Lesson 33 Long Division to Find Roots

Summary

В этом видео объясняется, как использовать долгую делимость для нахождения корней многочлена x⁴ + x³ - 35x² + 101x - 44, используя данные о комплексных корнях x = 3 + √2i и x = 3 - √2i. Вместо синтетической делимости предлагается метод превращения комплексных корней в квадратичный фактор и выполнения долгой делимости. Этот подход помогает упростить вычисления, избегая множества операций с комплексными числами. В результате мы получаем квадратичное уравнение, которое решается через квадратный корень и квадратную формулу для нахождения всех корней.

Takeaways

• 😀 В этом видео обсуждается использование длинного деления для упрощения нахождения корней полинома.
• 😀 Приводится пример полинома: x⁴ + x³ - 35x² + 101x - 44.
• 😀 Известно, что x + 3i — это один из корней, что означает, что x - 3i также является корнем.
• 😀 Вместо использования синтетического деления с комплексными числами, предлагается использовать метод превращения корня в квадратный фактор.
• 😀 Процесс превращения x = 3 + √2i в квадратный фактор включает в себя 'развёртывание' квадрата и применение свойства комплексных чисел.
• 😀 Метод позволяет упростить задачу, избегая множества операций с комплексными числами.
• 😀 После того как получен квадратный фактор (x² - 6x + 11), можно применить длинное деление для полинома.
• 😀 Длинное деление используется для упрощения вычислений, что предпочтительнее, чем синтетическое деление, когда используются комплексные числа.
• 😀 В процессе деления важно аккуратно работать с отрицательными знаками и тщательно выполнять вычитания.
• 😀 Результатом деления является второй квадратный полином, который можно решить с помощью формулы квадратного уравнения.
• 😀 Корни уравнения, найденные с помощью квадратной формулы, включают 3 + √2i и 3 - √2i, а также два других корня, которые являются действительными числами.

Q & A

Что такое синтетическое деление и почему оно может быть сложным в данном примере?

Синтетическое деление — это метод деления многочленов, который позволяет быстро выполнять деление, используя только коэффициенты. В данном примере синтетическое деление с комплексными числами, такими как 3 + √2i, может быть сложным из-за множества операций с мнимыми числами и необходимости дважды применять синтетическое деление.

Как можно преобразовать корень 3 + √2i в квадратичный множитель?

Для преобразования корня 3 + √2i в квадратичный множитель можно сначала выразить его как линейный множитель (x - (3 + √2i)) и затем преобразовать его в квадратичную форму, упростив выражение и выполнив действия с квадратом и отрицательным числом.

Каким образом можно выполнить деление многочлена, используя длинное деление вместо синтетического?

Длинное деление используется, когда синтетическое деление становится сложным, например, с комплексными числами. В длинном делении мы делим только первые члены, умножаем на соответствующий множитель и затем выполняем вычитание, сохраняя аккуратность в процессе.

Почему деление x^4 на x^2 считается простым в данном контексте?

Деление x^4 на x^2 является простым, потому что необходимо делить только первые члены многочлена, что упрощает процесс. Это позволяет легко вычислить коэффициенты для дальнейших шагов деления.

Какие шаги следует выполнять при делении многочлена с использованием длинного деления?

При длинном делении сначала делим первый член делимого на первый член делителя, затем умножаем результат на весь делитель и вычитаем результат из исходного многочлена, повторяя этот процесс до конца.

Почему важно правильно управлять знаками при вычитании в длинном делении?

Правильное управление знаками при вычитании критично, так как неправильное обращение с минусами может привести к ошибкам, которые затем повлияют на окончательный результат деления и, соответственно, на нахождение корней.

Что происходит с остатком после деления многочлена в этом примере?

После выполнения всех шагов деления, остаток должен быть равен нулю, что подтверждает правильность выполнения деления и позволяет перейти к решению квадратичного уравнения.

Какие корни были найдены в конце примера, и как их вычислить?

В конце примера были найдены два типа корней: 3 + √2i и 3 - √2i (предоставленные в условии), а также корни уравнения x^2 + 7x - 4 с использованием квадратной формулы, дающие два других корня: -7 ± √33 / 2.

Почему в этом примере было решено использовать квадратную формулу для нахождения корней?

Квадратную формулу решили использовать, потому что уравнение x^2 + 7x - 4 не факторизуется, и другие методы, такие как завершение квадрата, приведут к сложным дробям.

Что происходит, если ошибиться при выполнении умножения и вычитания в длинном делении?

Если допустить ошибку при умножении или вычитании в длинном делении, это приведет к неверным коэффициентам на последующих этапах, что повлияет на окончательный результат и, возможно, затруднит нахождение правильных корней.