¿Para qué sirven las Ecuaciones Diferenciales? Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Summary
TLDREste video educativo explora las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversas áreas de las ciencias, como la física, química, biología, economía e ingeniería. Se ilustra con ejemplos sencillos, como el análisis de la población bacteriana y la ley de enfriamiento de Newton, para demostrar cómo estas ecuaciones pueden predecir comportamientos y cambios en sistemas dinámicos. Además, se mencionan otras aplicaciones, incluyendo la relación entre poblaciones de depredadores y presas, el análisis de circuitos LLC y el movimiento de objetos. El video invita a la audiencia a aprender más sobre la creación de modelos matemáticos y a seguir el canal para futuras explicaciones y ejemplos.
Takeaways
- 📚 Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en diversas áreas de las ciencias, incluyendo física, química, biología, economía e ingenierías.
- 🌿 Un ejemplo de aplicación es el análisis de poblaciones, donde se estudia cómo crece una población de organismos, como bacterias, animales o plantas.
- 📊 Para medir el crecimiento de una población, es necesario considerar factores como la tasa de crecimiento y cómo esta puede variar con el tamaño de la población y otros factores ambientales.
- ⏱ Mediante ecuaciones diferenciales, se puede modelar y predecir el crecimiento poblacional a lo largo del tiempo, más allá de simples observaciones de crecimiento lineal.
- 🌡 Otra aplicación mencionada es la ley de enfriamiento de Newton, que describe cómo los objetos tienden a igualarse a la temperatura del ambiente a una velocidad proporcional a la diferencia de temperaturas.
- ☕ La ley de enfriamiento de Newton puede ser aplicada para predecir la temperatura de un objeto a un tiempo dado, como la taza de café que se enfría.
- 🔗 Las ecuaciones diferenciales también son útiles para analizar la relación entre poblaciones de depredadores y presas, donde la dinámica de una afecta directamente a la otra.
- 💡 El análisis de circuitos LLC (resistencia, inductancia y capacitancia) es otra área donde las ecuaciones diferenciales son esenciales para medir la corriente y otros aspectos del funcionamiento del circuito.
- 🚀 Las ecuaciones diferenciales son importantes para el estudio del movimiento de objetos, permitiendo predecir su posición y velocidad en diferentes momentos.
- 🔥 La transmisión del calor, como el calentamiento de una varilla metálica, también puede ser modelada utilizando ecuaciones diferenciales parciales, lo que es útil en el análisis de fenómenos térmicos.
- 🎥 Se anticipa un próximo video que explicará cómo crear un modelo utilizando ecuaciones diferenciales, como la ley de enfriamiento de Newton, para aquellos interesados en aprender más sobre esta técnica.
Q & A
¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales en la ciencia?
-Las ecuaciones diferenciales son utilizadas en varias ramas de la ciencia, como la física, química, biología, economía e ingenierías, para modelar y resolver problemas relacionados con cambios y variaciones continuas a lo largo del tiempo o el espacio.
¿Cómo se relaciona el crecimiento de una población con las ecuaciones diferenciales?
-Las ecuaciones diferenciales pueden modelar el crecimiento de una población, ya sea de animales, personas, plantas o bacterias, tomando en cuenta factores como la tasa de crecimiento y cómo esta puede ser proporcional a la población misma.
¿Cómo se utiliza un ejemplo simple para ilustrar el crecimiento de una población bacteriana?
-Se puede usar un ejemplo hipotético donde se tiene una población inicial de 100 bacterias que crece a una tasa de 10 bacterias por hora, para luego compararlo con un modelo más realista donde el crecimiento es proporcional a la población existente.
¿Por qué no es práctico utilizar un modelo sencillo para calcular el crecimiento de una población a largo plazo?
-Un modelo sencillo, como el que asume una tasa de crecimiento fija, no es práctico para largas periodos de tiempo porque no tiene en cuenta factores como la saturación de recursos o la competencia entre individuos, que ralentizan el crecimiento a medida que la población aumenta.
