COMBINACIONES CON REPETICIÓN Y SIN REPETICIÓN
Summary
TLDREl video trata sobre la combinatoria, una rama de las matemáticas discretas que estudia la organización de elementos en grupos bajo condiciones específicas. Se explica la diferencia entre combinaciones, donde no importa el orden, y permutaciones, donde el orden sí es relevante. También se abordan ejemplos prácticos para entender cuándo aplicar cada uno. Finalmente, se presentan las fórmulas para combinaciones con y sin repetición, aplicadas a situaciones cotidianas, como elegir sabores de helado en una heladería, para ilustrar cómo funcionan en la práctica.
Takeaways
- 📚 La combinatoria es una rama de las matemáticas que pertenece al área de matemáticas discretas y estudia configuraciones que satisfacen condiciones establecidas.
- 🔢 Se enfoca en la numeración y las propiedades de agrupaciones de elementos, considerando la población, la muestra, si importa el orden y si se puede repetir.
- 👥 La población es el número total de elementos que se estudian, mientras que la muestra es el número de elementos que se seleccionan o se ordenan.
- ✅ El orden importa cuando se asignan roles específicos, como presidente y secretario, lo que hace que el problema sea una permutación o variación.
- 🔄 Si los elementos no se pueden repetir, como en el ejemplo de presidente y secretario, esto indica que no es una combinación.
- ❓ Para saber si un problema es una combinación, se debe preguntar si las combinaciones son diferentes. Si lo son, se trata de una permutación o variación.
- 🎤 Un ejemplo de permutación es elegir a dos estudiantes, uno para cantar y otro para tocar la guitarra, ya que el orden importa.
- 💪 Un ejemplo de combinación es elegir dos estudiantes para mover un escritorio, ya que el orden no importa y ambos realizarán la misma tarea.
- ✖️ El factorial de un número entero positivo se obtiene multiplicando todos los números enteros desde 1 hasta ese número.
- 🍦 La combinación con repetición se aplica cuando se pueden seleccionar elementos repetidos, como en el ejemplo de elegir tres bolas de helado de diferentes sabores.
Q & A
¿Qué es la combinatoria y a qué área de las matemáticas pertenece?
-La combinatoria es una rama de las matemáticas que pertenece al área de las matemáticas discretas. Estudia la numeración y existencia de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.
¿Qué factores se deben considerar al estudiar combinatoria?
-Al estudiar combinatoria, se deben considerar las definiciones de población, muestra, si importa el orden de los elementos y si se pueden repetir los elementos seleccionados.
En el ejemplo de seleccionar un presidente y un secretario de una clase de 30 estudiantes, ¿importa el orden?
-Sí, importa el orden porque no es lo mismo que una persona sea presidente y otra sea secretario. Esto indica que se trata de una permutación o variación, no una combinación.
¿Qué diferencia hay entre una combinación y una permutación?
-En una combinación no importa el orden de los elementos, mientras que en una permutación el orden es relevante. Si al intercambiar dos elementos se obtiene un resultado diferente, se trata de una permutación.
¿Cómo se determina si un problema es una combinación o una permutación?
-Para determinar si un problema es una combinación o una permutación, se puede realizar una táctica de dos pasos: 1) hacer dos combinaciones diferentes con los mismos elementos, 2) preguntarse si las combinaciones son diferentes. Si la respuesta es sí, es una permutación; si es no, es una combinación.
En el ejemplo de mover un escritorio, ¿se trata de una combinación o una permutación?
-Se trata de una combinación porque no importa el orden en que los estudiantes seleccionados realicen la tarea de mover el escritorio; ambos harán lo mismo.
¿Qué es un factorial y cómo se calcula?
-El factorial de un número es la multiplicación de todos los números enteros positivos desde 1 hasta ese número. Por ejemplo, 5 factorial (5!) es igual a 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones sin repetición?
-La fórmula para calcular combinaciones sin repetición es: C(n, r) = n! / (r!(n - r)!).
