Leyes de Exponentes
Summary
TLDREste video educativo aborda las leyes de los exponentes, explicando conceptos fundamentales como los exponentes cero y uno, y cómo se aplican en operaciones como la multiplicación y división de monomios. Se ilustra cómo los exponentes se suman en la multiplicación y se restan en la división, y se introducen las potencias de monomios, productos y cocientes. Además, se discuten exponentes negativos y fracciones, y cómo se convierten en raíces y potencias fraccionadas. El video es una herramienta valiosa para comprender y aplicar correctamente las reglas de los exponentes en matemáticas.
Takeaways
- 😀 Las bases con exponente 1 son simplemente la base misma y el exponente no se escribe.
- 🌟 Cualquier base elevada al cero es igual a uno, independientemente de ser un número, letra o fracción.
- ➕ Al multiplicar monomios con la misma base, los exponentes se suman mientras que la base permanece.
- ➖ Al dividir monomios con la misma base, los exponentes se restan y la base permanece.
- 🔄 Al elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican.
- 🆗 Cuando se eleva un producto a una potencia, cada factor en el producto se eleva individualmente a esa potencia.
- 🔽 Al elevar un cociente a una potencia, tanto el numerador como el denominador se elevan a esa potencia.
- 👎 Los exponentes negativos se manejan como fracciones donde la base pasa al denominador y el exponente se convierte en positivo.
- 📉 Las potencias con exponentes fraccionales se pueden simplificar dividiendo tanto el numerador como el denominador por su GCD y se representan como raíces.
- 🔄 En la forma multiplicativa de fracciones con exponentes, la base del denominador pasa al numerador con exponente negativo y se suman los exponentes.
Q & A
¿Qué sucede con el exponente cuando una base se eleva al 1?
-Cuando una base se eleva al 1, simplemente se mantiene la misma. El exponente 1 no se escribe, ya que se entiende implícito.
Si una base tiene exponente cero, ¿qué valor toma?
-Cualquier base elevada al 0 es igual a 1, independientemente de que sea un número, una letra o una fracción.
¿Cómo se calcula la multiplicación de monomios con exponentes?
-Al multiplicar monomios con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. Por ejemplo, si se multiplica x^4 por x^3, el resultado es x^7.
¿Cuál es la regla para dividir monomios con la misma base?
-Al dividir monomios con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes. Por ejemplo, al dividir x^5 entre x^3, el resultado es x^2.
¿Qué pasa cuando una potencia se eleva a otra potencia?
-Cuando una potencia se eleva a otra potencia, se multiplican los exponentes. Por ejemplo, (n^2)^3 se convierte en n^6.
¿Cómo se maneja la potencia de un producto?
-La potencia de un producto se distribuye a cada factor del producto. Por ejemplo, (x*y)^2 se convierte en x^2 * y^2.
Si se eleva una fracción a una potencia, ¿cómo se calcula?
-Se eleva el numerador y el denominador por separado a la potencia. Por ejemplo, (a/b)^n se convierte en (a^n) / (b^n).
¿Qué significa tener un exponente negativo en una potencia?
-Un exponente negativo significa que la base se toma como denominador con exponente positivo. Por ejemplo, a^(-n) es igual a 1 / a^n.
¿Cómo se interpreta una base elevada a la fracción 1/2?
-Una base elevada a la fracción 1/2 significa que se toma la raíz cuadrada de la base. Por ejemplo, a^(1/2) es igual a la raíz cuadrada de a.
Si una base tiene un exponente que es una fracción, ¿cómo se simplifica?
-Se simplifica dividiendo ambos numerador y denominador del exponente por su máximo común divisor. Por ejemplo, a^(16/12) se simplifica a a^(4/3).
Outlines
📘 Introducción a las leyes de los exponentes
El primer párrafo introduce las leyes de los exponentes, explicando que cualquier base con exponente 1 es simplemente la base misma, y que el exponente 1 no se escribe. También se menciona que cualquier base elevada al cero, independientemente de ser un número, letra o fracción, es igual a uno. Se presentan ejemplos de multiplicación de monomios y se demuestra cómo los exponentes se suman cuando se multiplican bases iguales. Además, se explica la división de monomios, donde los exponentes se restan en lugar de sumarse.
