Derivando funciones compuestas 1 | Cálculo | Khan Academy en Español

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3 Oct 201611:47

Summary

TLDRこのビデオでは、合成関数の導関数を求める方法を、チェーンルールを使って解説しています。具体的には、f(x) = cos(x^3) の導関数を求める過程を丁寧に説明しています。最初に関数を複合関数として表し、チェーンルールを適用して、外側の関数と内側の関数を順に微分する方法を学びます。視覚的な説明や、異なる記法を使った例を交えながら、初心者にも理解しやすく導関数を求めるコツを伝えています。

Takeaways

😀 関数 f(x) = cos(x)^3 の導関数を求めるには、連鎖律を適用する。
😀 関数 cos(x)^3 は、cos(x) を入力として受け取り、それを3乗する関数の合成として表現できる。
😀 合成関数の場合、連鎖律を使用して外側の関数の導関数を内側の関数に適用する。
😀 ここでは、外側の関数は x^3 で、内側の関数は cos(x) であり、f(x) = cos(x)^3 と表される。
😀 連鎖律に従うと、f'(x) = h'(g(x)) * g'(x) となり、g(x) = cos(x) と h(x) = x^3 の導関数を求める。
😀 h(x) = x^3 の導関数は 3x^2 であり、g(x) = cos(x) の場合、g'(x) は -sin(x) となる。
😀 外側の関数を x^3 とした場合、3cos(x)^2 が得られ、内側の関数を cos(x) としてその導関数を掛け合わせる。
😀 cos(x)^3 の導関数は最終的に -3sin(x)cos(x)^2 となる。
😀 連鎖律を理解することで、合成関数の導関数を迅速に求めることができる。
😀 複数の記法を用いて連鎖律を説明し、視覚的なアプローチを取り入れて学習を助ける。

Q & A

f(x) = cos(x)^3 の導関数を求めるために必要な基本的な考え方は何ですか？
-この問題では、合成関数の導関数を求めるために連鎖法則を適用します。f(x) = cos(x)^3 は、cos(x) を入力として受け取り、それを3乗する関数と見なせるため、連鎖法則を使って導関数を計算します。
連鎖法則とは何ですか？
-連鎖法則は、合成関数の導関数を計算するための方法で、f(x) = g(h(x)) の場合、f'(x) = g'(h(x)) * h'(x) となります。つまり、外側の関数の導関数と内側の関数の導関数を掛け合わせて求めます。
f(x) = cos(x)^3 をどのように2つの関数に分解できますか？
-f(x) = cos(x)^3 は、外側の関数を g(u) = u^3、内側の関数を h(x) = cos(x) として分解できます。このようにすることで、連鎖法則を適用しやすくなります。
cos(x) の導関数は何ですか？
-cos(x) の導関数は -sin(x) です。この結果を連鎖法則に適用することで、最終的な導関数を得ることができます。
g(u) = u^3 の導関数はどのように計算されますか？
-g(u) = u^3 の導関数は g'(u) = 3u^2 です。この導関数は、連鎖法則の外側の関数に対応しています。
f(x) = cos(x)^3 の導関数を求めるための手順を簡潔に説明してください。
-まず、f(x) = cos(x)^3 を合成関数として分解し、連鎖法則を適用します。次に、外側の関数 g(u) の導関数 3u^2 を求め、内側の関数 h(x) = cos(x) の導関数 -sin(x) を掛け合わせます。最終的に、f'(x) = -3cos(x)^2sin(x) となります。
連鎖法則を使う際の重要なポイントは何ですか？
-連鎖法則を使う際には、外側の関数と内側の関数を正確に識別し、外側の関数の導関数と内側の関数の導関数を掛け合わせることが重要です。
f'(x) = -3 cos(x)^2 sin(x) の意味は何ですか？
-f'(x) = -3 cos(x)^2 sin(x) は、f(x) = cos(x)^3 の導関数です。この式は、cos(x)^3 の変化の速さを示し、cos(x) の値に応じた変化率を表します。
この導関数の計算で、どの部分が連鎖法則に基づいていますか？
-連鎖法則に基づく部分は、cos(x) を入力として受け取る関数の導関数を求め、それに加えてその関数自体の導関数である -sin(x) を掛け合わせるところです。
他の関数に対しても連鎖法則を適用する方法を教えてください。
-他の関数に対しても、同じように外側の関数と内側の関数を識別し、外側の関数の導関数を求め、その後、内側の関数の導関数を掛け合わせることで連鎖法則を適用できます。例えば、f(x) = (cos(x))^4 の場合も同様に連鎖法則を使用します。