Caos2 Campos de vectores
Summary
TLDREn 1676, Isaac Newton escribió una carta en código sobre su descubrimiento del cálculo diferencial e integral, que permite predecir el futuro al calcular el movimiento de un sistema. El video explica cómo el cálculo descompone movimientos en secuencias diminutas, como los pasos de muñequitos, y cómo los campos vectoriales guían esas trayectorias. Se aborda el determinismo y cómo pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden alterar el futuro. El caos y la sensibilidad a estas condiciones hacen que la predicción del futuro, incluso en sistemas simples, sea muy compleja.
Takeaways
- 🧠 Isaac Newton envió una carta a su rival en 1676 con un acertijo que contenía su descubrimiento sobre el cálculo.
- 📜 El anagrama que envió Newton fue descifrado como una referencia al cálculo diferencial e integral, una herramienta para predecir movimientos futuros.
- ⏳ El cálculo diferencial permite calcular la velocidad como la diferencia entre dos posiciones en tiempos consecutivos.
- 🚗 Los movimientos continuos, como el de los autos, se aproximan como una serie de pasos muy pequeños, similar a una película de 25 fotogramas por segundo.
- 🌀 Un campo vectorial indica las velocidades en diferentes puntos, y las trayectorias siguen estos vectores.
- 🔄 El cálculo integral resuelve el problema inverso del cálculo diferencial, determinando la trayectoria a partir de un campo vectorial.
- 🌍 Las trayectorias de objetos en un campo vectorial no se cruzan y están determinadas por las condiciones iniciales.
- ⚖️ El determinismo afirma que, a partir de un punto inicial, una única trayectoria es posible, pero pequeñas variaciones pueden cambiar dramáticamente el futuro.
- ⏱️ James Clerk Maxwell destacó que las pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden generar grandes cambios en los sistemas físicos.
- 🎢 En sistemas caóticos, como el de los juguetes voladores descritos, es imposible predecir con precisión el futuro, lo que demuestra la complejidad del caos.
Q & A
¿Por qué Isaac Newton envió un acertijo en lugar de revelar directamente su descubrimiento?
-Newton quería mantener su descubrimiento en secreto mientras lo compartía con su rival. El acertijo le permitía informar parcialmente sin revelar todos los detalles de su trabajo.
¿Qué significa el anagrama 'ec fluentes Canes, invol fluxiones, invenire'?
-El anagrama en latín hace referencia al cálculo diferencial, describiendo cómo encontrar la derivada de una ecuación en cualquier número de variables, y viceversa.
¿Qué representa el cálculo diferencial según el video?
-El cálculo diferencial permite predecir el movimiento futuro de un sistema al conocer su estado presente y las fuerzas que lo afectan. Se refiere a resolver ecuaciones diferenciales y encontrar sus soluciones.
¿Cómo explica el video la relación entre las huellas de los muñequitos y la velocidad?
-Las huellas representan los pasos que dan los muñequitos, y la distancia entre dos huellas consecutivas indica la velocidad. Cuando los muñequitos van rápido, las huellas están más separadas, y cuando van lento, las huellas están más cercanas.
¿Cómo se compara la velocidad de los muñequitos con la velocidad de los autos de carrera?
-Mientras los muñequitos dan pasos, los autos se mueven de manera continua. Newton aproximó los movimientos continuos como una serie de pequeños pasos, lo que se puede observar al dividir el movimiento en fotogramas, como en una película.
¿Qué son los vectores y cómo se relacionan con la velocidad en el video?
-Los vectores son representaciones gráficas de la velocidad de los muñequitos. Cada flecha indica la dirección y magnitud de su velocidad en un punto dado.
¿Qué implica resolver el problema inverso en el cálculo integral?
-El problema inverso en el cálculo integral implica encontrar la trayectoria que sigue un objeto en un campo vectorial a partir de la velocidad indicada en cada punto del campo.
¿Qué es un campo vectorial y cómo afecta a los muñequitos?