¿Qué es la ley de enfriamiento de Newton y cómo está relacionada con las ecuaciones diferenciales?
-La ley de enfriamiento de Newton establece que la velocidad de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su ambiente. Esta ley puede ser expresada y analizada utilizando ecuaciones diferenciales para predecir cómo cambia la temperatura con el tiempo.
¿Cómo se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton a la predicción de la temperatura de una taza de café después de un tiempo dado?
-Se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton a través de una ecuación diferencial para calcular la disminución de temperatura de una taza de café a lo largo del tiempo, lo que permite predecir su temperatura en un momento específico.
¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales y para qué se usa?
-Un sistema de ecuaciones diferenciales es una colección de ecuaciones diferenciales que se usan para modelar situaciones en las que varias cantidades cambian con el tiempo de manera interconectada, como la relación entre poblaciones de depredadores y presas.
¿Cómo se relacionan las ecuaciones diferenciales con el análisis de circuitos LLC?
-Las ecuaciones diferenciales son utilizadas para modelar y analizar el comportamiento de circuitos LLC, permitiendo calcular la corriente y la tensión en diferentes puntos del circuito a lo largo del tiempo.
¿En qué se pueden utilizar las ecuaciones diferenciales para analizar el movimiento de objetos?
-Las ecuaciones diferenciales pueden usarse para determinar la posición, velocidad y aceleración de un objeto en movimiento, incluso cuando se consideran factores como la fricción o las fuerzas aplicadas.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales parciales y cómo difieren de las ecuaciones diferenciales ordinarias?
-Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que involucran derivadas parciales y se usan para modelar fenómenos que dependen de más de una variable, como la transmisión del calor a través de un objeto en varias direcciones.
Outlines
📚 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Este primer párrafo presenta el tema central del video, que es el estudio de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en diversas áreas de las ciencias. Se mencionan campos como la física, química, biología, economía e ingenierías donde estas ecuaciones son fundamentales. El script proporciona un ejemplo sencillo del análisis de poblaciones, donde se describe cómo medir el crecimiento de una población bacteriana y cómo este crecimiento puede modelarse mediante ecuaciones diferenciales. Se destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para resolver problemas prácticos y se establece el tono para el resto del video, donde se profundizará en problemas específicos y se resolverán mediante ecuaciones diferenciales.
🌡 Ejemplo de Enfriamiento de Newton
En el segundo párrafo, se explora el concepto de enfriamiento de Newton, una ley que describe cómo los objetos tienden a igualarse a la temperatura del ambiente. Se utiliza el ejemplo de una taza de café que se enfría a través del tiempo hasta alcanzar la temperatura del entorno. Se discuten diferentes escenarios, como la enfriamiento de tazas de café a diferentes temperaturas iniciales y cómo la tasa de enfriamiento varía en función de la diferencia de temperatura con el ambiente. Se sugiere que la velocidad de enfriamiento es proporcional a esta diferencia, lo que se puede modelar y resolver utilizando ecuaciones diferenciales para responder preguntas específicas sobre el tiempo y la temperatura.
🔗 Sistemas Dinámicos y Aplicaciones Variadas
El tercer párrafo amplía el alcance de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales al mencionar sistemas dinámicos, como la relación entre poblaciones de depredadores y presas, así como el análisis de circuitos LLC y el movimiento de objetos bajo la influencia de resortes. También se toca el tema de la transmisión del calor a través de una varilla metálica, lo que requiere el uso de ecuaciones diferenciales parciales debido a la consideración de variables espaciales y temporales. Se enfatiza la versatilidad de las ecuaciones diferenciales para abordar una amplia gama de problemas en física, biología y otras disciplinas.
