El concepto de derivada | Khan Academy en Español
Summary
TLDREl guion del video introduce la idea fundamental de la derivada en el cálculo diferencial, que es la tasa de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Se compara con la pendiente de una recta, que es una tasa de cambio constante, para luego introducir la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico. Se mencionan diferentes notaciones para representar derivadas y se enfatiza la importancia de este concepto en el cálculo y física. El video promueve la comprensión de cómo calcular la derivada y su relevancia en el análisis de cambios instantáneos en funciones.
Takeaways
- 📚 La pendiente de una recta representa la tasa de cambio de una variable vertical con respecto a una variable horizontal.
- 📐 Se puede calcular la pendiente eligiendo dos puntos en la recta y dividiendo el cambio en la variable vertical (Δy) entre el cambio en la variable horizontal (Δx).
- 🔍 Para cualquier recta, la pendiente es constante, lo que significa que el cambio en y por unidad de cambio en x es siempre el mismo.
- 📈 La idea de la derivada en el cálculo diferencial se refiere a la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico.
- 🧭 La pendiente de la recta tangente en un punto dada es la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
- 🤔 La derivada se puede entender como la velocidad de cambio de una variable con respecto a otra, similar a cómo se mide la velocidad de un corredor en un instante específico.
- 📉 La pendiente de la recta secante entre dos puntos de una curva da la tasa de cambio promedio entre esos puntos, pero esta puede variar dependiendo de los puntos elegidos.
- 📚 La derivada se denota con varias notaciones, como la notación de Leibniz (dy/dx), la notación de Lagrange (f'(x)) y la notación de Newton (y').
- 🔬 La derivada se calcula a través del límite cuando el cambio en x se acerca a cero, lo que representa el cambio instantáneo.
- 🛠 El cálculo diferencial proporciona herramientas para calcular derivadas y entender cómo varía una función en diferentes puntos.
- 🚀 La comprensión de las derivadas es fundamental en el estudio del cálculo y tiene aplicaciones en áreas como la física y la ingeniería.
Q & A
¿Qué describe la pendiente de una recta?
-La pendiente de una recta describe la tasa de cambio de una variable vertical (y) con respecto a una variable horizontal (x).
¿Cómo se puede calcular la pendiente de una recta?
-Para calcular la pendiente de una recta, se pueden elegir dos puntos en la recta y usar la fórmula del cambio en y (vertical) dividido por el cambio en x (horizontal).
¿Qué representa el símbolo griego delta (Δ) en el cálculo de pendientes?
-El símbolo griego delta (Δ) representa el cambio en una variable, por ejemplo, Δx es el cambio en x y Δy es el cambio en y.
¿Por qué es constante la pendiente de cualquier recta?
-La pendiente de cualquier recta es constante porque la tasa de cambio entre cualquier par de puntos en la recta es siempre la misma.
¿Cómo se puede calcular la tasa de cambio instantánea de una curva?
-La tasa de cambio instantánea de una curva se puede calcular trazando una recta tangente a la curva en un punto específico y luego determinando la pendiente de esa recta tangente.
¿Qué es una recta secante y cómo se relaciona con la pendiente de una curva?
-Una recta secante es una línea que conecta dos puntos en una curva. La pendiente de la recta secante entre dos puntos de una curva puede dar una aproximación de la tasa de cambio promedio entre esos puntos.
¿Cómo se denota la derivada según la notación de Leibniz?
-La derivada se denota como dy/dx en la notación de Leibniz, indicando el cambio infinitesimal en y con respecto a un cambio infinitesimal en x.
¿Qué simboliza la notación diferencial de Leibniz?
-La notación diferencial de Leibniz simboliza un cambio infinitesimal en y con respecto a un cambio infinitesimal en x, esencialmente representando una derivada.
¿Cómo se denota la derivada según la notación de Lagrange?
-La derivada se denota como f' (x) en la notación de Lagrange, representando la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.
¿Qué importancia tiene la derivada en el cálculo diferencial?
-La derivada es fundamental en el cálculo diferencial porque permite calcular la tasa de cambio instantánea en un punto específico de una curva, lo que es esencial para entender cómo varían las funciones.
Outlines
📚 Concepto de Pendiente de una Recta
El primer párrafo introduce el concepto de pendiente de una recta, explicando que es una medida de la tasa de cambio de una variable con respecto a otra. Se utiliza el ejemplo de dos variables, 'james' y 'x', para ilustrar cómo calcular la pendiente eligiendo dos puntos en un gráfico. La pendiente se define como el cambio en 'james' dividido por el cambio en 'x', representado con el símbolo 'delta' para el cambio. Además, se menciona que la pendiente de una recta es constante, independientemente de los puntos elegidos, lo cual es fundamental para entender la idea de cambio constante en el cálculo diferencial.
