Derivación de funciones usando la regla de la cadena. Raíces, funciones trigonométricas, polinomios

Summary

この動画では、合成関数の導関数を求める際に使用する連鎖律を解説しています。まず、連鎖律とは、関数の導関数を順番に求め、外側の関数と内側の関数を掛け合わせる方法です。具体例として、平方根、サイン、タングントなどの関数を取り上げ、それぞれの導関数を求める手順を説明しています。視覚的にわかりやすく、ステップごとに解説されており、初心者にも理解しやすい内容となっています。

Takeaways

• 😀 チェーンルールの概要について説明があり、複合関数の導関数を求めるための方法として紹介されています。
• 😀 チェーンルールは、外部の関数の導関数を求め、その後、内部の関数の導関数を掛け合わせることで求めます。
• 😀 初めに、関数f(x) = g(h(x))のような複合関数があり、その導関数はgの導関数とhの導関数の積になると説明されています。
• 😀 最初の例として、根関数と多項式の複合関数の導関数を求める方法が示され、導関数の計算が行われました。
• 😀 根関数の導関数は2x / √(x² - 1)という形になります。
• 😀 次に、sin関数と3x²の複合関数の導関数を求める例があり、sinの導関数はcos、3x²の導関数は6xであることが説明されました。
• 😀 次の例では、3x²の引数を持つsin関数の導関数を求め、6x * cos(3x²)の形になります。
• 😀 次の例では、(5x + 2)²の導関数が求められ、外部の関数の導関数を求めてから内部の関数の導関数を掛け合わせる形で示されました。
• 😀 次に、2x + tan(x²)という関数の導関数を求める例が紹介され、tanの導関数はsec²(x²)となります。
• 😀 最後に、tan(x²)の導関数をsec²(x²)として計算し、結果として2 + 2x * cos²(x²)が得られました。

Q & A

チェーンルールとは何ですか？

チェーンルールは、合成関数の微分を求める方法であり、関数内に別の関数が入っている場合に使用します。外側の関数を微分し、その後、内側の関数を微分して掛け合わせます。

チェーンルールを使うとき、どのように微分を行いますか？

チェーンルールを使う際は、まず外側の関数を微分し、その後、内側の関数を微分して、それらを掛け合わせます。

最初の例では、どのようにチェーンルールを適用していますか？

最初の例では、関数が平方根の形で、内側に多項式があります。チェーンルールを使うと、平方根の微分と多項式の微分を掛け合わせることになります。最終的な微分は、2x / 2√(x² - 1) になります。

「sin(3x²)」の微分はどうなりますか？

sin(3x²)の微分は、外側のsinの微分であるcos(3x²)と、内側の3x²の微分である6xを掛け合わせたものです。最終的な結果は、6x cos(3x²) です。

「(5x + 2)³」の微分はどうなりますか？

この関数の微分は、パワールールを適用し、3倍の(5x + 2)²を求め、内側の5x + 2の微分を掛け合わせます。結果として、15(5x + 2)² となります。

「2x + tan(x²)」の微分はどうなりますか？

この関数の微分では、まず2xの微分を求め、その後、tan(x²)の微分を求めます。tanの微分はsec²(x²)となり、内側のx²の微分を掛け合わせます。最終的な結果は、2 + 2x sec²(x²) です。

チェーンルールを使った微分で注意すべきポイントは何ですか？

チェーンルールを使う際は、外側と内側の関数を正確に区別し、それぞれの微分を求めた後で掛け合わせることが重要です。特に複雑な関数の場合、順序を間違えないように気をつける必要があります。

平方根関数を微分する場合、どのようにチェーンルールを適用しますか？

平方根関数を微分する場合、まず外側の平方根の微分を求め、次に内側の多項式を微分します。例えば、√(x² - 1)の場合、外側は1/(2√(x² - 1))で、内側の微分は2xとなり、掛け合わせて最終的な結果を得ます。

tanの微分を求める際、どのように計算しますか？

tanの微分はsec²(x)になります。チェーンルールを使う場合、内側の関数の微分を掛け合わせることを忘れずに計算します。例えば、tan(x²)の場合、sec²(x²)にx²の微分である2xを掛けます。

多項式の微分では、チェーンルールを使う理由は何ですか？

多項式を含む関数の微分では、チェーンルールを使うことで内側の関数を正しく扱うことができます。例えば、(5x + 2)³の微分では、外側の指数関数の微分と、内側の多項式の微分を掛け合わせることで正しい結果が得られます。