🎥 Creación de Modelos con Ecuaciones Diferenciales
El último párrafo del script se centra en la creación de modelos utilizando ecuaciones diferenciales. El presentador invita a los espectadores a aprender cómo escribir leyes conocidas, como la ley de enfriamiento de Newton, en forma de ecuaciones diferenciales. Se anuncia un próximo video que explicará este proceso detalladamente, y se pide a la audiencia que likee, se suscriban y compartan el contenido si les gustó el video, promoviendo la interacción y el seguimiento de la serie de videos.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones diferenciales
💡Aplicaciones
💡Análisis de poblaciones
💡Cambio proporcional
💡Ley de enfriamiento de Newton
💡Velocidad de enfriamiento
💡Sistemas de ecuaciones diferenciales
💡Circuitos LLC
💡Movimiento de objetos
💡Transmisión de calor
Highlights
Las ecuaciones diferenciales tienen múltiples aplicaciones en distintas ramas de las ciencias como física, química, biología, economía e ingenierías.
Un ejemplo de aplicación es el análisis de poblaciones, donde se estudia cómo crece una población de animales, personas, plantas o bacterias.
Se puede modelar el crecimiento de una población bacteriana con una ecuación diferencial que toma en cuenta el ritmo de crecimiento proporcional a la población existente.
Las ecuaciones diferenciales permiten predecir la cantidad de bacterias después de un tiempo determinado, incluso para valores no enteros como 3.5 horas.
Las ecuaciones diferenciales son esenciales para responder preguntas como el tiempo que tarda una población en duplicarse.
La ley de enfriamiento de Newton relaciona la velocidad de enfriamiento de un objeto con la diferencia de temperaturas entre el objeto y el ambiente.
Es posible determinar la temperatura de un objeto en un momento específico utilizando ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales ayudan a analizar la relación entre poblaciones de depredadores y presas, mostrando cómo se influyen mutuamente.
El análisis de circuitos LLC, que incluyen resistencias, inductores y capacitores, puede realizarse mediante ecuaciones diferenciales para medir la corriente en un circuito.
Las ecuaciones diferenciales son útiles para modelar el movimiento de objetos unidos por resortes y para incluir factores como la fricción.
La transmisión de calor a través de una varilla metálica se puede analizar con ecuaciones diferenciales parciales, que manejan funciones con más de una variable.
Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para modelar y resolver problemas en ciencias y ingenierías.
Se planifica un video adicional para explicar cómo crear un modelo usando ecuaciones diferenciales, como la ley de enfriamiento de Newton.
Los espectadores son animados a like, suscribirse y compartir los videos para apoyar el canal.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo
vamos a hablar acerca de para qué sirven
las ecuaciones diferenciales y esto
vamos a verlo
mediante pues varios ejemplos en los
cuales se pueden aplicar las ecuaciones
diferenciales en primer lugar las
ecuaciones diferenciales tienen
muchísimas aplicaciones en varias ramas
de las ciencias por ejemplo en física en
química en biología economía y en las
ingenierías entonces vamos a ver algunos
de estos ejemplos y en los próximos
vídeos iremos viendo pues ya problemas
más concretamente que resolveremos
mediante ecuaciones diferenciales por
ejemplo una de las aplicaciones más
sencillas es el análisis de poblaciones
o sea medir cómo crece una población ya
sea una población de animales una
población
personas una población de plantas por
ejemplo o una población de bacterias por
ejemplo supongamos que tenemos pues una
determinada cantidad de bacterias por
ejemplo 100 bacterias y quisiéramos
saber cuál va a ser la cantidad de
bacterias que habrá después de un
determinado tiempo para esto por
supuesto tendríamos que medir de qué
forma crece esa cantidad de bacterias
que pues no será la misma manera para
todas las especies de bacterias por
ejemplo o también podría depender de la
