417 1 suites theoreme de convergence

Summary

In diesem Abschnitt des Kapitels zu Folgen wird das Konvergenztheorem behandelt, das Aussagen über die Konvergenz von Folgen trifft. Zuerst wird das Konzept von monoton wachsenden und beschränkten Folgen erklärt, gefolgt von Beispielen und dem Satz von Bolzano-Weierstrass. Es wird gezeigt, dass jede monotone, beschränkte Folge konvergiert. Ein weiteres Beispiel ist die harmonische Folge, die gegen unendlich divergiert. Der Schwerpunkt liegt auf der mathematischen Beweistechnik und der Anwendung auf konkrete Beispiele.

Takeaways

• 😀 Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
• 😀 Eine monoton wachsende und beschränkte Folge hat eine endliche Grenze.
• 😀 Eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist ebenfalls konvergent.
• 😀 Wenn eine wachsender Folge nicht beschränkt ist, tendiert sie gegen unendlich.
• 😀 Das Konzept der oberen Grenze (Borne supérieure) wird verwendet, um die Konvergenz einer Folge zu beweisen.
• 😀 Ein Beispiel für eine wachsende Folge ist die Folge der Summen der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, die gegen eine bestimmte Grenze konvergiert.
• 😀 Die Argumentation für die Konvergenz einer wachsenden Folge erfolgt durch das Nachweisen einer oberen Grenze und der Verwendung der Borne supérieure.
• 😀 Ein weiteres Beispiel zeigt die harmonische Folge, die gegen unendlich divergiert, da sie nicht beschränkt ist.
• 😀 Die harmonische Folge ist monoton wachsend und unbeschränkt, was sie zu einer Folge macht, die gegen unendlich strebt.
• 😀 Das Bolzano-Weierstraß-Theorem stellt sicher, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat.
• 😀 Die Beispiele helfen, das Konzept der Konvergenz und Divergenz in Bezug auf Folgen besser zu verstehen, und liefern praktische Anwendungen der theoretischen Konzepte.

Q & A

Was besagt der Satz über die Konvergenz von monotonen und beschränkten Folgen?

Der Satz besagt, dass jede monotone, nach oben beschränkte Folge konvergiert, d.h. eine endliche Grenze hat.

Welche Konsequenz hat der Satz für eine abnehmende, nach unten beschränkte Folge?

Für eine abnehmende, nach unten beschränkte Folge gilt ebenfalls, dass sie konvergiert und somit eine Grenze hat.

Was passiert mit einer wachsenden Folge, die nicht nach oben beschränkt ist?

Wenn eine wachsende Folge nicht nach oben beschränkt ist, tendiert sie gegen unendlich.

Wie wird die obere Grenze einer beschränkten Folge definiert?

Die obere Grenze einer beschränkten Folge wird als die größte Zahl definiert, die die Folge nicht überschreitet, und sie wird als Supremum bezeichnet.

Was wird in der Beweisführung des Konvergenzsatzes gezeigt?

In der Beweisführung wird gezeigt, dass die obere Grenze der Folge die Grenze der Folge selbst ist, wenn die Folge wächst und nach oben beschränkt ist.

Wie wurde das Beispiel der Folge un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... bis 1/n erklärt?

Die Folge un wurde als wachsend und durch eine rekursive Annahme für jedes n als kleiner als 2 - 1/n gezeigt. Dadurch wird die Folge nach oben beschränkt und konvergiert.

Was zeigt die Anwendung des Theorems auf das Beispiel der Folge un?

Durch die Anwendung des Theorems auf die Folge un, die nach oben durch 2 beschränkt ist, zeigt man, dass die Folge konvergiert und ihre Grenze gleich pi/6 ist.

Was ist die Eigenschaft der harmonischen Folge un?

Die harmonische Folge un ist eine wachsende Folge, bei der jeder aufeinanderfolgende Unterschied positiv ist, und sie ist nicht beschränkt.

Warum tendiert die harmonische Folge gegen unendlich?

Die harmonische Folge tendiert gegen unendlich, weil sie nicht beschränkt ist. Eine Minoration der Differenzen zeigt, dass die Folge mit wachsendem n immer größer wird.

Wie wird die Minoration der harmonischen Folge gezeigt?

Die Minoration der harmonischen Folge wird durch Berechnung der Differenz zwischen dem 2^P-ten und dem 2^P-1-ten Term gezeigt, wobei die verbleibenden Terme eine positive Summe bilden, die für große n gegen unendlich geht.