Integral de x elevado a la n | Potencia de x | Ejemplo 1

Summary

En este video, se explica cómo resolver integrales de potencias de una variable. El presentador detalla el proceso de sumar uno al exponente y dividir por el nuevo exponente, siempre añadiendo la constante de integración. Se aborda qué hacer cuando el exponente es negativo y cuándo no se aplica la regla estándar, como en el caso del exponente -1. También se incluyen varios ejemplos prácticos para que los espectadores puedan practicar. Finalmente, se motiva a los usuarios a verificar sus resultados mediante la derivación, ya que es la operación inversa de la integración.

Takeaways

• 📘 La integral de una variable elevada a un exponente se resuelve siguiendo una fórmula específica: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.
• 🔍 Es fundamental identificar la variable y el exponente antes de aplicar la fórmula de integración.
• ❗ No se debe olvidar agregar la constante de integración al final de la integración.
• 🚫 La fórmula no se aplica cuando el exponente es -1.
• 📚 Se recomienda verificar la integración derivando la función resultante para asegurar que la integración se haya realizado correctamente.
• 🔢 Al derivar, el exponente se reduce en uno, lo cual es la razón por la cual en la integración se aumenta el exponente en uno.
• 📉 Cuando el exponente es negativo, se suele transformar la expresión para que el exponente sea positivo, utilizando propiedades de la potenciación.
• ✏️ En casos donde la variable no aparece directamente, se considera una constante y se extrae de la integral.
• 📐 La integración de \( dx \) o \( d \) de una variable es directa y da como resultado la variable misma más la constante de integración.
• 💡 El video ofrece ejercicios prácticos para aplicar y consolidar los conceptos aprendidos sobre integración de funciones con exponentes.

Q & A

¿Cómo se encuentra la integral de una variable elevada a un exponente?

Para encontrar la integral de una variable x elevada a un exponente n, se utiliza la fórmula x^(n+1)/(n+1) + C, donde C es la constante de integración.

¿Qué debemos hacer antes de integrar una función?

Antes de integrar, debemos identificar la variable y asegurarnos de que esté elevada a un exponente, ya que esta técnica solo se aplica a funciones de la forma x^n.

¿Cuál es el efecto de sumar uno al exponente en la integral?

Al sumar uno al exponente en la integral, se prepara el camino para que, al derivar la función resultante, el exponente se cancele con el que ya teníamos, devolvérnos a la función original.

¿Por qué es importante no olvidarse de la constante de integración?

La constante de integración es crucial porque representa la falta de información sobre el valor inicial de la función, y es necesaria para completar la integral.

¿Qué pasa si el exponente es -1 en la integral de una variable?

Si el exponente es -1, la fórmula x^(n+1)/(n+1) no se aplica. En este caso, la integral de 1/x es log(x) + C.

¿Cómo se verifica si la integral se ha hecho correctamente?

Para verificar si la integral se ha hecho correctamente, se puede derivar la función resultante y verificar si se obtiene la función original.

¿Qué significa el término 'dx' en una integral?

El término 'dx' en una integral representa el diferencial de la variable x, y es un recordatorio de que se está integrando respecto a x.

¿Cómo se integran funciones con variables diferentes a x?

Si la función a integrar tiene una variable diferente a x, como u, se sigue el mismo proceso pero con la variable correspondiente, resultando en u^(n+1)/(n+1) + C.

¿Qué sucede con la constante que está multiplicando la variable en la integral?

Si hay una constante multiplicando la variable en la integral, se toma fuera de la integral y se multiplica al resultado final, ya que las constantes se mantienen al integrar.

¿Cómo se integran funciones con exponentes negativos?

Para funciones con exponentes negativos, se sigue la fórmula x^(n+1)/(n+1), pero al final se ajusta el signo y se escribe la fracción de manera que el exponente sea positivo, utilizando propiedades de potenciación.

Outlines

00:00

📘 Introducción a la Integral de una Variable al Cuadrado

Este primer párrafo introduce el concepto de integrar una variable elevada a un exponente, como x^n. Se explica que la integral de una variable x elevada a un exponente se resuelve sumando uno al exponente y poniendo ese mismo exponente en el denominador. Además, se aclara la importancia de añadir la constante de integración. Se menciona que esta fórmula no se aplica si el exponente es -1. Se invita al espectador a resolver ejercicios para practicar y se enfatiza la verificación de la integral a través de la derivación.