🔢 Multiplicación y división de monomios
Este párrafo profundiza en la multiplicación y división de monomios, proporcionando ejemplos con números y letras. Se enfatiza que en la multiplicación de monomios con la misma base, los exponentes se suman, mientras que en la división, los exponentes se restan. Se presentan ejemplos específicos para ilustrar cómo se aplican estas reglas, y se menciona que estas propiedades son aplicables tanto a letras como a números.
🆙 Potencias de monomios y productos
El tercer párrafo se centra en las potencias de monomios y productos. Se explica que cuando una potencia es elevada a otra potencia, los exponentes se multiplican. También se discute el concepto de potencia de un producto, donde cada factor en el producto se eleva al exponente dado. Se proporcionan ejemplos numéricos y algebraicos para aclarar estas reglas, y se menciona que estas propiedades son extensibles a cualquier tipo de base, ya sea letra o número.
➗ Potencias de cocientes y exponentes negativos
Este párrafo cubre las potencias de cocientes y los exponentes negativos. Se describe cómo se manejan las potencias cuando se aplican a cocientes, donde tanto el numerador como el denominador se elevan al mismo exponente. También se introduce el concepto de exponentes negativos, que se interpretan como la fracción reciprocal de la base con exponente positivo. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cómo se calculan estas potencias, y se menciona que estos principios son aplicables a fracciones y a números enteros.
🔄 Expresiones con exponentes fraccionarios
El cuarto párrafo se enfoca en las expresiones con exponentes fraccionarios. Se explica cómo simplificar fracciones al dividir tanto el numerador como el denominador por su común divisor. Se presentan ejemplos de cómo se convierten estas fracciones en raíces, donde el numerador se convierte en el exponente y el denominador en el índice de la raíz. Se discuten casos específicos, como la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y se muestra cómo se aplican estas reglas para simplificar las expresiones.
🔚 Conclusión y recordatorio de las leyes de los exponentes
El último párrafo concluye el video con un resumen de las leyes de los exponentes que se han discutido a lo largo del guion. Se recalca la importancia de recordar que en la multiplicación de monomios los exponentes se suman, y en la división, los exponentes se restan. Se ofrecen formas de transformar fracciones en exponentes multiplicativos y se sugiere que los espectadores pueden pausar el video para estudiar los conceptos más a fondo. Se cierra el video agradeciendo la atención y ofreciendo soporte para cualquier duda.
Mindmap
Keywords
💡Exponente
💡Base
💡Multiplicación de monomios
💡División de monomios
💡Potencia de un monomio
💡Potencia de un producto
💡Potencia de un cociente
💡Exponente negativo
💡Fracciones como exponentes
💡Leyes de los exponentes
Highlights
Explicación de que toda base con exponente 1 es igual a la base en sí y que el exponente 1 no se escribe.
Propiedad de que cualquier base elevada al cero es igual a uno, independientemente del valor de la base.
Multiplicación de monomios: cuando se multiplican bases iguales, los exponentes se suman.
Ejemplo práctico de multiplicación de monomios con variables y números.
División de monomios: cuando se dividen bases iguales, los exponentes se restan.
Ejemplo de división de monomios demostrando cómo restar exponentes cuando las bases son iguales.
Potencia de un monomio: los exponentes se multiplican cuando se elevan potencias de monomios.
Potencia de un producto: se eleva cada factor en el producto a la potencia dada.
Potencia de un cociente: tanto el numerador como el denominador se elevan a la potencia.
Potencias con exponentes negativos: se invierte la base y se convierte el exponente en positivo.
Ejemplo de potencia con exponente negativo y cómo se convierte en fracción.
Potencia de una fracción: se simplifica la fracción antes de aplicar la potencia.
Explicación de potencias de monomios con exponentes fraccionarios y cómo convertirlas en raíces.
Ejemplo de potencia con exponente fraccionario, mostrando cómo se convierte en raíz y se simplifica.
Potencia de una base con exponente medio: se convierte en raíz cuadrada y se aplica a la base.