temperatura en la cual se encuentran las
bacterias de la cantidad de alimentos
que tengan y demás cosas pero por
ejemplo supongamos que medimos que está
determinada población de bacterias que
son 100 bacterias que crece con un ritmo
en el cual en cada hora hay 10 bacterias
más que las que teníamos si tenemos
únicamente este pequeño dato podemos
responder muy fácilmente preguntas como
la siguiente cuántas bacterias hay
después de 3
bueno pues muy fácilmente si cada hora
hay 10 bacterias más pues entonces
después de tres horas habrá 30 bacterias
más así que tendremos pues 100 más 30
130 bacterias
esto de aquí pues es un
un modelo muy sencillo y realmente no no
se ajusta muy bien a la realidad porque
imagínense que por ejemplo en lugar de
100 bacterias en la población fuera de
1000 bacterias a la mejor de estas 100
bacterias al crecer esa población en
algún momento hay 1000 y cuando haya mil
bacterias pues ya no podremos afirmar
que cada hora hay 10 bacterias más es
claro que entre más bacterias haya pues
va a crecer más rápido la población
porque pues más bacterias se irán
reproduciendo entonces
en este caso un modelo más preciso sería
aquel en el que tomemos en cuenta que el
crecimiento de esa población no es el
mismo siempre sino que va a ir
aumentando conforme vaya aumentando el
número de bacterias por ejemplo
supongamos igual que antes que tenemos
100 bacterias y supongamos que con esas
100 bacterias si ocurre que el
crecimiento es de 10 bacterias por hora
pero además supongamos que conocemos la
siguiente ley que el crecimiento de la
población de bacterias es proporcional a
la propia población esto de que es
proporcional lo que quiere decir es que
si tuviéramos el doble de bacterias
entonces tendríamos el doble de
crecimiento es decir que si tuviéramos
200 bacterias el crecimiento sería
entonces de 20 bacterias por ahora esto
podría ser pues algo mucho más razonable
si tenemos el doble
cantidad de población pues esperamos que
haya el doble de crecimiento entonces
volvamos a plantear la pregunta de antes
quisiéramos saber cuántas bacterias hay
después de tres horas en este caso ya no
es tan fácil responder a la pregunta lo
que podríamos hacer es ir analizando
pues el crecimiento de la población hora
por hora
por ejemplo en este caso considerar el
tiempo la población y la velocidad esas
son las tres variables que irán
cambiando cuando ha pasado una hora
fíjense que originalmente teníamos 100
bacterias y sabemos que crecerán 10
bacterias por cada hora entonces cuando
pase una hora pues sabemos que habrá 110
bacterias las 100 que teníamos malas 10
bacterias que se agregaron por ahora
pero como ya vamos a tener 110 bacterias
ya la velocidad ya no va a ser de 10
bacterias por ahora ya la velocidad
también aumentará por lo que estamos
diciendo de que el crecimiento es
proporcional a la población si la
población es más grande entonces la
velocidad de crecimiento también es más
grande entonces en este caso
sabríamos cuál es la velocidad con la
que seguirá creciendo la población pues
podemos ver que en este caso la
velocidad es pues una décima parte de la
propia población si tenemos 100
bacterias dividimos 100 entre 10 y
tenemos pues que va a haber 10 bacterias
más por ahora si tuviéramos 200 pues 200
entre 10 nos da 20 entonces en este caso
que tenemos 110 pues si dividimos entre
10 nos queda 11 es decir que el
crecimiento es de 11 por hora
ahora cuando pase otra hora o sea
después de las 2 horas
la población de bacterias será estas 110
que teníamos más otras 11 que se agregan
o sea sería 121 y la velocidad
ahora será pues la décima parte de 121
que es 12.1 ahora cuando pase otra hora
más pues la población será estos 121 más
12.1 que se agregan eso nos da 133.1 y
entonces sabemos que después de tres
horas la población de bacterias será de
133 punto 1 todo esto lo hemos estado
resolviendo aplicando únicamente álgebra
pero qué tal si por ejemplo en lugar de
preguntarnos cuántas bacterias hay
después de 3 horas
la pregunta fuera cuántas bacterias hay
después de 24 horas
claro podríamos seguir haciendo esta