05:02

🔢 Ejercicios de Integrales con Exponentes

El segundo párrafo se centra en la aplicación práctica de la fórmula de integración de variables con exponentes. Se presentan ejercicios donde se integran funciones como x^3, u^2 y x^(-3). Se destaca la necesidad de ser cuidadoso al sumar uno al exponente y al escribir el exponente en el denominador. También se discuten las convenciones de escritura en matemáticas, como el manejo de exponentes negativos y la simplificación de fracciones. Se sugiere que el espectador practique estos ejercicios para comprender mejor el proceso de integración.

10:03

📚 Conclusión y Desafío de Práctica

En el tercer párrafo, el presentador concluye la explicación de cómo integrar funciones con variables y exponentes, y desafía al espectador a practicar con ejercicios adicionales. Se presentan tres ejercicios más para que el espectador pruebe sus habilidades recién adquiridas. Se ofrecen recursos adicionales y se anima al espectador a suscribirse al canal y a interactuar con el contenido. Finalmente, se cierra el video con un agradecimiento y un despedida.

Keywords

💡Integral

La integral es un concepto fundamental del cálculo, que se refiere a la antítesis de la derivación. En el video, se utiliza para encontrar la función original dada su derivada. Por ejemplo, cuando se menciona 'la integral de x a la n', se está hablando de cómo calcular la integral de una función que tiene una variable elevada a un exponente.

💡Variable

Una variable en matemáticas es un símbolo que representa un valor que puede cambiar. En el contexto del video, la 'variable' se refiere a la letra que se utiliza para representar el dominio de una función, comúnmente 'x', pero también puede ser cualquier otra letra como 'u', dependiendo del problema.

💡Exponente

El exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. En el video, se menciona que la integral de una variable elevada a un exponente sigue un patrón específico, como 'x a la n', donde 'n' es el exponente.

💡Constante de integración

La constante de integración se añade al resultado de una integral y se denota generalmente por 'C'. En el video, se destaca la importancia de incluir la constante de integración en los resultados, ya que representa la familia de funciones que son soluciones de la integral.

💡Derivación

La derivación es un concepto del cálculo que determina la tasa de cambio de una función. En el video, se sugiere verificar los resultados de las integrales mediante derivación, ya que la integración y la derivación son operaciones inversas.

💡Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son reglas matemáticas que gobiernan cómo se manipulan los exponentes. En el video, se utiliza la propiedad de que 'x a la -n' es igual a '1 sobre x a la n' para simplificar las integrales con exponentes negativos.

💡Numerador y denominador

El numerador es el número superior y el denominador es el inferior en una fracción. En el video, se menciona que en los resultados de las integrales, se suele simplificar el numerador y el denominador, moviendo negativos de abajo a arriba y cambiando exponentes negativos a positivos.

💡Diferencial

El diferencial, representado por 'dx' o 'dt', es una pequeña cantidad que se utiliza en el cálculo para representar un cambio en la variable. En el video, se menciona que la integral de 'dx' o 'dt' es simplemente la variable x o t.

💡Operaciones inversas

Las operaciones inversas son aquellas que se pueden aplicar en un orden opuesto para obtener el resultado original. En el video, se destaca que la integración y la derivación son operaciones inversas, lo que permite verificar la precisión de las integrales mediante la derivación.

💡Principio de integración por partes

Aunque no se menciona explícitamente en el video, el principio de integración por partes es una técnica utilizada para integrar productos de funciones. Se puede inferir que el video trata de métodos de integración más básicos, pero este principio es relevante en el contexto más amplio del cálculo integral.

Highlights

Introducción al cálculo de integrales de funciones de la forma x^n.

Explicación de la fórmula general para integrar funciones polinomiales.

Identificación de la variable de integración y su exponente.

Proceso de sumar uno al exponente y colocarlo en el denominador.

Importancia de no olvidar la constante de integración.

Caso especial de la integral cuando el exponente es -1.

Ejercicio práctico para aplicar la fórmula de integrales de funciones potenciadas.

Revisión de la integración de x^3 y su resultado.

