5 Lineare Funktionen Werkzeuge - Aufstellen einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Sebastian Stoll

29 Apr 201513:32

Summary

TLDRDas Video skizziert die Methode, eine lineare Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen. Es zeigt, wie man zeichnerisch und rechnerisch vorgeht, um die Gleichung zu finden. Es erklärt, wie man die Steigung und den y-Achsenabschnitt ablesen kann, um die allgemeine Funktionsgleichung zu erhalten. Anschließend wird gezeigt, wie man durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Anwendung eines linearen Gleichungssystems die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) berechnet. Das Video bietet auch ein praktisches Beispiel, um die Theorie zu veranschaulichen.

Takeaways

📐 Die Aufgabe ist es, eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen.
🖊 Die Lösung beginnt mit der graphischen Darstellung der Geraden, die durch die Punkte geht.
📉 Der y-Achsenabschnitt und die Steigung der Geraden werden aus der graphischen Darstellung ablesbar.
🔢 Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
📝 Die Punkte werden in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.
➖ Das lineare Gleichungssystem wird durch Subtraktion gelöst, um die Steigung m zu finden.
🔄 Die gefundene Steigung wird dann in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um den y-Achsenabschnitt b zu bestimmen.
📚 Die Funktionsgleichung wird dann aus m und b abgeleitet und mit der graphischen Darstellung verglichen.
🔄 Es wird gezeigt, wie man die gleiche Prozedur anwendet, um die Funktionsgleichung für verschiedene Beispiele zu finden.
📈 Die Verfahren werden auch auf eine Wertetabelle angewendet, um fehlende Werte in einer linearen Funktion zu ergänzen.

Q & A

Wie wird die Funktionsgleichung einer Geraden aus zwei Punkten aufgestellt?
-Man verwendet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden y = mx + b, wo m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Man setzt die Koordinaten der beiden Punkte in diese Gleichung ein, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten, das dann gelöst wird, um m und b zu finden.
Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden, die durch den Punkt P gezeichnet wird?
-Der y-Achsenabschnitt der Geraden ist -5.
Wie lautet die Steigung der Geraden, die durch den Punkt P gezeichnet wird?
-Die Steigung der Geraden ist 1/3, da sie 1 runter und 3 rechts geht.
Wie wird die Steigung einer Geraden aus einem Dreiecks gelesen?
-Die Steigung wird durch die Veränderung der y-Koordinate (Senkrechte) geteilt durch die Veränderung der x-Koordinate (Waagerechte) gelesen.
Was ist der Zweck des linearen Gleichungssystems in diesem Kontext?
-Das lineare Gleichungssystem wird verwendet, um die unbekannten Variablen m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung einer Geraden zu bestimmen.
Wie wird die Steigung der Geraden aus dem zweiten Beispiel berechnet?
-Die Steigung der Geraden aus dem zweiten Beispiel ist 1/2, da sie 1 runter und 2 rechts geht.
Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden aus dem zweiten Beispiel?
-Der y-Achsenabschnitt der Geraden aus dem zweiten Beispiel ist -1.
Wie wird die Funktionsgleichung aus dem dritten Beispiel berechnet?
-Die Funktionsgleichung aus dem dritten Beispiel wird durch die Berechnung der Steigung und des y-Achsenabschnitts aus den gegebenen Punkten und deren Einsetzen in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b berechnet.
Was bedeuten die Buchstaben m und b in der Funktionsgleichung y = mx + b?
-In der Funktionsgleichung y = mx + b ist m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt.
Wie wird der y-Achsenabschnitt aus der Wertetabelle einer linearen Funktion ermittelt?
-Der y-Achsenabschnitt aus der Wertetabelle einer linearen Funktion wird durch den Wert der y-Koordinate gefunden, wenn x gleich 0 ist.
Was ist der Zweck des Subtraktionsverfahrens in der Berechnung der Funktionsgleichung?
-Das Subtraktionsverfahren wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, indem man eine der Gleichungen von der anderen subtrahiert, um die Steigung m zu finden.

