Logarithms - What is e? | Euler's Number Explained | Infinity Learn NEET

Summary

В этом видео рассматривается важность и понятие числа e, также известного как число Эйлера или натуральный логарифм. Начинается с объяснения логарифмов с основанием 10 и e, переходя к более глубокому пониманию непрерывного роста. Через пример с удваиванием денег за время и его улучшение с использованием непрерывного начисления процентов, видео раскрывает, как число e (примерно 2.718) представляет собой максимально возможный результат при непрерывном компаундинге. В завершение объясняется, как число e используется в более сложных расчетах для других процентных ставок и временных периодов.

Takeaways

• 😀 Логарифмы с основанием 10 и основанием e являются наиболее часто используемыми, где логарифм с основанием 10 более интуитивно понятен благодаря кратным 10.
• 😀 Логарифм с основанием e, также называемый натуральным логарифмом (LN), используется для описания естественного роста и является важным понятием в математике.
• 😀 Число e — это иррациональная константа, которая представляет собой максимальный возможный результат при непрерывном сложении на 100% за один период времени.
• 😀 Чтобы понять число e, важно рассматривать его в контексте роста, например, как деньги удваиваются через определенные интервалы времени.
• 😀 Пример с удваиванием: если у вас есть доллар, он удваивается каждый период времени, и это можно описать как 2^x, где x — это количество периодов.
• 😀 В реальной жизни рост всегда постепенный, и природа не использует скачкообразные изменения, как в примере с удваиванием денег.
• 😀 Для более точного моделирования роста можно разделить период на более мелкие промежутки времени, что позволит получать более точные результаты (например, ежегодный рост на 50% в два полугодия).
• 😀 Чем больше промежутков времени, тем выше результат роста, например, при разделении на 365 периодов в году результат приближается к числу e, которое составляет примерно 2.718.
• 😀 Число e является пределом для непрерывного роста при 100% за один период времени, где прирост происходит постоянно, а не скачкообразно.
• 😀 Число e используется в различных областях, таких как финансы и экономика, для расчета роста при непрерывном сложении, и оно также применяется в более сложных формах, например, при изменении процентной ставки или количества периодов.

Q & A

Что такое логарифм с основанием 10 и почему он так широко используется?

Логарифм с основанием 10 широко используется, потому что он интуитивно понятен. Мы легко оперируем с числами, кратными 10, такими как 10, 100, 1000, и так далее. Логарифм по основанию 10 помогает упростить работу с такими числами, предоставляя удобную шкалу для вычислений.

Что такое натуральный логарифм и как он связан с числом 'e'?

Натуральный логарифм — это логарифм с основанием 'e', где 'e' — это математическая константа, известная как число Эйлера. Этот логарифм часто используется в математике, физике и других науках для описания процессов роста и изменения.

Что такое число 'e' и почему его называют магическим?

Число 'e' — это иррациональная константа, примерно равная 2,718. Оно называют магическим, потому что оно часто встречается в природе, особенно в процессах, связанных с непрерывным ростом, таких как сложные проценты или популяционный рост.

Как 'e' связано с ростом и сложными процентами?

'e' возникает, когда мы рассматриваем непрерывное начисление процентов или рост, происходящий не скачками, а постепенно, в течение времени. Если мы увеличиваем количество временных интервалов для начисления процентов, сумма стремится к числу 'e'.

Как происходит рост с шагами, например, удвоение денег?

Когда деньги удваиваются каждый год, это пример дискретного роста. В начале года у вас есть 1 доллар, в конце первого года — 2 доллара, на следующий год — 4 доллара и так далее. Это представление роста как степени числа 2.

Почему рост в реальной жизни происходит постепенно, а не скачками?

Рост в реальной жизни всегда постепенный. Например, человеческий рост или рост растений происходят не скачками, а постепенно, в течение длительного времени, что более точно моделирует естественные процессы.

Что происходит, если разделить год на более мелкие временные интервалы для расчета роста?

Если разделить год на более мелкие временные интервалы, например, на два, четыре или двенадцать частей, сумма будет расти быстрее, чем если бы весь рост произошел в конце года. Это приводит к тому, что сумма приближается к числу 'e', если интервалы становятся все более частыми.

Как число 'e' связано с непрерывным начислением процентов?

Число 'e' описывает максимально возможный рост, когда проценты начисляются непрерывно, то есть без перерывов и изменений за определенные интервалы времени. Это максимальный результат непрерывного роста с заданной процентной ставкой.

Почему невозможно получить бесконечные деньги, несмотря на использование 'e'?

Хотя при непрерывном начислении процентов рост происходит быстрее, в конечном итоге результат стабилизируется и приближается к числу 'e', что является пределом. Бесконечный рост невозможен, так как природа также ограничена.

Как можно использовать число 'e' для различных типов роста?

Число 'e' может быть использовано для моделирования роста с различными процентными ставками и периодами времени. Формула для непрерывного роста: e в степени 'r * t', где r — это процентный рост, а t — количество периодов. Это позволяет применять 'e' в различных сценариях с разными условиями роста.