Binary Operations (Closure) : ExamSolutions Maths Revision

Summary

在这段视频中，讲解了集合在特定二元运算下的闭合性概念。若一个集合在某个二元运算下的任意两个元素相结合仍然属于该集合，则该集合被称为在该运算下闭合。通过实例说明了实数集合在加法下是闭合的，而某些有限集合在定义的运算下可能不闭合。视频还通过表格的方式展示了如何验证集合的闭合性，并通过具体例子帮助观众理解这一概念。

Takeaways

• 😀 集合在某个二元运算下封闭的定义是：任何两个集合中的元素进行该运算，结果仍然是该集合中的元素。
• 😀 实数集在加法下是封闭的，因为两个实数相加的结果总是一个实数。
• 😀 示例：2 + 3 = 5，且5属于实数集合，因此实数集在加法下封闭。
• 😀 另一个示例：6 + (-9) = -3，且-3也是实数集合中的成员，证明实数集在加法下封闭。
• 😀 在考虑其他集合时，需要检查运算结果是否仍然属于该集合，若不是，则该集合在此运算下不封闭。
• 😀 示例：集合S = {1, 2, 3}，二元运算a * b = a - b。检查所有组合时，发现1 - 2 = -1，不属于集合S，因此集合S在该运算下不封闭。
• 😀 通过建立运算结果表格，可以帮助更清楚地验证集合是否封闭。
• 😀 如果运算结果中有元素不属于集合，则该集合在此运算下不封闭。
• 😀 另一个示例：集合S = {0, 2, 4}，二元运算a * b = (a + b - ab) / 2。所有结果都属于集合S，因此集合S在该运算下封闭。
• 😀 在抽象代数和集合论中，封闭性是理解集合与运算之间关系的基础。

Q & A

什么是一个集合在二元运算下封闭的定义？

一个集合在某个二元运算下被称为封闭的，意味着从该集合中任意取两个元素进行该运算，运算结果依然是集合中的元素。

如果集合 R（实数集合）在加法运算下封闭，能否举出一个例子来证明？

例如，取两个实数 2 和 3，进行加法运算得到 5，5 仍然是实数集合中的元素，因此实数集合在加法下是封闭的。

集合 S = {1, 2, 3} 是否在运算 a - b 下封闭？

集合 S 在运算 a - b 下并不封闭。例如，1 - 2 = -1，-1 不是集合 S 的成员，因此集合 S 不在该运算下封闭。

如何通过表格来验证集合是否在特定运算下封闭？

可以通过构建一个运算结果表格，列出集合中的每对元素进行运算的结果，如果所有结果都在集合中，那么该集合在该运算下是封闭的。

运算 2 - 1 的结果是什么？这个结果属于集合 S 吗？

运算 2 - 1 的结果是 1，而 1 是集合 S 的成员，因此这一结果属于集合 S。

为什么在运算 1 - 2 时，结果是 0 而 0 不属于集合 S？

运算 1 - 2 的结果是 0，而 0 不在集合 S = {1, 2, 3} 中，因此集合 S 在运算 a - b 下不封闭。

在第二个例子中，为什么集合 S = {1, 2, 3} 下会出现一些结果不属于集合 S 的情况？

在该例中，运算 a - b 的结果产生了不在集合 S 中的数值，如 0 和 -1，因此集合 S 在该运算下不封闭。

如果集合 S = {0, 2, 4} 并定义运算 a * b = (a + b - ab) / 2，是否可以证明集合 S 在该运算下封闭？

通过计算运算结果并检查每个结果是否仍在集合 S 中，发现所有的结果都在集合 S 内，因此可以证明集合 S 在该运算下封闭。

在演示中，如何利用运算表来检查一个集合是否封闭？

运算表展示了所有元素对的组合，并计算出每对元素的运算结果，检查这些结果是否都属于集合。如果是，那么集合是封闭的。

实数集合在加法运算下为何是封闭的？

因为无论我们选择两个实数进行加法，结果总是一个实数，因此实数集合在加法运算下是封闭的。