¿Cuál es la fórmula para calcular combinaciones con repetición?
-La fórmula para calcular combinaciones con repetición es: C(n + r - 1, r) = (n + r - 1)! / (r!(n - 1)!).
¿Cuántas combinaciones diferentes de tres bolas de helado puedes hacer si hay 12 sabores y se permite repetir sabores?
-Si hay 12 sabores y se permite repetir, se pueden hacer 364 combinaciones diferentes de tres bolas de helado.
Outlines
🧠 Introducción a la combinatoria y sus conceptos clave
Este párrafo introduce la combinatoria como una rama de las matemáticas discretas que estudia las configuraciones que satisfacen ciertas condiciones. Se explica la importancia de los conceptos de población y muestra, además de si importa el orden o si se pueden repetir los elementos en un conjunto. Se utiliza el ejemplo de seleccionar un presidente y un secretario de una clase de 30 estudiantes para ilustrar estos conceptos. Se concluye que en este caso, el orden importa y los elementos no se pueden repetir, lo que indica que no se trata de una combinación sino de una permutación.
📊 Combinaciones y permutaciones: ejemplos prácticos
Aquí se explica cómo distinguir entre combinaciones y permutaciones a través de un proceso de dos pasos. El primer ejemplo involucra la selección de estudiantes para cantar y tocar la guitarra, concluyendo que se trata de una permutación porque el orden importa. En el segundo ejemplo, se eligen estudiantes para mover un escritorio, y como el orden no importa, se resuelve como una combinación. También se introduce el concepto de factorial y cómo se aplica solo a números enteros positivos.
🍨 Ejemplos de combinaciones con y sin repetición
Este párrafo presenta ejemplos de combinaciones con y sin repetición usando una situación cotidiana: elegir sabores de helado. Primero, se resuelve un problema donde no importa el orden y se permite la repetición, utilizando la fórmula de combinación con repetición. Luego, se resuelve un problema donde el orden no importa pero no se permite la repetición, aplicando la fórmula de combinación sin repetición. Se explican ambos procedimientos paso a paso, destacando cómo simplificar los factoriales para obtener los resultados correctos.
Mindmap
Keywords
💡Combinatoria
💡Población
💡Muestra
💡Orden
💡Repetición
💡Permutación
💡Combinación
💡Factorial
💡Combinación sin repetición
💡Combinación con repetición
Highlights
La combinatoria es una rama de las matemáticas que pertenece a las matemáticas discretas, estudiando configuraciones que satisfacen ciertas condiciones.
Se deben tener en cuenta definiciones clave como población, muestra, si importa el orden y si se puede repetir para resolver problemas combinatorios.
Ejemplo básico: En una clase de 30 estudiantes, seleccionar un presidente y un secretario es un problema de permutaciones porque importa el orden.
La combinación solo puede ser utilizada cuando no importa el orden, mientras que la permutación o variación se usa cuando el orden es relevante.
El primer ejemplo demuestra cómo seleccionar estudiantes para cantar o tocar un instrumento es un problema de permutaciones porque las combinaciones son diferentes según el rol asignado.
El segundo ejemplo muestra cómo seleccionar estudiantes para mover un escritorio es una combinación, ya que el orden no afecta la tarea.
El factorial de un número es la multiplicación de todos los números enteros positivos desde 1 hasta dicho número, y se representa como n!.
No es posible calcular el factorial de un número fraccionario o decimal, solo puede aplicarse a números enteros positivos.
La fórmula de combinación sin repetición es n! / [r! * (n-r)!], donde n es la población y r es la muestra.
La fórmula de combinación con repetición es [n+r-1]! / [r! * (n-1)!], usada cuando los elementos pueden repetirse.
Ejemplo en una heladería: Si puedes elegir tres bolas de helado de 12 sabores, con repetición de sabores, el número de combinaciones es 364.
Si cada bola de helado debe ser de un sabor diferente, entonces es un problema de combinación sin repetición, resultando en 220 combinaciones.
