Introduction to Fourier Series - Adding Sine Waves to make Sawtooth, Square, and Triangle Waves

Summary

このビデオでは、サイン波の基本的な性質から始まり、フーリエ級数を使用して複雑な波形を再現する方法を説明しています。最初に、サイン波の振幅と周期を調整することで波形がどのように変化するかを示し、その後、複数のサイン波を加算して鋸歯状や矩形波を作り出す過程を詳しく紹介します。最終的には、奇数項のみを使ったフーリエ級数が鋸歯状波形に近づく様子を示し、数学的な技法で波形を形成する力を視覚的に体験させています。

Takeaways

• 😀 サイン波の振幅は1であり、上下に1の範囲で振動します。
• 😀 サイン波の周期は2で、2単位で1回の振動を完了します。
• 😀 振幅が1/2になると、波形は元の波形の半分の高さに縮小されます。
• 😀 周期が半分になると、波形は元のサイン波よりも速く振動します。
• 😀 サイン波の合成により、新しい波形（緑色の波形）が作られることが示されています。
• 😀 1/nサイン(nπx)の合成を続けることで、複雑な波形が作成されることがわかります。
• 😀 無限のサイン波の合成によって、鋭い角度のあるノコギリ波（Sawtooth Wave）が再現されます。
• 😀 1/nサイン(nπx)の項を追加することで、波形は次第にノコギリ波に近づきます。
• 😀 奇数項のみを保持すると、波形は鋭角な矩形波（Square Wave）に変化します。
• 😀 奇数項における係数は、1/n^2という形式で減少し、符号が交互に変わります。