-Un campo vectorial es un conjunto de vectores distribuidos en el espacio que indican la velocidad en cada punto. Los muñequitos deben moverse siguiendo la dirección y magnitud de los vectores a lo largo de su trayectoria.
¿Cómo describe el video el flujo y su relación con los muñequitos?
-El flujo es el movimiento ordenado de los muñequitos como si flotaran en un río, cada uno siguiendo una trayectoria determinada por el campo vectorial. Esto también refleja el flujo de personas o moléculas en la naturaleza.
¿Qué nos muestra el campo vectorial donde los muñecos giran a la izquierda o a la derecha?
-Este campo vectorial muestra cómo pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos muy distintos, ilustrando la sensibilidad de algunos sistemas al caos.
¿Cómo describe el video la relación entre caos y predictibilidad según Maxwell?
-Maxwell señala que aunque normalmente causas similares producen efectos similares, en ciertos sistemas físicos pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden provocar grandes diferencias en el resultado, lo que introduce caos en la predictibilidad.
Outlines
🧠 El enigma de Newton y el cálculo diferencial
En 1676, Isaac Newton envió una carta encriptada a su rival para mantener en secreto su descubrimiento sobre el cálculo diferencial. El mensaje codificado revelaba su capacidad para encontrar derivadas y viceversa, permitiendo predecir el futuro de sistemas mediante ecuaciones diferenciales. El concepto de derivada se explica a través de un juguete que deja huellas al caminar, donde la distancia entre las huellas representa la velocidad. Así, el cálculo diferencial predice la velocidad a partir de la diferencia de posiciones en un intervalo de tiempo muy pequeño.
🔄 Campos vectoriales y trayectorias
Este párrafo introduce el concepto de un campo vectorial, un campo de flechas que indican direcciones de velocidad. Los muñecos avanzan siguiendo la velocidad dictada por el campo vectorial, creando trayectorias continuas. Newton explica que el movimiento continuo es el límite de una sucesión de pasos infinitesimales. Las trayectorias de cada punto son únicas y determinadas por el campo, como lo establece el teorema de Cauchy-Lipschitz, y nunca se cruzan entre sí. Aquí se introduce el cálculo integral, que permite calcular la trayectoria a partir del campo vectorial.
🌪️ Determinismo y caos en sistemas físicos
Se aborda el concepto de flujo y determinismo, comparando el movimiento de muñecos en un campo vectorial con el flujo de personas o moléculas en la Tierra. Aunque el determinismo parece predecir trayectorias de forma precisa, pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar grandes diferencias en el resultado final. Se cita a Maxwell, quien señala la sensibilidad de ciertos sistemas a sus condiciones iniciales, introduciendo la idea de caos. Los ejemplos ilustran cómo pequeñas variaciones pueden provocar futuros impredecibles, especialmente en sistemas complejos como los de un campo vectorial tridimensional.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo diferencial
💡Derivada
💡Campo vectorial
💡Trayectoria
💡Determinismo
💡Condiciones iniciales
💡Caos
💡Integración
💡Teorema de Cauchy-Lipschitz
💡Sensibilidad a las condiciones iniciales
Highlights
Isaac Newton escribió una carta cifrada en 1676 para comunicar su descubrimiento del cálculo diferencial, pero manteniéndolo en secreto mediante un acertijo.
El anagrama descifrado revela un concepto clave del cálculo: encontrar la derivada de una ecuación con varias variables y viceversa.
El cálculo diferencial es comparado con una herramienta efectiva para predecir el futuro al calcular el movimiento de un sistema basado en su estado presente y las fuerzas que lo afectan.
La carta de Newton se considera el origen del cálculo diferencial e integral, una rama crucial de las matemáticas.
Se usa un ejemplo de muñecos que caminan con diferentes longitudes de paso para ilustrar cómo la velocidad varía y cómo puede calcularse una derivada a partir del movimiento.
El concepto de velocidad es descrito como la diferencia entre dos posiciones en dos tiempos consecutivos, lo que es el objetivo principal del cálculo diferencial.
Los matemáticos representan la velocidad con flechas o vectores, que indican la dirección y magnitud del movimiento en un campo vectorial.