Outlines

00:00

📐 Einführung in das Aufstellen von Funktionsgleichungen

In diesem Abschnitt wird eine Aufgabe zum Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand zweier Punkte vorgestellt. Zunächst wird die Lösung zeichnerisch erklärt, indem die Punkte P und Q eingezeichnet und durch eine Gerade verbunden werden. Der y-Achsenabschnitt wird bei -5 abgelesen und die Steigung der Gerade ermittelt. Es wird gezeigt, wie diese Informationen in die Funktionsgleichung y = 3x - 5 einfließen. Anschließend wird der rechnerische Ansatz erklärt, indem die Punkte in ein lineares Gleichungssystem eingesetzt werden, um m und b zu berechnen. Das Verfahren wird Schritt für Schritt erläutert, inklusive der Subtraktion der Gleichungen und der Berechnung von m und b.

05:03

🔢 Zweites Beispiel zur Funktionsgleichung

Ein weiteres Beispiel wird behandelt, bei dem eine Funktionsgleichung für eine Gerade aufgestellt wird, die durch zwei Punkte verläuft. Auch hier wird das Problem zunächst zeichnerisch gelöst, indem die Punkte eingezeichnet und die Steigung sowie der y-Achsenabschnitt abgelesen werden. Der rechnerische Teil zeigt erneut, wie ein Gleichungssystem zur Bestimmung von m und b erstellt wird. Das Subtraktionsverfahren wird genutzt, um die Variablen zu eliminieren, und es wird gezeigt, wie m = 0,5 und b = -1 berechnet werden. Die Lösung wird abschließend überprüft, um sicherzustellen, dass die Funktionsgleichung korrekt ist.

10:05

📊 Drittes Beispiel mit selbstständiger Aufgabe

Hier wird ein weiteres Beispiel vorgestellt, bei dem der Zuschauer aufgefordert wird, die Aufgabe selbstständig zu lösen, bevor die Lösung präsentiert wird. Es handelt sich um das Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten. Die Lösung erfolgt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch. Der y-Achsenabschnitt wird abgelesen und die Steigung ermittelt. Durch das Subtraktionsverfahren werden m und b bestimmt und die Funktionsgleichung lautet schließlich y = 3/4x + 0,5. Der rechnerische Ansatz bestätigt die zeichnerisch ermittelte Funktionsgleichung.

Mindmap

Keywords

💡Aufstellen

Das Stichwort 'Aufstellen' bezieht sich im Kontext des Videos auf das Erstellen einer Funktionsgleichung. Es ist ein zentraler Schritt im mathematischen Prozess, bei dem aus zwei gegebenen Punkten eine lineare Funktionsgleichung entwickelt wird. Im Video wird gezeigt, wie man die Punkte in eine allgemeine lineare Gleichung setzt, um die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) zu bestimmen.

💡Funktionsgleichung

Eine 'Funktionsgleichung' ist eine mathematische Gleichung, die eine Funktion beschreibt. Im Video wird sie verwendet, um die lineare Beziehung zwischen zwei Variablen zu definieren. Die Gleichung hat die Form y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Sie wird verwendet, um die Geraden zu beschreiben, die durch die gegebenen Punkte verlaufen.

💡Punkt

Ein 'Punkt' ist in diesem Video ein gegebener Datenpunkt, der aus einer x- und einer y-Koordinate besteht. Die Punkte werden verwendet, um die Funktionsgleichung zu bestimmen. Im Video werden die Punkte P und C als Beispiele genannt, die in die allgemeine lineare Gleichung eingesetzt werden, um die Parameter m und b zu finden.

💡Steigung

Die 'Steigung' (m) ist ein Schlüsselbegriff in Bezug auf lineare Funktionen. Sie gibt an, wie schnell die y-Werte sich ändern, wenn die x-Werte verändert werden. Im Video wird die Steigung durch das Zeichnen eines Dreiecks verwendet, das von der y-Achse zum Punkt zeigt, um die Steigung zu schätzen und in die Funktionsgleichung einzusetzen.