Verificación de la integral a través de la derivación.

Importancia de la constante en la derivación y su papel en la integración.

Ejercicio con variable u y su exponente, demostrando la flexibilidad de la fórmula.

Integración de funciones con exponentes negativos y su manejo.

Explicación de por qué se sube el negativo al numerador en la integración.

Cambio de signo del exponente negativo y su representación en la respuesta.

Integración de una función sin variable en el exponente, tratando como constante.

Integración de dx y su resultado como x más la constante de integración.

Ejercicios finales para práctica y revisión de conceptos aprendidos.

Invitación a suscribirse al canal y a seguir el curso para profundizar en el tema.

Transcripts

qué tal Amigas y amigos Espero que estén

muy bien en este video vamos a ver cómo

encontrar la integral de x a la N O sea

Cuando tenemos una variable la x

Generalmente es la x Pero puede ser

cualquier letra dependiendo de la

variable de la integral cuando está la

variable elevada a un exponente que

generalmente es por ejemplo x cuadrado o

x cubo o x a la 4 X a la 10 x a la -5 x

a la 3 cu4 bueno todo esos listos

primero que todo pues aquí tenemos la

formulita que vamos a aplicar que pues

esta deberías tenerla en tu formulario

si tú quieres ir escribiendo las

fórmulas en algún lado puedes ir pasando

esta y en cada video te voy a ir

diciendo las fórmulas listos qué es lo

que tenemos que hacer mira que lo

primero que debemos hacer es identificar

la variable no en este caso mira que

aquí dice dx o sea la variable es la x y

efectivamente mira que aquí dice X a la

N O sea cumple la condición tenemos una

x una variable con un exponente Cómo se

resuelve esta integral se resuelve así

lo que vamos a tener que hacer nosotros

es esto Cómo se resuelve mira que si

aquí dice X a la n seguimos dejando ese

x a la n puede ser x a la 2 a la 3 a la

4 a la 5 seguimos dejándolo pero al

exponente le sumamos uno no es más lo

que tenemos que hacer al exponente le

sumamos uno y escribimos ese mismo

exponente en el denominador y no se nos

puede olvidar sumarle la constante de

integración mucho cuidado con eso no

algo importante es que esto no funciona

si el exponente es el número -1 y ya te

voy a decir por qué listos Entonces si

el exponente es -1 no se aplica lo que

vamos a hacer aquí en este video vamos a

hacer cuatro ejercicios porque con cada

ejercicio quiero enseñarte algo

diferente y Te reto a que sí ya después

de ver el primer ejemplo te invito a que

resuelvas los otros a ver si te quedan

bien listos de una vez empezamos con el

primero y pues mira que aquí dice

estamos con la variable x y aquí dice X

a la 3 sí Solamente tenemos la variable

x con un exponente Cómo se resuelve

dejamos ese x con el exponente que est t

que en este caso es el número tres y qué

es lo que hacemos le sumamos uno al

exponente bueno en este ejercicio lo

hago explicándolo así pero pues ya uno

se salta Este paso no en lugar de 3 + 1

pues obviamente uno escribe 4 y ese

exponente que estaba aquí lo escribimos

dividiendo la expresión o sea ese 3 + 1

lo escribimos también en el denominador

y que no se te olvide la constante de

integración aquí nos falta un paso y es

pues el de hacer la suma no porque

Generalmente pues hay que hacerla

Entonces cómo nos quedaría nos quedaría

x elevado a la 3 + 1 eso es 4 sobre 3 +

1 que eso es 4 más la constante de

integración algo para revisar para que

siempre veas si te quedó bien o mal pues

es que el exponente debe ser igual al

denominador algo importante Por qué es

que tenemos que sumarle uno y escribirlo

en el denominador y algo también

importante Recuerda que todas las

integrales podemos saber si nos quedaron

bien cómo derivando porque acuérdate que

son operaciones inversas entonces si

nosotros derivamos esto que nos quedó en

el resultado nos debe dar esto que decía

aquí x al cub obviamente sin el

diferencial Entonces verifiquemos si sí

nos quedó bien esta integral no es

obligatorio hacerlo pero es muy fácil

hacerlo entonces con eso sabemos si nos

