Derivación implícita - Ej. 2

Summary

Este ejercicio se centra en la derivación implícita de una expresión algebraica. Se explica paso a paso cómo aplicar la regla del producto y la regla de la cadena, considerando derivadas de términos que involucran a la variable y. A través de varias transformaciones y simplificaciones, se logra despejar la derivada de y con respecto a x. Al final, el proceso concluye con la derivada implícita expresada de manera simplificada. El video guía al espectador a través de cada operación y transformación, facilitando la comprensión de este tipo de derivación.

Takeaways

• 😀 Se utiliza la derivación implícita para encontrar la derivada de la expresión dada.
• 😀 El primer paso es reescribir la expresión utilizando exponentes fraccionarios.
• 😀 Se aplica la regla del producto para derivar el término 3xy con respecto a x.
• 😀 Cuando se deriva un término que contiene y, se debe multiplicar por y', la derivada de y con respecto a x.
• 😀 Se utiliza la regla de la cadena para derivar el término (xy)^(1/2).
• 😀 Se hace un cambio de exponente en la expresión xy^(1/2) para obtener un denominador positivo.
• 😀 Al derivar (xy)^(1/2), se multiplica por la derivada interna, que se obtiene usando la regla del producto.
• 😀 La derivada de una constante (como 4) es 0, lo que simplifica el lado derecho de la ecuación.
• 😀 Se agrupan los términos que contienen y' en el lado izquierdo de la ecuación para poder despejarlos.
• 😀 Finalmente, se despeja y' (o dy/dx) para obtener la derivada final, que incluye fracciones y raíces cuadradas.

Q & A

¿Qué técnica se utiliza para derivar la expresión en este ejercicio?

Se utiliza la derivación implícita, que es adecuada cuando la variable dependiente (y) está implícita en lugar de explícita.

¿Cómo se inicia el proceso de derivación en este ejercicio?

Se inicia convirtiendo la expresión en una forma de exponente fraccionario. Esto facilita la aplicación de las reglas de derivación.

¿Cómo se aplica la regla del producto en la derivación de la expresión?

Se aplica la regla del producto derivando el primer término (3x) y multiplicándolo por el segundo término sin derivar (y²), luego se suma el primer término sin derivar (3x) multiplicado por la derivada del segundo término (2y), multiplicada por y'.

¿Qué es lo que representa 'y prima' en esta derivación?

La 'y prima' (y') es la derivada de y con respecto a x, y se añade cada vez que se deriva un término que involucra y, ya que y depende de x.

¿Qué regla se utiliza para derivar el término que involucra el exponente 1/2?

Se utiliza la regla de la cadena, en la cual se baja el exponente (1/2) y se multiplica por la derivada del término dentro del paréntesis, que es el producto xy.

¿Cómo se maneja el término con el exponente negativo en la derivación?

El término con el exponente negativo (-1/2) se convierte en una fracción, como 1 sobre xy a la 1/2, lo cual se simplifica a 1 sobre la raíz cuadrada de xy.

¿Cómo se obtiene la expresión final que contiene 'y prima' después de la derivación?

Se reagrupan los términos que contienen 'y prima' en el lado izquierdo de la ecuación, mientras que los demás términos se trasladan al lado derecho. Luego, se factoriza 'y prima' y se despeja para obtener su valor.

¿Qué pasa con los términos que no contienen 'y prima' al reordenar la ecuación?

Los términos que no contienen 'y prima' se trasladan al lado derecho de la ecuación. En este caso, se suman y restan, dependiendo del signo de cada término.

¿Cómo se resuelve el denominador común en la expresión final?

Se identifica el denominador común, que es 2√(xy), y se utiliza para simplificar tanto el numerador como el denominador en la expresión final de la derivada.

¿Cuál es el resultado final de la derivada con respecto a x?

El resultado final de la derivada es dy/dx = (10√(xy) - 6y²√(xy) - y) / (12xy√(xy) + x), que es la expresión simplificada obtenida tras aplicar todos los pasos de la derivación implícita.