Modelado matemático de péndulo simple
Summary
TLDREste video ofrece una explicación detallada sobre cómo obtener el modelo matemático de un péndulo simple. Se comienza estableciendo restricciones como la longitud del péndulo, la masa concentrada en un extremo y la ausencia de fricción o fuerzas externas. Se describe el marco de referencia y las leyes físicas de Newton que rigen el sistema. Seguidamente, se realiza un análisis de fuerzas y se plantea un sistema de ecuaciones para determinar la tensión y el peso como fuerzas actuantes sobre el péndulo. El proceso incluye la derivación de las posiciones y aceleraciones en los ejes x e y, y la simplificación de la ecuación para obtener una ecuación diferencial de segundo orden no lineal. Finalmente, se muestra que la dinámica del péndulo depende principalmente de la longitud y la gravedad, y se presenta la ecuación simplificada del modelo matemático.
Takeaways
- 📚 Se discute cómo obtener un modelo matemático para un péndulo simple.
- 📐 Se establece un diagrama para expresar las variables del sistema mecánico de tipo rotacional.
- ⚙️ Se describen las restricciones del modelo, como la longitud del péndulo y la masa concentrada en un extremo.
- 🚫 Se asume ausencia de fricción y de excitación externa en el sistema.
- 🔄 Se establece que el movimiento del péndulo es en un plano determinado y se define un marco de referencia.
- 📉 Se describen las leyes físicas de Newton para el sistema rotacional y se establecen las fuerzas en los ejes x e y.
- 📈 Se realiza un análisis de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo, considerando peso y tensión.
- 🔄 Se plantean ecuaciones para el movimiento en los ejes x e y, relacionando tensión, peso y aceleración.
- 🧩 Se simplifican las ecuaciones para reducir el número de incógnitas y relacionarlas con ángulos y derivadas.
- 📉 Se llega a una ecuación diferencial de segundo orden no lineal que describe el movimiento del péndulo.
- 📚 Se concluye que la dinámica del péndulo depende de la longitud y la gravedad, y no de la masa.
Q & A
¿Qué se busca obtener en el video?
-El objetivo del video es obtener un modelo matemático para un péndulo simple.
¿Cuáles son las restricciones iniciales establecidas para el modelo del péndulo?
-Las restricciones incluyen la longitud del péndulo, considerar la barra como un cuerpo rígido, la masa cargada en un extremo, ausencia de fricción y de excitación externa.
¿Cómo se define el movimiento del péndulo según la intuición?
-El movimiento del péndulo, por intuición, sería una trayectoria semicircular.
¿En qué plano se da el movimiento del péndulo según el script?
-El movimiento del péndulo se da en un plano definido por el marco de referencia en el punto de unión del péndulo con un elemento fijo.
¿Cómo se establecen las direcciones de los ejes en el marco de referencia del péndulo?
-Las direcciones de los ejes en el marco de referencia están definidas de tal manera que el eje x apunte hacia la derecha y el eje y hacia arriba, pero es importante destacar que esta asignación es arbitraria.
¿Qué tipo de leyes físicas describen el modelo mecánico del péndulo?
-Las leyes físicas que describen el modelo mecánico del péndulo son las leyes de Newton para movimientos rotacionales.
¿Cuáles fuerzas actúan sobre el péndulo y cómo se relacionan con las ecuaciones de movimiento?
-Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son la gravedad (peso) y la tensión. Estas fuerzas se relacionan con las ecuaciones de movimiento a través de la suma de fuerzas en los ejes x e y.
¿Cómo se relaciona la tensión con el movimiento del péndulo en las ecuaciones?
-La tensión en el péndulo tiene componentes tanto en el eje x como en el eje y, y estas componentes están relacionadas con el ángulo del péndulo a través de funciones trigonométricas como el seno.
¿Por qué es necesario simplificar las ecuaciones en el análisis del péndulo?
-Es necesario simplificar las ecuaciones para reducir la cantidad de incógnitas y facilitar la relación entre ellas, lo que permite obtener una ecuación más manejable y sencilla.