🔍 Introducción a la Derivada y Notaciones
El segundo párrafo profundiza en el concepto de derivada, que es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico, representada por la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se discute cómo la pendiente de la recta secante varía según los puntos elegidos y cómo aproximar la derivada utilizando límites. Se presentan varias notaciones para la derivada, incluida la notación de Leibniz, que involucra el cambio en 'james' con respecto a un cambio en 'x' cuando este se acerca a cero, y la notación de Lagrange, que utiliza la función 'f' con un subíndice para representar la derivada en un punto dado. También se menciona la notación de Newton, que es menos común en las clases de física. El párrafo concluye enfatizando la importancia de las derivadas en el cálculo diferencial y la necesidad de aprender a calcularlas para cualquier punto de una curva.
Mindmap
Keywords
💡Pendiente de una recta
💡Cambio en 'x' (Δx)
💡Cambio en 'y' (Δy)
💡Recta secante
💡Tasa de cambio instantánea
💡Recta tangente
💡Derivada
💡Annotación de Leibniz
💡Annotación de Lagrange
💡Límites
Highlights
La pendiente de una recta describe la tasa de cambio de una variable vertical con respecto a una variable horizontal.
Para encontrar la pendiente de una recta, se pueden elegir dos puntos y calcular el cambio en x (Δx) y el cambio en y (Δy).
La pendiente se define como el cambio en y dividido por el cambio en x (Δy/Δx).
Cualquier recta tiene una tasa de cambio constante, independientemente de los puntos elegidos.
El cálculo diferencial construye herramientas para pensar en la tasa de cambio instantánea de una curva.
La tasa de cambio promedio entre dos puntos de una curva varía según los puntos elegidos.
La recta secante entre dos puntos de una curva tiene una pendiente diferente a la de la recta tangente en un punto específico.
La pendiente de la recta tangente en un punto da la tasa de cambio instantánea en ese punto.
La derivada es la tasa de cambio instantánea, representada por la pendiente de la recta tangente.
La anotación de Leibniz para la derivada es el límite de (Δy/Δx) cuando Δx se acerca a 0.
La anotación de Lagrange para la derivada es f'(x), donde f' representa la derivada en un punto dado.
La anotación con punto de punto (f..) también denota la derivada y es común en física.
El cálculo diferencial permite calcular derivadas para cualquier punto de una curva, no solo para uno.
Los límites son útiles para entender el concepto de derivada, ya que es el límite del cambio en y con respecto a x cuando x se aproxima a 0.
La derivada describe la pendiente de la recta tangente para un punto dado en una curva.
El cálculo diferencial es una herramienta para entender y calcular la tasa de cambio instantánea en cualquier punto de una curva.
Transcripts
seguramente ya estás familiarizado con
la idea de la pendiente de una recta y
si no estás te encargo que pausas el
vídeo y vayas a repasar el concepto en
khan academy lo único que hace es
describir la tasa de cambio de una
variable vertical con respecto a una
variable horizontal así que por ejemplo
aquí tengo mi clásica james en el eje
vertical y mi clásica x en el eje
horizontal y si quisiera encontrar la
pendiente de esta recta podría elegir
dos puntos
digamos este punto y este punto y decir
ok de este punto a este punto cuál es mi
cambio en x bueno mi cambio en x va a
ser la distancia que tenemos aquí el
cambio en x este triángulo de aquí es la
letra griega delta mayúscula la cual es
un símbolo que representa el cambio así
que tengo el cambio en x y bueno también
puedo calcular cuánto es el cambio en
james es decir que si este punto sube
hasta este otro entonces tengo un cambio
que será éste
me cambio en yen y luego podemos definir
la pendiente como el cambio en james /
el cambio en x así que la pendiente va a
ser igual a la tasa de cambio de nuestro
eje vertical entre la tasa de cambio de
nuestro eje horizontal a veces lo
recordaremos como el desplazamiento
vertical entre el desplazamiento
horizontal y para cualquier recta
asociamos esto con la pendiente porque
cualquier recta tiene una tasa de cambio
constante si tomas cualquier par de
puntos de esta recta sin importar qué
tan lejos o qué tan cerca se encuentren
dondequiera que vivan en esta recta si
tú calculas la pendiente esta será la
misma y eso es lo que hace a una recta
ser una recta lo fascinante en el
cálculo es que vamos a construir las
herramientas para pensar en la tasa de
cambio no sólo de una recta antes
llamada pendiente sino pensar en la tasa
de cambio instantánea de una curva es
decir a una curva cuya tasa de cambio no
sea forzosamente constante así que por
ejemplo aquí tengo una
déjame hacerla donde la tasa de cambios
de con respecto a x cambia
constantemente pero si usamos nuestras
herramientas habituales y pensamos en la
tasa de cambio promedio entre estos dos