tabla ir escribiendo hora por hora hasta
llegar a 24 horas si quisiéramos saber
cuántas hay después de 100 horas pues
tendríamos que hacer una tabla con 100
renglones entonces ya no queda como algo
muy práctico el estar haciendo esta
tabla quisiéramos encontrar
una fórmula matemática que nos pudiera
dar la cantidad de bacterias que hay
dependiendo del tiempo que ha
transcurrido y eso es algo que podremos
hacer mediante las ecuaciones
diferenciales una vez que encontremos
esa función podremos encontrar cuántas
bacterias hay después de un determinado
tiempo ya no tienen por qué ser horas
también podría ser por ejemplo cuántas
bacterias hay después de 3.5 horas por
ejemplo y podremos responderlo
directamente con la función que
encontremos también podremos responder
preguntas como esta de aquí en cuánto
tiempo se duplica la población original
o sea quisiéramos saber cuánto tiempo
debe transcurrir para pasar de las 100
bacterias a las 200 bacterias
todo esto lo podremos responder mediante
ecuaciones diferenciales y ésta será la
primera aplicación que veremos en los
próximos vídeos
veamos otro ejemplo otro ejemplo es la
ley de enfriamiento de enfriamiento de
newton esta ley tiene que ver pues con
la velocidad con la que los objetos
tienden a enfriarse para igualarse a la
temperatura del ambiente por ejemplo
supongamos que tenemos una taza de café
y que esa tasa de café tiene una
temperatura digamos de 70 grados celsius
y supongamos que el ambiente en el que
se encuentra este café pues es un
ambiente con una temperatura de 20
grados celsius entonces conforme va
transcurriendo el tiempo pues el café se
irá enfriando irá disminuyendo su
temperatura hasta que sea
aproximadamente igual a la temperatura
del ambiente tiende a igualarse a la
temperatura del ambiente lo mismo
ocurrirá con cualquier objeto que tenga
una temperatura mayor a la del ambiente
por ejemplo si tenemos otra taza de café
con una temperatura de 40 grados celsius
también esta tasa de café se irá
enfriando hasta llegar a los 20 grados
celsius lo mismo ocurre si tenemos un
objeto que tenga una temperatura
a la del ambiente por ejemplo un objeto
que estuviera a cero grados celsius pues
se irá calentando hasta llegar a la
temperatura del ambiente bueno ahora
aquí podría surgir una pregunta
cuál será la temperatura de la taza de
café después de que han transcurrido
cinco minutos bueno puede ser que para
la primer taza de café nosotros miramos
la temperatura después de cinco minutos
y veamos que por ejemplo ha disminuido
la temperatura y ahora es de 40 grados
celsius la pregunta sería entonces para
esta otra taza de café cuál sería su
temperatura después de esos cinco
minutos fíjense que la primer taza de
café ha disminuido su temperatura en 30
grados se ha paso de 70 a 40 se
disminuyó en 30 grados no podemos decir
que esta tasa también se va a disminuir
en 30 grados su temperatura porque si
disminuyeran 30 grados su temperatura
sería de 10 pero estaría por debajo de
la del ambiente y sabemos que la tasa de
café se enfriará hasta llegar a la
temperatura del ambiente no se enfriará
hasta más abajo de esa temperatura
entonces no va a disminuir 30 grados
bueno mediante ecuaciones diferenciales
nosotros podemos determinar cuál será la
temperatura de esta taza de café
a partir de estos datos claro que la
temperatura será algo menor a 40 grados
pero seguirá siendo superior a 20 o sea
podría ser por ejemplo algo como 27
grados celsius y entonces podemos notar
que esta taza de café que tenía una
temperatura más elevada disminuyó 30
grados en el mismo tiempo en los mismos
5 minutos que esta tasa disminuyó de los
40 a los 27 por ejemplo o sea ésta
disminuyó 13 grados mientras que ésta
disminuyó en 30 es decir que conforme
más alta fuera la temperatura de la taza
del café más rápido se irá enfriando que
en una taza de café que se parece más su
temperatura de la del ambiente o sea
podemos inferir lo siguiente que la
velocidad de enfriamiento de un objeto
es proporcional a la diferencia de
temperaturas o sea a la diferencia de la
temperatura del objeto con la