¿Qué tipo de ecuación diferencial se obtiene al final del análisis del péndulo?
-Se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden y no lineal, ya que involucra la función trigonométrica del ángulo.
¿Cómo se muestra que la dinámica del péndulo no depende de la masa en la ecuación final?
-Al simplificar la ecuación diferencial y eliminar la masa de la ecuación, se muestra que la dinámica del péndulo depende principalmente de la longitud y la gravedad.
Outlines
📐 Establecimiento del Modelo Matemático del Péndulo
El primer párrafo introduce el tema del video, que es obtener un modelo matemático para un péndulo simple. Se describe establecer un diagrama que exprese las variables del sistema mecánico rotacional, incluyendo la posición angular y la masa. Se mencionan restricciones como la longitud del péndulo, considerar la barra como un cuerpo rígido, la masa concentrada en un extremo, ausencia de fricción y de excitación externa. El movimiento se describe intuitivamente como trayectoria semicircular en un plano determinado, con un marco de referencia en el punto de unión del péndulo. Se establecen las convenciones para las direcciones de los ejes x e y, y se enfatiza que estas son arbitrarias y no alteran el modelado matemático.
🔍 Análisis de las Leyes Físicas y Diagrama de Cuerpo Libre
Este párrafo se enfoca en el análisis de las leyes físicas que gobiernan el sistema mecánico, específicamente las leyes de Newton para movimientos rotacionales. Seguidamente, se realiza un diagrama de cuerpo libre para el péndulo, identificando las fuerzas que actúan sobre la masa: la gravedad y la tensión. Se describen las componentes de la tensión en los ejes x e y, y se establecen las ecuaciones de movimiento para ambos ejes, teniendo en cuenta la dirección de las fuerzas y la posición del ángulo del péndulo. Se destaca la necesidad de simplificar las ecuaciones para relacionar las incógnitas, como la tensión y las aceleraciones en los ejes x e y.
📚 Relación entre Posiciones Cartesianas y Polares
El tercer párrafo explora cómo se relacionan las posiciones cartesianas y polares para extraer las componentes de la posición en el eje x y en el eje y. Se menciona la necesidad de calcular las derivadas sucesivas de las posiciones para obtener las aceleraciones requeridas. Se establecen las relaciones entre las coordenadas polares y cartesianas, y se describe cómo se extrae la posición en x a partir de la longitud del péndulo y el ángulo. Seguidamente, se calculan las primeras y segundas derivadas de las posiciones para determinar las aceleraciones en los ejes x e y.
🧩 Integración de Derivadas y Simplificación de la Ecuación
En este párrafo, se continúa el proceso de simplificación de la ecuación del péndulo al integrar las segundas derivadas de las posiciones y sustituir los resultados parciales en la ecuación principal. Se describe el proceso de multiplicación y extracción de términos comunes para simplificar la ecuación, lo que finalmente lleva a una ecuación en la que las únicas incógnitas son el ángulo theta y sus derivadas. Se resalta la importancia de simplificar la ecuación para facilitar su manejo y comprensión.
🔧 Resolución de la Ecuación Diferencial del Péndulo
El quinto párrafo se centra en resolver la ecuación diferencial resultante para el modelo matemático del péndulo. Seguidamente, se simplifica aún más la ecuación al expandir términos y agrupar términos comunes, llegando a una ecuación en la que el término del peso se puede reubicar para obtener una forma más simple de la ecuación diferencial. Se menciona que, a pesar de las restricciones, la ecuación resultante es de segundo orden y no lineal debido a la función trigonométrica involucrada.
🌟 Conclusión del Modelo Matemático del Péndulo
El último párrafo concluye el desarrollo del modelo matemático del péndulo, destacando que la dinámica del péndulo no depende de la masa, sino de la longitud y la gravedad. Se presenta la ecuación diferencial final del péndulo, simplificada y expresada en términos de la masa, la gravedad y el ángulo. Se enfatiza que, a pesar de las simplificaciones y restricciones, el péndulo sigue teniendo movimiento, y se espera que el video haya sido adecuado para brindar conocimientos en la creación de modelos matemáticos.