puntos digamos entre este punto y este
punto entonces primero pensemos en cuál
sería esa tasa de cambio bueno la tasa
de cambio promedio entre este punto y
este punto va a ser la pendiente de la
recta secante que conecta a estos dos
puntos entonces será la pendiente de
esta recta secante pero si tomamos otros
dos puntos distintos por ejemplo estos
otros dos la tasa de cambio promedio
entre esos dos puntos observa que va a
ser distinta parece que tiene una
pendiente mayor así que cuando tengamos
la pendiente de la recta secante entre
dos puntos de la curva puedes ver que
esa pendiente no siempre es la misma
para cualesquiera dos puntos
qué pasa si nos preguntamos algún poco
más interesante cuál va a ser la tasa de
cambio instantánea en un punto así que
por ejemplo qué tan rápido está
cambiando james con respecto a x en
exactamente este punto exactamente
cuando x toma este valor
llamémosle no sea x1 bueno la forma de
pensar la respuesta es trazar una recta
tangente en ese punto es decir una recta
que solo toque a este punto de la curva
y podemos calcular la pendiente de esta
recta tangente bueno esta será la tasa
de cambio instantánea en ese punto así
que en este caso la recta tangente se va
a ver así si sabemos la pendiente de
esta recta entonces podemos decir que
esa es la tasa de cambio instantánea
para ese punto y por qué digo
instantánea bueno piensa un poco en el
vídeo sobre usain bolt y los velocistas
si quieres saber la tasa de cambio de
usain bolt y lo piensas en un instante
dado bueno tal vez esto describa su
posición con respecto al tiempo y si que
fuera la posición 10 que fuera el tiempo
usualmente denotamos atp para el tiempo
pero imagina que en este caso es x
entonces si hablamos de lo que pasa en
este justo momento estaríamos hablando
de la tasa de cambio instantánea y esta
es la idea central del cálculo
diferencial que se le conoce con el
nombre de derivada la pendiente de la
recta tangente también la puedes llamar
la tasa de cambio instantánea
y estoy poniendo signos de exclamación
porque esto es muy importante así que
como denotamos una derivada bueno la
primera forma es usando lo que se conoce
como la anotación de leibovitz limits es
uno de los fundadores del cálculo junto
con isaac newton y la forma de denotar
lo es decir que la pendiente de la recta
tangente es igual
de james en tren de equis
ahora porque me gusta esta anotación
bueno porque esta viene directamente de
la noción de pendiente es decir de la
idea del cambio en james entre el cambio
en x y como verás en futuros vídeos una
forma de pensar en la pendiente de la
recta tangente es bueno calcular la
pendiente de la recta secante entre qué
tal este punto y este punto y después
acercarnos y calcular la pendiente de la
recta secante entre este punto y el que
buscamos y después acercarnos mucho más
y calcular la pendiente de la recta
secante entre este punto y el que
buscamos y ver qué es lo que pasa cuando
el cambio en x se aproxima a cero así
que cuando usas esta vez en lugar de
delta es la forma de leibniz de decir
hey
qué pasa sin mi cambio en x se acerca a
0 y bueno la anotación de learning se le
conoce como la anotación diferencial que
es fijarnos en un cambio en jr con
respecto a un cambio en x demasiado
pequeños un cambio en muy pequeño con
respecto a un cambio en x muy pequeño
especialmente cuando el cambio en x
pero como verás esta es la forma en la
que calculamos una derivada ahora
también hay otras notaciones por ejemplo
si esta curva la llevamos
james igual a fx entonces la pendiente
de la recta tangente la podemos denotar
como f prima del x1 en este caso esta es
la forma lagrange de denotar una
derivada y toma un poco de tiempo para
que la veas pero lo que dice
esencialmente es que f prima representa
la derivada lo que nos dice es que
tenemos la pendiente de la recta
tangente para un punto dado así que si
tú ingresas una equis en esta función
obtiene su correspondiente y pero si tú
ingreses una equis en f prima obtienes
la pendiente de la recta tangente en ese
punto
y por último otra anotación que aparece
menos en las clases de cálculo pero que
aparece más en las clases de física es
la anotación con un punto de punto que
también denota a la derivada también
puedes ver la anotación de 10 prima que
es un poco más común es clase de
matemáticas pero bueno es momento de
seguir nuestro paso en la aventura del
cálculo porque vamos a crear
herramientas para calcular estas
derivadas y si ya estás familiarizado
con los límites entonces te será muy
útil porque puedes pensar esto como el
límite del cambio en que con respecto a
x cuando el cambio en x se aproxima a 0
y no sólo vamos a averiguar esta
derivada para un solo punto vamos a
poder averiguar una ecuación que
describa la derivada para cualquier
punto de tu curva así que mantente muy
atento
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