temperatura del ambiente entre mayor sea
esa diferencia más rápido se irá
enfriando el objeto es decir que si
tuviéramos otra taza de café
a 90 grados celsius pues esa tasa se
enfriará más rápido que esta de aquí
bueno a esta de aquí es a la que se le
conoce como ley de enfriamiento de
newton y la podemos expresar mediante la
ayuda de ecuaciones diferenciales y a
partir de ahí podremos responder pues
varias preguntas por ejemplo otra
pregunta que podríamos responder pues es
cuál será la temperatura de las tazas de
café cuando han transcurrido diez
minutos por ejemplo cuando este dato no
lo tenemos o sea el dato que teníamos
será cuando han transcurrido cinco
minutos pues sabemos que pasó de 70 a 40
pero quisiéramos saber cuál será la
veloz la temperatura después de 10
minutos y eso ya podemos saberlo a
partir de la ecuación diferencial
también podemos responder preguntas como
ésta cuánto tiempo tardará esta taza de
café en enfriarse hasta llegar a 25
grados celsius
bueno las ecuaciones diferenciales
tienen muchas más aplicaciones que estas
dos que vimos otra aplicación por
ejemplo es al analizar la relación que
hay entre poblaciones de depredadores y
presas por ejemplo poblaciones de leones
y de cebras estas poblaciones se
relacionan mucho entre sí si hay más
depredadores
habrá menos presas si hay menos
depredadores habrá muchas más presas
porque al haber menos depredadores pues
en este caso por ejemplo las cebras pues
se reproducirán mucho más rápidamente
entonces este tipo de relación entre
estas poblaciones las podemos escribir
mediante ecuaciones diferenciales en
este caso mediante sistemas de
ecuaciones diferenciales otra aplicación
es el análisis de circuitos llc
o sea circuitos que están formados por
resistencias por inductores y por
capacitores en este tipo de circuitos
nos puede interesar medir la corriente
que circula a través del circuito en
cada momento y eso lo podemos hacer
mediante ecuaciones diferenciales sera
aplicación que veremos más adelante otra
aplicación es el movimiento de los
objetos por ejemplo si tenemos un objeto
unido mediante un resorte pues a una
pared por ejemplo y queremos ver cuál
será la velocidad de este objeto en cada
momento cuál será su posición en cada
momento eso podremos determinarlo
a partir de ecuaciones diferenciales y
podremos también agregar aquí más cosas
por ejemplo agregar la fricción que hay
entre el objeto y el piso y medir a
partir de esa fricción pues este este
objeto como se irá moviendo como irá
cambiando su velocidad y cuál será su
posición después de cada determinado
tiempo
otra aplicación es la transmisión de
calor por ejemplo si tenemos una varilla
delgada metálica así como esta de aquí y
calentamos uno de los extremos entonces
este extremo se irá calentando pero pues
el calor se irá transmitiendo a través
de toda la varilla entonces podría
interés interesarnos saber cuál es la
temperatura de un punto determinado de
la varilla después de un determinado
tiempo o sea en este caso tendremos dos
variables una será la temperatura en un
punto determinado y otra variable será
la posición de ese punto en este caso
para analizar este tipo de fenómeno lo
podremos hacer también mediante
ecuaciones diferenciales pero en este
caso ecuaciones diferenciales parciales
o sea con derivadas parciales porque
estaremos manejando funciones con más de
una variable bueno estas son algunas de
las muchísimas aplicaciones que tienen
las ecuaciones diferenciales y serán
aplicaciones que iremos viendo en los
próximos vídeos pero antes de entrar de
lleno a este tipo de aplicaciones voy a
hacer otro vídeo en el cual explicaré
cómo crear un modelo mediante ecuaciones
diferenciales es decir voy a explicar de
qué manera podemos escribir mediante
ecuación diferencial alguna ley que
nosotros conozcamos como por ejemplo la
ley de enfriamiento de newton como
podríamos escribirla mediante una
ecuación diferencial entonces los invito
a que miren el siguiente vídeo y si les
gustó este vídeo apoyen me regalándome
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