Mindmap
Keywords
💡Péndulo simple
💡Diagrama
💡Restricciones
💡Posición angular
💡Leyes de Newton
💡Fuerzas
💡Aceleración
💡Ecuaciones diferenciales
💡Trayectoria semicircular
💡Modelo matemático
Highlights
Se inicia el video explicando cómo obtener el modelo matemático de un péndulo simple.
Se establece un diagrama para expresar las variables del sistema mecánico del péndulo.
Se describen las restricciones del modelo, como la longitud del péndulo y la masa concentrada en un extremo.
Se considera que el péndulo no está inmerso en un ambiente con fricción ni tiene excitación externa.
El movimiento del péndulo es semicircular y se establece un marco de referencia en el punto de unión.
Se establecen las direcciones de los ejes del marco de referencia y se deja claro que su asignación es arbitraria.
Se describen las leyes físicas que gobiernan el sistema mecánico de tipo rotacional.
Se establecen las ecuaciones de movimiento basadas en la segunda ley de Newton.
Se realiza un análisis de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo.
Se identifican las componentes de la tensión y el peso en los ejes x e y.
Se resuelven las ecuaciones para encontrar la tensión en función de la aceleración y el ángulo.
Se establecen las relaciones entre las posiciones cartesianas y polares para el péndulo.
Se calculan las primeras y segundas derivadas de las posiciones x e y.
Se simplifican las ecuaciones para relacionar las incógnitas y reducir la complejidad.
Se llega a una ecuación diferencial de segundo orden no lineal para el ángulo del péndulo.
Se discuten las implicaciones de las restricciones en el modelo matemático del péndulo.
Se muestra que la dinámica del péndulo no depende de la masa, sino de la longitud y la gravedad.
Se simplifica la ecuación diferencial considerando el peso como masa por gravedad.
Se concluye que a pesar de las restricciones, el péndulo sigue teniendo movimiento.
Transcripts
sean bienvenidos todos a un nuevo vídeo
en el cual se hablará de cómo obtener
modelo matemático de un péndulo simple
para ello iniciemos
estableciendo un diagrama
con el cual logremos
expresar cada una de las variables de
las cuales dependerá este
el sistema
[Música]
de tipo mecánico
en donde tenemos implicada una posición
angular una masa y aquí lo que debemos
de empezar a hacer es a describir
aquellas restricciones bajo las cuales
nuestro modelo matemático
estará impuesto
por ejemplo una de las restricciones
es establecer la longitud
del péndulo y aquí dentro de ésta
para facilitar el análisis
se puede establecer a esta barra como un
cuerpo rígido lo cual implica que no
tiene deformaciones no se puede alargar
ni contraer
podemos considerar también que nuestro
péndulo tiene su masa cargada en uno de
los extremos
al igual que el sistema no está inmerso
en un ambiente donde exista alguna
fricción
y también
decir que no existirá
alguna
excitación externa que cambie la
dinámica de el sistema es decir no hay
una fuerza que lo empuje o lo halle para
que se genere un movimiento
sabemos perfectamente que el movimiento
de este sistema por intuición estaría
realizando una trayectoria
semicircular
y poner la última de las restricciones
que será la de el movimiento solamente
se da en un plano
para establecer que plano es
es pertinente
definir un marco de referencia este
marco de referencia se va a establecer
en el punto de unión del péndulo con
algún elemento fijo
este marco de referencia también debe de
tener
indicaciones de dirección
para el caso que
planteo
estas esos ejes estarán descritos de
esta manera x hacia la derecha y hacia
arriba
cabe aclarar que la asignación de
nuestro referencial así como la
dirección o sentido de los ejes es
arbitrario puede ser establecido a
conveniencia
en este caso de los establecidos bajo
este criterio pero pudo haber sido dicho
que x está hacia la izquierda y hacia
abajo no debe de alterar en nada al
modelado matemático
sin embargo así es como se
propone
respetaremos esta asignación en todo el
análisis
iniciando con el análisis alumnos que
cada modelo matemático está descrito por