Se introduce la idea del campo vectorial, donde cada punto tiene una dirección de velocidad, y los objetos deben seguir esa trayectoria según las instrucciones del campo.
El teorema de Cauchy-Lipschitz asegura que cada punto de partida tiene una única trayectoria futura determinada por su posición inicial y el campo vectorial.
El cálculo integral es el proceso inverso al cálculo diferencial, que permite encontrar la trayectoria de un objeto conociendo su campo vectorial.
Se describe un campo vectorial simple donde objetos a la izquierda giran hacia la izquierda y objetos a la derecha giran hacia la derecha, mostrando la sensibilidad del determinismo a pequeñas variaciones iniciales.
La sensibilidad a las condiciones iniciales puede causar grandes diferencias en el futuro de un sistema, un concepto clave en la teoría del caos.
El físico Maxwell resaltó en 1876 cómo pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden producir grandes cambios, un principio relacionado con el caos.
Se presenta un ejemplo más complejo de caos, donde un campo vectorial en el espacio hace que los juguetes vuelen en naves espaciales, mostrando trayectorias impredecibles y caóticas.
El caos se ilustra como un obstáculo insalvable para predecir el futuro con precisión, incluso en sistemas aparentemente simples como el movimiento de los juguetes.
Transcripts
el 26 de octubre de
1676 Isaac Newton escribió una carta a
su gran rival
lit quería contarle de su más grande
descubrimiento pero al mismo tiempo
quería mantenerlo en secreto Así que le
envió un
acertijo 6a 2c d a e 13e 2f 7 I 3 l 9 L
4 o 4q 2r 4S 8t 12b
x
lais no
decodificar historiadores de las ciencia
descifraron la frase en latín que se
escondía en el anagrama
ec fluentes Canes
invol fluxiones
invenire en español dado una ecuación en
cualquier número de variables encontrar
su derivada y
viceversa esto es el cálculo diferencial
integral una bola de cristal que es
increíblemente efectiva para predecir el
futuro
permite calcular el movimiento futuro de
un sistema cuando conoce su estado
presente y las fuerzas que lo
afecta decimos que resolvemos una
ecuación diferencial o que encontramos
sus
soluciones veamos esto en el mundo de
los juguetes después de todo el mundo
matemático es un poco como un juego
donde todo es más simple que la vida
real un mundo que en ocasiones es
infantil las huellas indican los caminos
seguidos por los atletas sus
trayectorias supongamos que nuestros
muñequitos dan pasos a un ritmo
constante pero que en ocasiones el
tamaño de los pasos es más largo y en
otras más corto cuando el muñeco va
rápido dos huellas consecutivas quedan
lejos cuando va lento las huellas quedan
cercanas la flecha que une dos huellas
consecutivas indica la
velocidad es la diferencia entre dos
posiciones en dos tiempos consecutivos
de aquí el término cálculo diferencial
[Música]
la carrera de los 100 Met Quién
ganará 9:58 segundos
genial pero en realidad los movimientos
rara vez consisten de
pasos veamos los movimientos de los
autos de carrera ruedan no dan pasos Qué
es entonces la
velocidad una idea es decir que después
de todo esta película consta de 25
cuadros por segundo Y entonces podemos
pensar que cada moto da 25 pasos y
podemos hablar de su velocidad cuando
hablamos de la velocidad de los
muñequitos Newton aproximó los
movimientos continuos como una secuencia
de movimientos paso a paso pero con
pasos que se hacen tan cortos que no se
notan como en las
películas calcular la velocidad del
movimiento se llama calcular una
derivada es el objetivo del cálculo
diferencial he aquí algunos movimientos
[Música]
estas flechas indican la velocidad y los
matemáticos las llaman
vectores ahora imagina El problema
inverso
ves flechas dibujadas en el piso A eso
le llamamos un campo
vectorial imagina un campo de trigo pero
con vectores en lugar de
tallos la misión de los muñecos es
moverse con la velocidad indicada por el
campo
vectorial dice fácil ven un vector a sus
