Límite con teorema del encaje 1
Summary
TLDREn este video, se aborda un ejercicio sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje. El problema se enfoca en calcular el límite de una función F desconocida, pero acotada entre 4 - x^2 y 4 + x^2. Aplicando el teorema del encaje, se demuestra que el límite de F cuando x tiende a 0 debe ser 4, ya que es el único valor que satisface la condición de estar entre los límites superior e inferior dados. El video explica cómo se llega a esta conclusión paso a paso.
Takeaways
- 🔍 El ejercicio trata sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje.
- 📘 El teorema del encaje también es conocido como el teorema del emparedado.
- ❓ El objetivo es encontrar el límite cuando x tiende a 0 de una función F, sabiendo que está acotada.
- 📏 La función F está acotada entre 4 - X² y 4 + X².
- 🔗 Se aplica el límite a las tres expresiones involucradas en la desigualdad.
- 🧮 Los límites de las funciones 4 - X² y 4 + X², cuando x tiende a 0, son ambos 4.
- ⚖️ El teorema del encaje indica que si los límites de las funciones que acotan a F son iguales, entonces el límite de F también será ese valor.
- 📊 El límite de la función F, cuando x tiende a 0, es 4.
- 🔎 El resultado solo puede ser 4, ya que es el único valor que cumple la condición de estar entre 4 y 4.
- ✅ El teorema del encaje es clave para resolver este tipo de problemas con funciones acotadas.
Q & A
¿Qué es el teorema del encaje o empar?
-El teorema del encaje o empar establece que si una función está acotada entre dos funciones y los límites de esas dos funciones en un punto son iguales, entonces el límite de la función acotada en ese punto también es igual a ese valor.
¿Cuál es el objetivo del ejercicio presentado en el video?
-El objetivo del ejercicio es calcular el valor del límite de una función F cuando x tiende a 0, utilizando el teorema del encaje, aunque no se conoce la forma explícita de la función F.
¿Qué información se da sobre la función F?
-Se sabe que la función F está acotada entre las funciones 4 - x² y 4 + x².
¿Cómo se aplica el teorema del encaje en este ejercicio?
-Primero, se establece que 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x². Luego, se aplica el límite a las tres expresiones cuando x tiende a 0, obteniendo que el límite de F(x) también debe ser 4.
¿Por qué no hay indeterminación al calcular los límites de 4 - x² y 4 + x²?
-No hay indeterminación porque ambos límites son directos; simplemente sustituyendo x por 0 se obtienen valores de 4 en ambos casos.
¿Cuál es el valor del límite de la función F(x) cuando x tiende a 0?
-El límite de la función F(x) cuando x tiende a 0 es 4, según el teorema del encaje.
¿Por qué el único valor que satisface la condición es 4?
-El valor 4 es el único que cumple con la condición de estar entre 4 y 4, ya que cualquier otro número no satisface la desigualdad que se deriva del teorema del encaje.
¿Qué ocurre si se intenta asignar otro valor, como 2 o 6, al límite de F(x)?
-Si se intenta asignar valores como 2 o 6 al límite de F(x), no se cumple la condición de que F(x) esté acotada entre 4 - x² y 4 + x², por lo que esos valores no son posibles.
¿Qué pasos se siguieron para aplicar el teorema del encaje?
-Primero se establece la desigualdad 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x², luego se aplican los límites a cada parte de la desigualdad, y finalmente se concluye que el límite de F(x) es 4.
¿Por qué el cálculo del límite de F(x) es posible aunque no se conozca la forma explícita de la función?
-El cálculo es posible porque, aunque no se conozca la forma exacta de F(x), el teorema del encaje permite deducir su límite basándose en las funciones que la acotan.
Outlines
📘 Introducción al Teorema del Encaje
En este primer párrafo, se presenta el ejercicio sobre límites trigonométricos, utilizando el teorema del encaje (también conocido como teorema del empar). Se destaca que el objetivo del video es resolver un límite de una función desconocida, pero que está acotada entre dos funciones conocidas. El enfoque del ejercicio es cómo utilizar esta información para encontrar el valor del límite.
🔎 Analizando las funciones acotadas
Aquí se detalla cómo la función \( F \) está acotada entre \( 4 - x^2 \) y \( 4 + x^2 \). Aunque no se conoce la función \( F \), es importante que esté limitada por esas dos expresiones. Este hecho permitirá aplicar el teorema del encaje para determinar el valor del límite.
📝 Aplicación de límites a las desigualdades
En este párrafo, se explica cómo aplicar el límite cuando \( x \) tiende a 0 a cada una de las expresiones: \( 4 - x^2 \), \( F \), y \( 4 + x^2 \). Al hacerlo, se obtiene una nueva desigualdad que incorpora los límites de las dos funciones acotantes.
🔢 Cálculo de los límites de las funciones acotantes
Se observa que los límites de las funciones acotantes no presentan formas indeterminadas, y al sustituir \( x = 0 \), se obtiene que ambos límites son iguales a 4. Aunque el límite de \( F \) sigue sin conocerse, se señala que esta información es crucial para llegar a la conclusión final.
📊 Conclusión utilizando el teorema del encaje
Este párrafo explica cómo, al tener los mismos resultados (4) en ambos extremos de la desigualdad, el único valor posible para el límite de \( F \) debe ser 4. Se concluye que, por el teorema del encaje, el valor del límite de la función \( F \) es igual a 4, ya que es el único número que cumple las condiciones de la desigualdad.
