87. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO

MateFacil
29 Jan 201704:18

Summary

TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \), se derivan y se sustituyen en la ecuación original, conduciendo a la ecuación característica. A través de factorización, se resuelven los valores de \( r \) y se obtienen dos soluciones linealmente independientes. La solución general se expresa como una combinación de ambas soluciones, multiplicadas por constantes arbitrarias. Además, se invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar y se anima a la interacción a través de comentarios y sugerencias.

Takeaways

  • 🧮 En este video se resolverá una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.
  • 📊 La ecuación diferencial homogénea a resolver es: y'' + 4y' + 3y = 0.
  • 🔧 El primer paso es proponer una solución de la forma y = e^(rx) y sustituirla en la ecuación diferencial.
  • 📉 Al sustituir las derivadas, se obtiene una ecuación algebraica llamada ecuación característica.
  • ✏️ La ecuación característica es r² + 4r + 3 = 0, una ecuación de segundo grado.
  • 📐 Esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante factorización: (r + 1)(r + 3) = 0.
  • 🧑‍🏫 Las soluciones para r son r = -1 y r = -3, lo que permite obtener dos soluciones linealmente independientes.
  • 📝 La solución general de la ecuación diferencial es: y = c1 * e^(-x) + c2 * e^(-3x).
  • 🔍 Se deja un ejercicio similar al espectador: resolver la ecuación diferencial y'' - 10y = 0.
  • 👍 Se invita a los espectadores a suscribirse al canal y dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.

Q & A

  • ¿Cuál es la ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve en el vídeo?

    -La ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve es \( y'' + 4y' + 3y = 0 \).

  • ¿Qué método se utiliza para resolver la ecuación diferencial mencionada?

    -Se utiliza el método de la ecuación característica para resolver la ecuación diferencial de segundo orden.

  • ¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial?

    -Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \) y se sustituye en la ecuación diferencial para calcular las derivadas y simplificar.

  • ¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?

    -La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene de la ecuación diferencial al sustituir \( y = e^{rx} \), \( y' = re^{rx} \) y \( y'' = r^2e^{rx} \) y simplificar.

  • ¿Cómo se resuelve la ecuación característica para la ecuación diferencial dada?

    -Se resuelve la ecuación característica \( r^2 + 4r + 3 = 0 \) mediante factorización, encontrando los valores de \( r \) que satisfacen la ecuación.

  • ¿Cuáles son los valores de \( r \) que se obtienen al resolver la ecuación característica?

    -Los valores de \( r \) que se obtienen son \( r = -1 \) y \( r = -3 \).

  • ¿Qué significan los valores de \( r \) en el contexto de la ecuación diferencial?

    -Los valores de \( r \) representan las soluciones exponenciales de la ecuación diferencial, y son los exponentes de las soluciones particulares.

  • ¿Cómo se determina la solución general de la ecuación diferencial?

    -La solución general se determina como una combinación lineal de las soluciones particulares, que son \( c_1e^{-x} \) y \( c_2e^{-3x} \), donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes arbitrarias.

  • ¿Por qué son necesarias dos soluciones linealmente independientes para la solución general?

    -Son necesarias dos soluciones linealmente independientes para asegurar que la solución general abarque todo el espacio solución de la ecuación diferencial de segundo orden.

  • ¿Cómo se relaciona la ecuación diferencial resuelta con las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes y homogéneas?

    -La ecuación diferencial resuelta es un ejemplo de una ecuación diferencial de coeficientes constantes y homogénea, lo que significa que los coeficientes de las derivadas no dependen de la variable independiente y no hay términos no homogéneos.

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