pies indicá su velocidad y entonces
avanzan en esa dirección y con esa
velocidad un pequeñísimo momento después
han llegado a un nuevo punto que tiene
una nueva velocidad entonces Siguen con
la nueva dirección y así continúan una y
otra
vez caminar No es difícil es solo poner
un pie delante el otro y volverlo a
hacer
a decir verdad debemos explicar A qué
nos referimos con un pequeñísimo
momento la respuesta de Newton sería un
instante infinitamente
pequeño ya dijimos que un movimiento
continuo no es lo mismo que una sucesión
de pasos ese límite que obtienes cuando
los pasos se hacen más y más
cortos Así que en lugar de saltar como
los muñecos toma un auto que se mueve
continuamente lo que estará siguiendo se
llama
trayectoria una curva que es tangente al
campo vectorial en todas
[Música]
partes aquí tienes un campo vectorial en
el plano y dos puntos que son las
posiciones iniciales de las dos motos
el teorema de kosi lipsit resume el
concepto de
determinismo afirma que estos puntos
determinan las trayectorias
futuras empezado en cada punto existe
una única trayectoria cuya posición
inicial es el punto
dado cada punto tiene su destino
diferente del de los demás
el muñeco enfrenta su
destino solo puede seguir su trayectoria
y las trayectorias nunca se cruzarán
Unas con
otras determinar la trayectoria a partir
del conocimiento del campo vectorial es
el trabajo del cálculo
integral que va en la dirección opuesta
al del cálculo diferencial
[Música]
[Música]
aquí tenemos un grupo de muñecos bien
ordenados como soldaditos listos para
empezar a
[Música]
marchar y aquí va
notarás que el orden original Se ha
perdido en ocasiones decimos que el
campo determina un
flujo como si esos personajes estuvieran
flotando en un río cada uno siguiendo un
propio curso en la
corriente piensa en el flujo de la
humanidad 7000 millones de muñecos
moviéndose por toda la tierra o piens en
el flujo de billones de billones de
billones de moléculas en la atmósfera de
la Tierra
[Música]
he aquí un ejemplo simple casi
ingenuo que nos mostrará una debilidad
del
determinismo ve ese campo
vectorial las figuras avanzan y como
puedes ver aquellos a la izquierda de la
línea central gir izquierda y aquellos a
la derecha giran a la derecha en un
sentido el determinismo es válido cada
uno sigue su destino sobre el cual no
tiene ningún
control Pero por otro lado los hombres
muy cercanos tienen destinos muy
diferentes algo pequeño puede cambiar
completamente el futuro
en su libro Mater and motion publicado
en
1876 el físico Maxwell hace hincapié en
la sensibilidad de los Fenómenos físicos
a las condiciones
iniciales Esto es lo que
escribió hay una máxima que dice que las
mismas causas siempre producirán los
mismos
efectos hay otra máxima que no debe ser
confundida con la primera que afirma que
causas similares producen efectos
similares la segunda solo es cierta
cuando pequeñas variaciones en las
circunstancias iniciales solo producen
variaciones pequeñas en el estado final
del
sistema en muchos casos esta condición
se satisface Pero hay otros casos en los
que una pequeña Aviación inicial produce
grandes cambios en el estado final del
sistema
[Música]
esta dependencia del futuro a las
condiciones iniciales es solamente uno
de los aspectos del caos Pero hay muchas
situaciones más
complejas imagina por ejemplo un campo
vectorial que no está trazado en el
suelo sino en el
espacio por ejemplo este que ve sobre
planos verticales que se mueven ahora
nuestros juguetes no caminan vuelan en
sus naves
espaciales en cada momento su velocidad
está dada por el campo
vectorial ve lo que pasa en nuestros
desafortunados
juguetes esto es mucho más
[Música]
caótico Imagina a un adivino de
juguete sería imposible con tal montaña
rusa su predicciones serían
decepcionantes
Dónde estará en una hora
nadie podrá jamás
predecirlo si es difícil predecir el
futuro de unos juguetes imagina predecir
el futuro de un
[Música]
humano ah
[Música]
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