el tipo de leyes físicas que lo
gobiernan en este caso un sistema
mecánico de tipo rotacional en donde las
leyes físicas estarán descritas por la
se establecidas por newton y dentro de
ella podemos decir que habrá movimientos
en el eje x por tanto sumatoria de
fuerzas sobre ese eje
igual a la masa por la reversión en x y
es importante
expresar hacia qué sentido son
consideradas las fuerzas positivas en
este caso hacia la derecha
esto es un
esto se recomienda hacer para
olvidar hacia donde están nuestras
fuerzas y colocar
las fuerzas en de manera adecuada sean
positivas o negativas
ahora para
lg
algo similar pasa por la sedación para
este caso sobre el eje y
cuyas fuerzas se consideran positivas
hacia arriba
y estas son las dos ecuaciones que nos
van a guiar para obtener nuestro
modelado matemático
haciendo un diagrama de cuerpo libre de
nuestro sistema podemos plantear a la
masa
y las interacciones que tiene esta masa
la primera de ellas y obvia es la
del peso considerando que nuestro
péndulo está
influenciado por un campo gravitacional
y la otra
[Música]
interacción que siente es la tensión
esta atención vemos que su resultante
lleva esa dirección
pero está establecida mediante
ángulo es decir esta resultante tiene
componentes tanto en el eje x
como en el eje i
aquí están
sus componentes de la atención
y naciendo nuestro análisis planteando
las secuelas fuerzas que se establecen
sobre cada uno de los ejes podemos
hablar de que en el eje x la única
interacción existente es la tensión en x
entonces aquí podemos decir que la
atención en x
pero aclarar que esta atención es
contraria al planteamiento de nuestro
eje eso quiere decir que sería de signo
negativo
además es una componente lo cual
conlleva a que la componente de la
tensión en x sea la magnitud de la
atención por en este caso
sería el seno de teta el seno del ángulo
creo que esta es la que define la
componente mx
igualado a la masa por la aceleración
estableciendo la aceleración como un
desplazamiento sobre el eje
sería la doble derivada de ese
desplazamiento
mejor hecho la doble derivada de la
posición
ahora para el caso de el análisis de nye
vemos que tenemos al peso y es negativo
puesto que es contrario a nuestro eje y
aquí hace rato de dijimos que estos ejes
son asignados de manera arbitraria si
alguien hubiera asignado hacia abajo
está con este peso aquí se consideraba
positivo
pero nuestro caso es hacia arriba por
tanto es negativo la otra componente es
entiende la atención va en dirección
positiva acorde a el planteamiento de
nuestro referencial entonces será más la
tensión por el coste no del ángulo que
es la otra componente y esto va a ser
igual a la masa por la aceleración pero
en el eje
tenemos dos ecuaciones
pero tenemos varias incógnitas por
ejemplo tenemos como incógnita arteta
tenemos a la atención tenemos a la
aceleración en ye y tenemos a la
aceleración perdón a la asociación en xy
a la aceleración en y todas esas son
incógnitas dentro de nuestras ecuaciones
ahora bien observamos que tenemos más
incógnitas que ecuaciones y por tanto
buscaremos hacer más simple nuestra
ecuación de modo tal que pueda
relacionar a las incógnitas
según sea el caso
para ello lo que vamos a hacer dado que
es obvio es evidente en la en ambas
ecuaciones tenemos a la misma
incógnita que es la tensión y podemos de
expresar
a la pensión de cualquiera de ellas para
ser sustituya está en la ecuación
restante en este caso voy a despejar d
los componentes de x
obtendríamos lo siguiente la atención
sería igual a menos la masa por la
aceleración en x
sobre el seno de teta
esta tensión la sustituiríamos en la
segunda ecuación sería menos el peso
más
voy a poner cocina de teta
por menos
massa por la aceleración en x
signo de teta
igualado a la masa por las relaciones
eventualmente este signo más por este
signo menos nos dará el signo menos pero
haremos o buscaremos hacer esta ecuación
más simple en el entendido de modas
generar divisiones
y mucho menos con
funciones trigonométricas en este caso
multiplicaremos por el seno de teta toda
la ecuación
con ello estaríamos estableciendo la
