Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | Tipos de funciones

Summary

En este video, el instructor explica detalladamente qué son las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, utilizando ejemplos y gráficos para facilitar la comprensión. Se destacan los conceptos de dominio y codominio, además de mostrar cómo identificar cuándo una función es inyectiva (cada elemento del conjunto de llegada tiene, como máximo, un elemento del conjunto de partida), sobreyectiva (todos los elementos del conjunto de llegada tienen al menos una imagen) y biyectiva (es inyectiva y sobreyectiva). También se incluyen ejercicios prácticos para que el espectador pueda reforzar su aprendizaje y comprender mejor cómo se aplican estos conceptos en matemáticas.

Takeaways

• 😀 La función debe tener una relación entre dos conjuntos de números, donde cada elemento del dominio tiene una imagen en el codominio.
• 😀 Para que sea una función inyectiva, cada elemento del conjunto de llegada debe corresponder como máximo a un elemento del conjunto de partida.
• 😀 Una función inyectiva es aquella en la que a cada número en el conjunto de llegada le corresponde a lo sumo uno del conjunto de partida.
• 😀 En el gráfico, para identificar una función inyectiva, se debe verificar que la gráfica sube o baja sin repetir valores del conjunto de llegada.
• 😀 Una función no es inyectiva si algún valor en el conjunto de llegada tiene más de una correspondencia con los elementos del conjunto de partida.
• 😀 Para que una función sea sobreyectiva, cada elemento del conjunto de llegada debe ser imagen de al menos un elemento del conjunto de partida.
• 😀 En una función sobreyectiva, no debe sobrar ningún elemento en el conjunto de llegada; todos deben tener una flecha que los conecte con el conjunto de partida.
• 😀 En el gráfico, una función sobreyectiva abarca todo el eje Y, es decir, va desde menos infinito hasta más infinito.
• 😀 Una función biyectiva es cuando es tanto inyectiva como sobreyectiva, es decir, cada elemento del conjunto de llegada tiene una correspondencia única con el conjunto de partida y no sobra ningún elemento.
• 😀 Para identificar si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva en los gráficos, se deben observar las intersecciones con las líneas horizontales y cómo la gráfica se comporta en el eje Y.

Q & A

¿Qué es una función inyectiva?

Una función inyectiva es aquella en la que cada elemento del conjunto de llegada corresponde a como máximo un elemento del conjunto de partida. Esto significa que no hay elementos en el conjunto de llegada que tengan más de una flecha que apunte a ellos desde el conjunto de partida.

¿Cómo se puede identificar gráficamente una función inyectiva?

Se puede identificar observando si la gráfica solo sube o baja sin cambiar de dirección. Si la gráfica solo sube o solo baja, entonces la función es inyectiva, ya que cada valor en el eje y tiene como máximo una imagen en el conjunto de partida.

¿Qué ocurre si un valor en el conjunto de llegada tiene más de una flecha apuntando hacia él?

Si un valor en el conjunto de llegada tiene más de una flecha apuntando hacia él, entonces la función no es inyectiva, ya que uno de los requisitos para que una función sea inyectiva es que cada valor del conjunto de llegada esté asociado como máximo a un solo valor en el conjunto de partida.

¿Qué es una función sobreyectiva?

Una función sobreyectiva es aquella en la que cada elemento del conjunto de llegada tiene al menos una flecha apuntando hacia él desde el conjunto de partida. Es decir, no sobra ningún valor en el conjunto de llegada, todos deben tener una imagen correspondiente.

¿Cómo se puede identificar gráficamente una función sobreyectiva?

Para identificar una función sobreyectiva gráficamente, se debe observar que la gráfica cubra todo el eje y, es decir, la gráfica debe extenderse desde el infinito negativo hasta el infinito positivo, sin dejar ningún valor del eje y sin imagen correspondiente.

¿Qué es una función biyectiva?

Una función biyectiva es aquella que es tanto inyectiva como sobreyectiva. Esto significa que cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen única en el conjunto de llegada (inyectiva) y cada elemento del conjunto de llegada está relacionado con algún elemento del conjunto de partida (sobreyectiva).

¿Qué ocurre si hay un valor en el conjunto de llegada que no tiene ninguna flecha apuntando hacia él?

Si hay un valor en el conjunto de llegada que no tiene ninguna flecha apuntando hacia él, entonces la función no es sobreyectiva, ya que uno de los requisitos para ser sobreyectiva es que todos los valores del conjunto de llegada tengan al menos una imagen correspondiente en el conjunto de partida.

¿Cómo se sabe si una función es biyectiva en términos gráficos?

Una función es biyectiva en términos gráficos si la gráfica es tal que cubre todo el eje y sin repeticiones, y además no deja ningún valor sin imagen. En otras palabras, la gráfica debe ser continua, sin saltos ni valores del eje y que no estén cubiertos por la gráfica.

¿Qué significa que una función sea de reales en reales?

Una función de reales en reales significa que tanto el conjunto de partida como el conjunto de llegada están formados por números reales. En estos casos, la función se define para todos los números reales y la gráfica se analiza en el plano cartesiano con ejes X e Y representando los valores reales.

¿Qué debemos hacer para identificar si una función es inyectiva o sobreyectiva en gráficos complejos?

Para identificar si una función es inyectiva o sobreyectiva en gráficos complejos, se debe trazar líneas horizontales para verificar si la gráfica toca más de una vez un valor en el eje y (lo que indicaría que no es inyectiva), y también se debe comprobar que la gráfica cubra todo el eje y, desde el infinito negativo hasta el infinito positivo, para asegurar que la función sea sobreyectiva.