Cuando se puede repetir la selección, el problema se resuelve usando la fórmula de combinación con repetición.
La clave para diferenciar entre una combinación y una permutación es si el orden de los elementos afecta el resultado final.
El concepto de factorial es esencial para entender y calcular combinaciones y permutaciones de una forma simplificada.
Transcripts
la combinatoria la combinatoria es una
rama de las matemáticas perteneciente al
área de matemáticas discretas esta
estudia la numeración y existencia de
propiedades de configuraciones que
satisfacen ciertas condiciones
establecidas
estudia agrupaciones de un determinado
número de elementos
para esto hay que tomar en cuenta las
definiciones de población muestra si
importa el orden y si se puede repetir
la población son todos o más bien el
número de elementos que se está
estudiando la muestra pues de los
elementos de la población cuántos
elementos se seleccionan o cuántos se
van a ordenar por ejemplo para esta
cuestión sería que en una clase de 30
estudiantes se desea seleccionar a un
presidente y a un secretario cuantos
comités diferentes se pueden formar por
ahora no vamos a contestar la cuestión
simplemente vamos a guiarnos por los
conceptos de población muestra si
importa el orden o si se puede repetir
en el número de población podemos
observar que son 30 estudiantes por lo
cual vamos a poner en población el
número 30 la muestra nos dice que son
presidente y secretario por lo tanto
vamos a poner el número 2 como podemos
saber si importa el orden pues bien
dibujaremos a un lado dos casillas en el
primer caso será el presidente y en el
segundo el secretario vamos a escoger a
dos alumnos
el primer caso sería álex y en el
segundo natalia
al existe en el puesto del presidente y
natalia en el puesto del secretario
hacemos dos casillas abajo y podemos
poner a natalia de presidente y al ex
del secretario importa el orden si la
siguiente cuestión es si se pueden
repetir pues bien esto es sencillo ya
que no puede estar al ex en dos puestos
a la vez por lo tanto eso nos dice y nos
indica que no se pueden repetir
como saber si nuestro problema es una
combinación o no la combinación sólo
puede ser realizada para datos donde no
importa el orden para entenderlo mejor y
saber si en nuestro problema es o no una
combinación realizaremos una táctica de
dos pasos paso 1 hacer dos combinaciones
diferentes con los mismos elementos
[Música]
paso 2 preguntarse las combinaciones son
diferentes al realizar este último paso
obtendremos un sí o no por respuesta si
obtenemos un si no se tratara de una
combinación sino de una permutación o
variación si por el contrario obtenemos
un no se tratara de una combinación para
explicar mejor realizaremos dos ejemplos
el primer ejemplo nos dice de un grupo
de ocho estudiantes se requiere elegir a
dos o uno para que cante y otro para que
toque la guitarra para saber si el
problema es o no una combinación
realizaremos el primer paso que es hacer
las dos combinaciones diferentes con los
mismos elementos
para ello supongamos que de esos ocho
estudiantes elegimos a los estudiantes
flor amargo para que cante y juan quan
quan camps para que toque la guitarra
esta sería nuestra primera combinación y
seguimos con la segunda combinación que
debe ser diferente y con los mismos
elementos entonces en esta segunda
combinación flor amargo tocaría la
guitarra y con cuenco en cuando cuando
cantaría y ahora si podemos realizar el
segundo paso las combinaciones son
diferentes para este caso si son
diferentes las combinaciones porque no
es lo mismo que flor amargo toque la
guitarra y cuando cuando en cuanto
encante a qué flor amargo cante y cuando
encuentran cuanto que la guitarra
entonces este problema no se realizaría
con una combinación sino con una
permutación o variación
el segundo ejemplo nos dice que de un
grupo de 10 estudiantes se requiere a
dos para que muevan el escritorio
nuevamente hacemos el primer paso que es