Mindmap
Keywords
💡Teorema del encaje
💡Límite
💡Función acotada
💡4 - x²
💡4 + x²
💡Forma indeterminada
💡Cálculo directo
💡Desigualdad
💡Límite lateral
💡Valor del límite
Highlights
Introducción al ejercicio sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje.
Explicación sobre cómo la función F está acotada por dos funciones: 4 - X² y 4 + X².
Se aplica el límite cuando x tiende a 0 en las tres expresiones: 4 - X², F(x), y 4 + X².
Identificación de que el límite de 4 - X² cuando x tiende a 0 es un límite directo y su valor es 4.
Confirmación de que el límite de 4 + X² cuando x tiende a 0 es también un límite directo con valor de 4.
Enfatización de que la función F está 'encajada' entre dos límites que son ambos 4.
Aplicación del teorema del encaje para concluir que el límite de F cuando x tiende a 0 debe ser igual a 4.
Justificación de que cualquier valor distinto de 4 no cumpliría con las desigualdades dadas.
Explicación de cómo el teorema del encaje se usa cuando una función está acotada entre dos funciones con límites conocidos.
La importancia del límite directo en este contexto y cómo simplifica el proceso.
Reafirmación de que el único valor que satisface la condición de estar entre 4 y 4 es el propio número 4.
Clarificación de que el límite de la función F es 4 por la imposibilidad de que otro valor satisfaga las condiciones.
El teorema del encaje es una herramienta poderosa para resolver límites de funciones desconocidas acotadas.
El uso del teorema permite obtener un límite sin conocer la forma exacta de la función F.
Conclusión de que el límite de la función F cuando x tiende a 0 es 4, basado en los límites de las funciones acotadas.
Transcripts
h a todos en esta ocasión nos
dedicaremos a resolver un ejercicio
sobre límites trigonométricos utilizando
un teorema muy importante que tenemos
que se conoce como el teorema del enaje
o también en algunas ocasiones podran
toá por ahí como el teorema del empar
verdad Entonces qué Vamos a resolver en
este video ve lo que dice el ejercicio
utilice el teorema del encaje para
encontrar el valor del límite cuando x
tiende a cer de la función F si se sabe
que esa función F está acotada por 4 - X
a la 2 en la izquierda y 4 + X a la 2 a
la derecha Entonces veen qué
importante porque si ustedes se fijan en
este ejercicio nos están pidiendo
calcular un límite de una función que no
que no que no conocemos verdad sin
embargo a pesar de que no conocemos esa
función específica F sabemos entre Qué
funciones está acotada verdad Qué
funciones están encerrando a esa función
F y eso es precisamente lo que nos
interesa en este caso Entonces qué Vamos
a hacer para calcular en este caso pues
este límite observen que andamos en
busca del límite cuando x tiende a cer
de la función pero no sé quién
es Entonces vamos a partir del hecho de
saber que esa función F está acotada
entre 4 - X a la 2 y 4 + X a la 2
Entonces eso es lo primero que vamos a
escribir se sabe que 4 - X a la 2 es
menor que esta función F que a su vez es
menor que 4 + x la 2 eso es lo que nos
dice en el mismo ejercicio Entonces qué
nos dice el el teorema del encaje o
primero que nada como aquí tenemos una
desigualdad observen que podríamos
aplicarle un límite precisamente el que
andamos buscando Verdad que es cuando x
tiende a 0 a estas tres expresiones
entonces podríamos decir límite cuando x
tiende a 0 de 4 - X a la 2 tiene que ser
menor o igual que el límite cuando x
tiende a cer de la función F y esto a la
vez tiene que ser menor o igual que el
límite cuando x tiende a
cer de la función 4 + x 2 o sea si
ustedes se fijan lo único que acabamos
de hacer en este paso fue aplicar un
límite ahí verdad A cada una de las
expresiones y para qué hacemos eso bueno
es que vean Qué
interesante si ustedes hacen el cálculo
de este límite vean que este límite no
presenta ninguna forma indeterminada es
un límite directo Porque si nosotros
cambiamos la x por c el resultado nos va
dar
cu Por otra parte bueno veen que este
límite de acá definitivamente si no
tenemos cómo
calcularlo Entonces vamos a ponerlo
igualito porque no no conocemos su valor
y si nos vamos a calcular el límite que
tenemos aquí a la derecha vean que es el
límite cuando x tiende a 0 de 4 + X a la
2 pero es que otra vez estamos frente a
un límite que no presenta ninguna forma
indeterminada es un límite directo y es
que si ustedes cambian la x por 0 pues
el resultado les va a quedar cu Y veen
qué interesante lo que está pasando por
qué bueno porque ya yo sé que hay una
función que está a la
izquierda verdad o que o que genera
valores más pequeñitos que la de F y el
límite da
4 y tengo una función a la derecha
verdad lo que genera valores más
grandecitos
e que la función F y me da 4 entonces si
ya yo sé que esto tiene que arrojar
resultados que estén entre 4 y 4 Cuál es
la única forma de que esto pueda ser
cierto vean que ahí es donde logramos
calcular el límite verdad de ahí decimos
que por teorema del
encaje la única manera de que eso sea
cierto es que el límite de la función F
sea nada más y nada menos que cuat por
qué Porque 4atro es el único número que
cumple la condición de ser menor o igual
que 4 y menor o igual que 4 observen que
en cualquier otro caso suponiendo que
por ejemplo ten tenemos un dos un dos no
nos funciona porque no se cumple esta
condición un seis por ejemplo ven que
tampoco nos funciona porque no nos
cumple esta condición Entonces el único
valor que hace que se cumpla Esa
condición en este caso es el cuatro y
ese correspondería al valor de
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