💡y-Achsenabschnitt

Der 'y-Achsenabschnitt' (b) ist der Punkt, an dem die lineare Funktion mit der y-Achse schneidet. Im Video wird der y-Achsenabschnitt als Teil der Funktionsgleichung verwendet und durch Ablesen der y-Koordinate des Punktes, an dem die Gerade die y-Achse trifft, bestimmt.

💡Lineare Gleichung

Eine 'lineare Gleichung' ist eine Gleichung, die zwei Variablen in der Form ax + by = c beschreibt, wobei a, b und c Konstanten sind. Im Video wird eine lineare Gleichung verwendet, um die Steigung und den y-Achsenabschnitt zu finden, indem man die Punkte in die Gleichung setzt und diese auflöst.

💡Subtraktion

Die 'Subtraktion' wird im Video als Methode verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Durch das Subtrahieren einer Gleichung von der anderen wird eine einfachere Gleichung erhalten, die es ermöglicht, einen der Parameter (m oder b) zu bestimmen. Dies wird im Kontext der Funktionsgleichung verwendet, um die Steigung oder den y-Achsenabschnitt zu finden.

💡Werte Tabelle

Eine 'Werte Tabelle' ist eine Liste von Datenpunkten, die in diesem Video verwendet wird, um die Funktionsgleichung zu überprüfen. Nachdem die Funktionsgleichung gefunden wurde, werden die Werte aus der Tabelle eingesetzt, um zu überprüfen, ob sie in die Gleichung passen. Im Video wird gezeigt, wie man die fehlenden Werte in der Tabelle durch Einsetzen der bekannten Punkte in die Funktionsgleichung ergänzt.

💡Koordinatensystem

Ein 'Koordinatensystem' ist ein Diagramm, das X- und Y-Achsen hat und verwendet wird, um Punkte und ihre Koordinaten zu visualisieren. Im Video wird das Koordinatensystem verwendet, um die gegebenen Punkte zu plotten und die durch diese Punkte verlaufende lineare Funktion zu zeichnen.

💡Lösung

Die 'Lösung' bezieht sich im Kontext des Videos auf das Ergebnis des mathematischen Prozesses, bei dem die Funktionsgleichung aus den gegebenen Punkten bestimmt wird. Es ist das Endergebnis, das die lineare Beziehung zwischen den Variablen beschreibt und durch das Lösen des linearen Gleichungssystems erreicht wird.

Highlights

Kapitel 'Aufstellen einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten' wird erörtert.

Die rechnerische Lösung wird trotz der zeichnerischen Lösung bevorzugt.

Eine Aufgabe wird vorgestellt, bei der die Funktionsgleichung einer Geraden durch den Punkt P gesucht wird.

Die Punkte werden zeichnerisch eingezeichnet und die Gerade gezeichnet.

Die y-Achsenabschnitte und Steigungen werden zur Bestimmung der Funktionsgleichung verwendet.

Die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b wird genutzt.

Ein lineares Gleichungssystem wird konstruiert, um die Funktionsgleichung zu finden.

Die Punkte werden in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, um das Gleichungssystem zu erhalten.

Das Subtraktionsverfahren wird verwendet, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.

Die Steigung (m) und der y-Achsenabschnitt (b) werden aus dem Gleichungssystem berechnet.

Ein zweites Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte bestimmt wird.

Die Punkte werden erneut zeichnerisch eingezeichnet und die Gerade gezeichnet.

Die Funktionsgleichung wird erneut mithilfe des Subtraktionsverfahrens aus dem linearen Gleichungssystem berechnet.

Ein drittes Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden mit einem y-Achsenabschnitt von 0,5 und einer Steigung von 3/4 gefunden wird.

Die Funktionsgleichung wird erneut berechnet, indem die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt werden.

Ein viertes Beispiel wird vorgestellt, bei dem die Funktionsgleichung einer Geraden mit einem y-Achsenabschnitt von +3 und einer Steigung von 1 berechnet wird.

Die Wertetafel einer linearen Funktion wird besprochen und die fehlenden Werte werden ergänzt.

Die Punkte aus der Wertetafel werden verwendet, um die Funktionsgleichung zu überprüfen.

Die Berechnung der x- und y-Koordinaten für die Punkte auf der Geraden wird durchgeführt.