siguiente ecuación menos el peso se
detecta menos
m doble derivada
de x coste no detecta iguala
massa por la aceleración en el seno de
teta tenemos ahora una ecuación en donde
nos muestra las componentes de las
fuerzas que están interviniendo en el
sistema del péndulo
sin embargo aún seguimos teniendo el
inconveniente de la cantidad de
incógnitas tenemos a teta y tenemos a
equis doble derivada ya de doble
derivada
lo cual nos estaría definiendo la
posición n xy la posición en jr
para posteriormente extraer las
derivaciones de esas posiciones
siendo ese el caso
y observando a nuestro péndulo sabemos
que la posición en x
contamos aquí está regida por esta
componente en tanto la posición en jr
por esta otra componente
esos componentes
las podemos extraer con la información
que tenemos de la longitud y el ángulo
xy
están establecidas desde una perspectiva
cartesiana y el límite está desde una
perspectiva polar
sabiendo que la relación entre
coordenadas polares y cartesianas y
viceversa podemos tomar en cuenta esa
interpretación para
establecer como son los elementos
entonces extraer la posición en x de
nuestra masa
sería
la longitud
ahora que estamos en búsqueda de esta
componente
la vamos a extraer desde una perspectiva
polar
sería la longitud
x
el xenón
de teta
notar que la componente en x está en la
misma dirección que nuestro eje por
tanto es positivo veamos qué sucede para
llegar
para ayala componente es ésta de aquí
observar que está contrario a nuestro
eje y por lo tanto
menos
l
josema de teta
ya están establecidas las posiciones de
x y nosotros necesitamos las
aceleraciones en consecuencia
necesitamos empezar a establecer las
derivadas sucesivas primera derivada de
x
el seno de teta portet apuntó
primera derivada de g
el seno de theta corte está a punto
recordar que la derivada del coche no es
menos seno de teta porpetta punto ese
signo menos con este menos nos lleva a
una polaridad positiva por lo tanto aquí
ya no se colocó s esa indicación
obviamos el hecho de que este es una
cantidad positiva
y por último requerimos a la segunda
derivada
notar que para la segunda derivada
tenemos a dos variables que dependen del
tiempo como éste está y theta punto eso
implica que la derivación a realizar
tenga que ser bajo un producto
teniendo eso en mente la segunda
derivada d
x acabaría haciendo
teta doble derivada coseno de teta
y aquí menos
prima al cuadrado seno de teta
ahora para el caso de la doble derivada
algo análogo aplica
z
prima se detecta más
de esta prima cuadrado
seno de teta
aquí tenemos ya establecidas a nuestra
ecuación
tanto para la segunda derivada de x como
para la segunda derivada de
estas estos resultados parciales que se
han obtenido serán sustituidos en
nuestra ecuación
que venimos trabajando
para hacerlo
de manera más completa voy a
reescribirla nuevamente
nueva
pantalla
el peso se no detecta
en mi doble derivada
una dieta
que sea notorio que es una doble
derivada
seno de teta esta es nuestra ecuación
que se viene trabajando de aquí
y sustituiremos los resultados parciales
para la segunda derivada de x la segunda
derivada de la belle en la misma
ecuación
entonces
teniendo en cuenta eso
- m beteta
el depor
no me llevaran
de postre no
éste está
2
cerramos la multiplicación que
únicamente aplica para él y los
corchetes se aplican para
dt
una vez colocamos la componente de el
peso
será igual a la masa por el seno del pp
x
el
que multiplica y ahora estableceremos
a la ecuación de la aceleración en g
qué es la derivada del seno de teta
más el cuadrado de la velocidad angular
por el coste no de teta
y aquí está la ecuación
completa ya bajo las características de
las aceleraciones en la componente xy
componente en yemen y lo que observamos
de manera inmediata es el hecho de que
ya no hay
otra incógnita más que teta y sus
respectivas derivaciones
entonces esto nos hace pensar que el
modelo matemático únicamente tiene
ingerencia
las posiciones velocidades y
aceleraciones angulares asimismo la
longitud
para poder establecerlo de manera más
precisa es conveniente que esta ecuación
