Criterio de la segunda derivada | Concavidad y puntos de inflexión | Ejemplo 5

Summary

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Q & A

この問題では、どのようにして点の変曲点と凹凸を求めますか？

この問題では、二階導関数の基準を使用して、関数の変曲点と凹凸を求めます。まず、関数の導関数を計算し、それを再度導出して二階導関数を求めます。次に、二階導関数を使って変曲点を見つけ、その後に凹凸を調べます。

関数 f(x) = 2 / (x^2 + 4) の変形方法について説明してください。

まず、関数を x^2 + 4 の分母を負の指数にして、2 * (x^2 + 4)^(-1) という形に書き換えます。これにより、微分を行いやすくします。

関数の最初の導関数はどのように求めますか？

関数を 2 * (x^2 + 4)^(-1) の形にしてから、連鎖律を使って微分を行います。最初の導関数は -4x * (x^2 + 4)^(-2) となります。

二階導関数を求めるためにどのような手順を踏みますか？

二階導関数を求めるためには、最初の導関数 -4x * (x^2 + 4)^(-2) を使って、積の法則を適用し、再び微分します。その結果、二階導関数は -4(x^2 + 4)^(-2) + 16x^2 * (x^2 + 4)^(-3) となります。

二階導関数の計算結果をどう再整理しますか？

二階導関数の式を再整理して、指数が負の項を分母に移動させます。最終的に、式は -4(x^2 + 4)^(-2) + 16x^2 * (x^2 + 4)^(-3) となり、分母に移すことでより計算しやすくなります。

変曲点を求めるために何を行いますか？

変曲点を求めるためには、二階導関数が0になる点を探します。二階導関数を0に設定し、xを解くことで変曲点を見つけます。

変曲点を求める際、どのように式を整理しますか？

二階導関数を0に設定し、項を移項して整理します。例えば、(x^2 + 4)^3 を右辺に移動させ、x^2 に関する方程式を解きます。結果的に、x ≈ ±1.15 の変曲点が得られます。

関数の凹凸を調べるためにどのように値を代入しますか？

変曲点の左、右、そしてその間の区間で x の値を取ります。これらの値を二階導関数に代入し、結果の符号を確認します。符号が正なら凹向き、負なら凸向きとなります。

x = -2 の場合、二階導関数の結果はどうなりますか？

x = -2 を二階導関数に代入すると、結果は正の値であり、この区間は関数が上に凸であることを示します。

x = 0 の場合、二階導関数の結果はどうなりますか？

x = 0 を二階導関数に代入すると、結果は負の値となり、この区間は関数が下に凸であることを示します。