quedó bien no Recuerda que vamos es a

derivar No aquí derivamos recuerda que

para derivar x a la 4 se baja el

exponente y se le resta uno la resta 4 -

1 es 3 cu como es una constante pues

seguía quedando Recuerda que la

constante no importa si está

multiplicando o dividiendo simplemente

sigue quedando mira que en este caso

Bueno sigo derivando más la constante la

derivada de una constante es cer0

Entonces no la escribimos aquí mira que

nos quedó el cuatro y el cuat Entonces

se simplifican Y qué nos quedó nos quedó

x cb o sea que sí quedó bien la integral

algo importante mira que cuando nosotros

hacemos la derivada primero bajamos el

exponente Enton entonces por eso es que

en la integral se pone ese exponente

abajo para que al derivar se cancele con

el que ya teníamos Sí por eso es que el

exponente se pone abajo y en la derivada

qué hacemos restamos uno por eso es que

en la integral sumamos uno Sí bueno es

una una explicación ahí rapidita listos

vamos a pasar de una vez a resolver el

segundo ejemplo ya más rápidamente aquí

simplemente cambié la variable en este

caso la variable es la u pero aquí dice

u a la do o sea ahí tenemos la variable

con un exponente Cómo se hace ya te

invito a que pauses el video y resuelvas

los ejercicios Entonces ya me voy a

saltar un paso no aquí escribo igual

debería escribirlo aquí al frente pero

no hay problema u u a la do podríamos

escribir ese u a la 2 y sumarle uno pero

pues bueno ya 2 + 1 eso es 3 y el

exponente lo ponemos también igualito en

el denominador y ya terminamos solamente

nos falta sumar la constante de

integración que nunca se te olvide no

más adelante voy a grabar un video en el

que te explico por qué es que se debe

sumar esa constante Ya terminamos Ya

integramos no hay operaciones por hacer

ya podemos pasar al siguiente ejercicio

que te invito a que lo hagas como una

práctica este lo pongo porque yo he

visto que muchos estudiantes se

equivocan porque como es tan fácil uno

Ay pues lo hago rápido y nos queda mal

mucho cuidado con lo siguiente

simplemente volvemos a revisar que la

variable es la x y aquí dice X con un

exponente Entonces se realiza esto que

vamos a hacer o esto que estamos viendo

en el video no x al exponente se le suma

uno mucho cuidado voy a hacer esa suma

Cuál era el exponente -3 qué tenemos que

hacer sumarle uno no lo hagas con afán

Porque por eso podría quedarte mal -3 +

1 es -2 O sea que el exponente nuevo de

nuestra variable es el -2 y en el

denominador ponemos ese mismo exponente

-2 siempre le

sumamos la constante de integración

mucho cuidado que aquí pues ya

terminamos Ya integramos pero pues en

matemáticas Generalmente hay cositas que

se cambian cuando es el resultado porque

generalmente se acostumbra a no dejar

por ejemplo Generalmente en el resultado

uno un negativo no lo deja en el

denominador simplemente lo deja en el

numerador o sea este negativo lo subimos

Sí por qué Pues porque esta fracción es

negativa y si el negativo está arriba

sigue siendo negativo otra justificación

más por menos da menos Y si el negativo

está arriba menos por más da menos Sigue

siendo lo mismo entonces Generalmente

cuando está abajo se sube esa es una de

las cositas que vamos a hacer y segundo

Generalmente un exponente negativo en

una respuesta no se deja simplemente lo

lo cambiamos para escribirlo positivo

recuerda que aquí vamos a aplicar

propiedades de la potenciación Bueno voy

escribiendo la respuesta Entonces cómo

nos quedaría tenemos la fracción abajo

estaba el negativo y simplemente lo voy

a escribir arriba el dos que está abajo

pues sigue quedando abajo ahora si

nosotros queremos cambiar el signo del

exponente y la expresión estaba arriba

en el numerador simplemente lo que

hacemos es escribir la abajo y al

escribirla abajo ya cambia el signo eso

es aplicando propiedades que no lo voy a

explicar más listos entonces simplemente

ese x a la-2 lo escribimos abajo pero

por haberlo por haberlo escrito abajo ya

cambia el signo del exponente Bueno te

voy a explicar la propiedad Recuerda que