sea simplificada para simplificar la
empezaremos con expandir los términos
es decir operar las multiplicaciones
sobre cada uno de los elementos vamos a
agrandar la ecuación para
indagar si hay términos en común y
ciertos pueden ser
modificados
con ello en mente
primer término no hay cambio segundo
término podemos ver que
l es común a todos los términos y lo
podemos extraer de este modo
la multiplicación puede ser establecida
así massa por la longitud coseno de teta
por de tavi prima por coseno de teta eso
nos deja de dar mi prima cosiendo
cuadrado de teta menos
teta prima al cuadrado se no detecta por
el consejo de teta
vamos a colocar este término dentro de
la parte izquierda lo cual nos llevaría
a tener menos m
l
y nuevamente la multiplicación de tavi
prima se detecta posterior de tetas en
el cuadrado de teta
más
de la prima al cuadrado que no detecta
que no detecta
y esto está igualado a cero dado que
este término fue
colocado al lado izquierdo de la
ecuación
observando a estos dos términos el
término de aquí
con el término de aquí notamos el hecho
de que hay factores en común como lo son
ml
agrupando términos comunes
menos
ml
como
cml de mi prima que es este elemento y
este elemento de que multiplica
un coche no cuadra de teta
más un seno cuadrado detecta
en el otro caso vamos a expandir los
menos pues menos más
m
el teca prima cuadrados que no detectan
coste no detectan
menos por más menos
ml
de la prima al cuadrado seno de que acá
se detecta está igualado a
w beteta que es este elemento colocado
al lado derecho de la ecuación
con ello en mente
notamos que hay elementos
que son comunes y además opuestos que
son estos 2
entonces se van a notificar entre sí
y además
esta
relación coseno cuadrado más seno
cuadrado es una identidad
trigonométricas
que nos lleva a la unidad
es igual a 1
por lo tanto
nuestra ecuación
final acabaría siendo
- ml de está mi prima
igual
wv seno de teta
si nosotros queremos establecer nuestro
modelo matemático de una forma
como genia es decir que esté igualado a
cero el término del peso lo podemos
colocar en la parte
izquierda o bien
pasar el elemento de la de la igualdad
en el lado izquierdo hacia la derecha
eso nos entregaría lo siguiente
pero es igual a
massa por la longitud
por la doble derivada de el ángulo más
el peso por el seno de theta y esta
ecuación diferencial es de segundo orden
de tipo no lineal dado que el argumento
theta que es el elemento que usted busca
resolver en esta ecuación diferencial
cae dentro de una función trigonométrico
primera observación a pesar de las
restricciones impuestas en nuestro
modelo matemático del péndulo simple aún
con esas restricciones llegamos a tener
una ecuación no lineal
si nosotros lineal izamos esta ecuación
nos llevaría a tener
lo siguiente
ml doble derivada de teta
más
wv que está igual a cero
donde en la línea lización ya no existe
la función sino su edad
es común también expresar el peso en
términos de la masa por la gravedad
haciéndolo de ese modo
massa por la longitud la prima más masa
por gravedad por teta igualación
si esta ecuación
la diríamos toda con respecto a m
nuestra ecuación diferencial vemos que
se va haciendo más simple
y la primera observación a la cual
llegaríamos es que
la dinámica de el péndulo no depende de
la masa su dinámica o movimiento depende
esencialmente de la longitud y de la
gravedad
por ello
la simplificación
a nuestra
ecuación diferencial del modelo
matemático del péndulo la podemos
equiparar a esta ecuación que tenemos
aquí
teniendo en mente restricciones como fue
el hecho de que la barra nos deforma
está l siempre es constante
no hay factores de fricción
aquí mismo en la ecuación no aparecen no
hay fuerzas externas que causan dinámica
por ello la está igualada a cero y sin
embargo a pesar de todo ello el péndulo
va a tener movimiento
esperando que esta explicación en el
desarrollo del péndulo haya sido
adecuada y haber logrado brindar un poco
más de su
de su conocimiento en la creación de
modelos matemáticos
hasta pronto
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