que nos indicaba la dirección bueno pues
el vector b es el que ahora está
llevando a cabo ese papel porque es el
que nos está diciendo la dirección de la
recta
bueno pues también como antes para
expresar la ecuación de esta recta nos
va a convenir tomar a p en lugar de como
un punto como un vector o sea vamos a
considerar como el vector p el cual
empieza en el origen y termina en dónde
está el punto p bueno y nosotros lo que
queremos es poder localizar cualquier
punto sobre la recta por ejemplo este
punto de aquí únicamente realizando
operaciones con los vectores p&v que son
vectores que conocemos
este punto de aquí pues es cualquier
punto sobre la recta y queremos
encontrar una forma de calcular sus
componentes únicamente con operaciones
con estos dos vectores bueno
a este punto también vamos a asociarlo
con un vector que empieza en el origen
que en este caso sería este vector de
aquí y a este vector vamos a llamarlo
vector r así como lo hicimos hace un
momento y entonces igual que antes
podemos ver que todas las ideas son
igual de válidas en el espacio de tres
dimensiones porque lo que tendremos que
hacer es simplemente al vector p sumarle
el vector v pero multiplicado por algún
escalar para que cuando multiplicamos el
vector b por ese escalar ese vector se
alargue y alcance el punto r y entonces
así podremos decir que el vector r es
igual a la suma del vector p más un
escalar por v por ejemplo en este caso
si dibujamos ese vector
sería este vector de aquí que como
podemos ver es un vector un poco más
largo que el vector v así que ha sido
multiplicado por una escala en este caso
el escalar pues sería 1.78 claro si este
punto lo pusiéramos más por acá pues
aquí por ejemplo el vector es el doble
que este vector de aquí entonces se está
multiplicando por el escalar 2 y
conforme el punto pues se aleja más para
capas tendremos que multiplicar por una
escala cada vez más grande y en cambio
si este punto lo tuviéramos del otro
lado de p pues el vector uve tendría que
cambiar de sentido así que en este caso
tendríamos que multiplicar por un
escalar negativo
entonces a partir de esto podemos ver
que cualquier punto sobre la recta puede
ser descrito como la suma del vector p
más un escalar por el vector v que es
exactamente lo mismo que habíamos
obtenido hace un momento en el plano
cartesiano así que de nuevo obtenemos
esta ecuación de aquí que es la ecuación
vectorial de la recta r igual a p más t
por v donde r es un punto sobre la recta
y depende de ti mientras que pe y v son
vectores que conocemos p va a ser el
vector de posición de un punto que se
encuentre sobre la recta y v va a ser el
vector que nos dice la dirección que
tiene la recta bueno pues con esto hemos
terminado ya en el siguiente vídeo voy a
empezar a resolver algunos ejercicios de
ecuaciones de recta tanto en el plano
como en el espacio así que los invito a
que los vean y si les gustó este vídeo
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recuerden que si tienen cualquier
pregunta o sugerencia pueden dejarla en
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