hay una propiedad que nos dice que si

tenemos x a la - n eso es igual a 1

sobre x a la n Sí o sea podríamos poner

aquí 1 sobre x a la dos sí Entonces

cuando queremos quitar un exponente

negativo escribimos un uno arriba y

abajo escribimos la expresión pero con

exponente positivo y aquí aquí me sirve

pues para poner ese uno ahí arriba para

que quede algo arriba no y siempre más

la constante de integración Aquí sí ya

no hay operaciones ya integramos

entonces podríamos comprobar esto

derivando para que veas que sí nos da y

ahora con el último ejemplo que te

invito a que practiques en este caso

mucho cuidado porque pues bueno

Generalmente uno no explica esto pero

pues te lo quiero explicar mira que en

este caso la variable es la x y aquí no

hay ninguna x eso ya lo V a ver más

adelante pero de una vez vamos

adelantándonos esto como no tiene la

variable entonces todo esto en

integrales se toma como una constante o

sea esto es como si fuera un numerito Sí

una constante qué es lo que se hacía con

las constantes que ya lo vimos en el

video anterior las constantes se sacan

de la integral Entonces no vamos a

integrar simplemente vamos a aplicar esa

propiedad sacamos la constante o sea u a

la 4 lo sacamos y nos queda solamente la

integral de dx o desea del diferencial

de x o de 1 como queramos decirlo ahora

si integramos aquí qué nos queda nos

queda u a la 4 cuidado que eso está

afuera sigue quedando afuera y lo que se

integra es esto de aquí la integral del

diferencial de x o más bien la integral

de 1 es x Por qué x Pues porque es esta

misma variable y no se nos olvide

sumarle la constante de integración y

así quedaría este ejercicio como te

decía Generalmente uno no ve esos

ejercicios porque pues estamos viendo

integrales de una variable pero pues

bueno Ahí te enseño como para que vayas

viendo lo que de pronto vas a ver más

adelante Pero bueno ahora sí con esto

termino mi explicación y como siempre

por último te voy a dejar estos tres

ejercicios para que ahora tú practiques

te invito a que te tomes el tiempo los

resuelvas con calma y comparas con la

respuesta que te voy a mostrar en tres

dos uno Espero que te haya parecido

sencillo y pues siempre es tan fácil que

lo mejor es primero revisar que sí

cumple las condiciones no empezamos con

el primero la variable es la x y aquí

dice X a la 7 o sea sí aplicamos esta

propiedad x a la 7 + 1 o sea x a la 8

sobre 8 + c y listos pilas con esto no

se te olvide la constante de integración

ahora segundo ejercicio la variable es

la t y aquí dice t a la 6 o sea si se

aplica integral t a la 6 + 1 o sea t a

la 7 sobre 7 no se te olvide la

constante de integración Y por último el

que esta con exponente negativo algo

importante es que aquí hay una constante

lo primero que se hace es esa constante

la sacamos Sí porque la variable es la x

y aquí dice X cu con una constante la

constante la sacamos y ahora sí podemos

integrar entonces la integral sería 3

por aquí le sumamos un mucho cuidado -2

+ 1 es -1 y ese -1 lo ponemos también en

el denominador como siempre por último

Pues aquí este negativo lo subimos mira

que lo escribí arriba o sea este

negativo lo escribimos aquí -3 mira que

como aquí de pronto debía haber hecho

todo el tiempo para No complicarnos aquí

abajo quedó un uno sí pero pues

Generalmente ya cuando está el uno abajo

no se escribe por eso es que no lo

escribí Y por último este x a la -1 lo

bajamos para que quede con exponente

positivo Entonces nos queda -3 y abajo x

a la 1 Pues el exponente ya no hay

necesidad de ponerlo y no se te olvide

la constante de integración y bueno

Espero que te haya gustado mi forma de

explicar y si es así te invito a que

veas los demás videos del curso para que

profundices mucho más acerca de este

tema Aquí también te dejo Algunos videos

que estoy seguro que te van a servir No

olvides comentar lo que desees comparte

este video con tus compañeros y

compañeras y seguro te lo van a

agradecer te invito a que te suscribas

al Canal a que le des un buen like a

este video y no siendo más bye bye