hacer las dos combinaciones diferentes
con los mismos elementos supongamos que
de estos seis estudiantes se eligieron a
los estudiantes
bryant y el cejas para mover el
escritorio así que realizamos las dos
combinaciones diferentes y realizaremos
la pregunta las combinaciones son
diferentes en este caso no son
diferentes porque los dos harán lo mismo
que es mover el escritorio por lo tanto
este problema se realiza con una
combinación
en el factorial de un número sólo lo
podemos tener en números enteros y tiene
que ser positivo ya que no se puede
tener el factor ya el de un número
fraccionario como puede ser 4 sextos y
tampoco se va a encontrar en números
decimales como puede ser es un 9.5
y la forma en la que se escribe es la
multiplicación de todos los números
enteros positivos desde el 1 hasta el
cómo podría ser 5 factorial que es igual
a 1 por dos por tres por cuatro por 5
que es igual a 120 la fórmula para
simplificar el factorial sl factorial es
igual a n por n menos 1 factorial
por ejemplo 6 factorial es igual a 6 por
6 menos 1 factorial que sería 6 por 5
factorial
ya tenemos casi todo listo para resolver
los ejercicios de combinación por
repetición y sin repetición solo nos
faltan sus fórmulas
la fórmula de la combinación sin
repetición es n combinado en grupos de r
es igual a n factorial entre r factorial
por n - r factorial y la fórmula de
combinación con repetición es n
combinaciones que se pueden repetir en
grupos de r es igual a n más r - 1
factorial entre r factorial por n menos
1 factorial ahora si resolvemos un
ejemplo supongamos que estás con tu
pareja en una heladería donde ofrecen 12
sabores diferentes pero él o ella debe
ir al baño y te encarga que cada bola de
su helado sea de diferente sabor cuántas
combinaciones del lado de tres bolas
puedes hacer para ti y cuántas
combinaciones del lado de tres bolas
puedes hacer para tu pareja para
resolver el problema
recordemos lo antes enseñado veamos que
nuestra población será 12 que es el
número total de sabores a elegir
y nuestra muestra será tres sabores para
el barquillo importa el orden no no
importa porque tendrán las bolas de
helado que pedirás sin importar el orden
y telas comerás por lo que nuestro
problema se resuelve por la combinación
se puede repetir empecemos por todo
helado tú no tienen ninguna condición
por lo que puedes escoger tanto tres
bolas diferentes como tres bolas del
mismo sabor entonces si se puede repetir
y se resolverá por combinación con
repetición entonces pongamos nuestra
fórmula de combinación con repetición y
acomodamos nuestra m&r en su lugar
entonces aquí 12 + 3 - 1 factorial nos
da 14 factorial y 12 menos 1 factorial
más de 11 factorías ahora simplificamos
nuestro numerador al número más cercano
de nuestro denominador y nos quedaría 14
por 3 por 12 por 11 factorial
entre 3 factorial por once factorial
simplificar y amos once factorial y
nuestro 3 factorial también lo
simplificamos ahora simplificar y amos
nuestro 3 solamente con un numerador y
nuestro 2 solamente con un numerador nos
quedaría 7 por 13 por 4 y eso nos daría
igual a 364 combinaciones que puedes
hacer con repetición para nuestra
segunda pregunta se puede repetir no
debido a que nos dio la condición de que
cada sabor debe ser diferente entonces
se resolverá con una combinación sin
repetición agregamos nuestra fórmula de
combinación sin repetición y acomodamos
nuestra n jr
tendríamos 12 factorial entre 3 por 12
menos 3 factoriales resolvemos la resta
y serían 12 factorial entre 3 vectorial
por 9 factorial simplificamos el
numerador al número más cercano
del denominador y nos quedaría 12 x 11 x
10 x 9 factorial entre 3 factorial por 9
factorial simplificamos los 9
factoriales y simplificamos el 3
factorial ahora simplificamos el 3 con
un numerador y el 2 con un numerador
obtendríamos 4 por 11 por 5 y eso nos
daría 220 combinaciones sin repetición
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