Potencia de una base con exponente de tres medios: se convierte en raíz cúbica y se aplica a la base.
Conversión de potencias fraccionarias a su forma multiplicativa y exponencial.
Ejemplo de cómo transformar una fracción en su forma exponencial y multiplicativa.
Transcripts
Qué tal amigos bienvenidos vamos a
explicar a leyes de los exponentes vamos
a comenzar con con lo más sencillo vamos
a decir si tenemos una base una base que
tiene exponente 1 cuando el exponente de
la base es 1 simplemente es la base
todas las bases tienen exponente uno si
es un número o si es una letra como una
x a la 1 el exponente no se pone se pone
simplemente x se entiende que el
exponente es eso entonces todas las
bases tienen exponente 1 pero el
exponente 1 no se pone que estas son
propiedades de las potencias qué otra
propiedad de la potencia tenemos si
tenemos una base y su exponente cero
Pues en este caso toda base que tiene
exponente cero es igual a 1 tanto si es
una letra Como si es un número si es un
número como un 5 a la cero Pues un 5 a
la cero también va a ser uno si fuera un
menos cinco a la cero también fuera uno
si fuera una fracción un quinto al acero
también fuera uno siempre que la base
esté elevada al acero elevada a la cero
va a ser igual a uno estas son
propiedades estas dos son propiedades de
las potencias vamos a ver aquí un
ejercicio de multiplicación de de
monomios algo muy sencillo
si yo tengo una multiplicación de dos
monomios un x a la cuatro por x a la
tres pues esto es igual esto es igual la
base x permanece si dos bases iguales se
multiplican la base x permanece y los
exponentes se suman 4 + 3 4 + 3 da 7
Vamos a hacer otro ejemplo ahora con
números si tenemos un 7 a la 2
multiplicado por un 7 a la 3 tenemos dos
bases iguales cuando dos bases iguales
se multiplican la base permanece la base
7 permanece y los exponentes se suman se
suma 2
3 2 + 3 es un 7 a las 5 bueno así es
como se da la multiplicación de de
monomios ahora vamos a ver algo de
división división de monomios bien si
tenemos la división de monomios Por
ejemplo si yo tengo un x a la cinco
entre un x a la tres cuando se divide en
bases iguales la base también permanece
pero en este caso los exponentes se
restan al exponente del numerador le
resto el exponente del denominador 5 - 3
me queda exponente 2 aplica tanto si son
letras como si son números por ejemplo
si tenemos un cuatro a la 2 Entre
simplemente cuatro también aquí son
bases iguales esta base tiene exponente
2 esta base tiene exponente 1 recordemos
que cuando un número no tiene exponente
su exponente es uno como aquí lo vimos
si el 3 no tiene exponente su exponente
es uno entonces Esto va a ser igual Pues
seguimos la misma regla cuando dos bases
iguales se dividen la permanece la base
permanece y los exponentes se restan a
dos a dos le resto 1 2 - 1 queda 4 a la
1 y si una base tiene exponente uno
simplemente en la base O sea que de ser
4 a la 1 simplemente voy a poner cuatro
bien pues estas dos estas dos se llaman
lo que son propiedades de las potencias
propiedades de las tendencias cuando
hablemos de propiedades de las potencias
son las que vamos a estar mencionando
aquí si una base tiene exponente 1 el
exponente 1 no se pone o si una base no
tiene exponente su exponente es uno si
una base está elevada al acero no
importa si es positiva negativa entera o
fraccionaria toda base que esté elevada
a la cero siempre va a ser igual a uno
estas pues viene siendo la
multiplicación de monomios entonces ahí
cuando vemos Nosotros la multiplicación
de monomios hay que recordar que cuando
bases iguales se multiplican los
exponentes se suman esto es votantes y
dos bases iguales se multiplican los
exponentes se suman cuatro más tres
siete dos dos más tres cinco Ahora aquí
pues esta es la división de monomios
bien pues en la división de monomios hay
que recordar que cuando bases iguales se
dividen los exponentes se restan
entonces aquí los exponentes se restan
cinco menos tres dos
menos uno uno y cuando les cuentes uno
no se pone entonces aquí podemos decir
nosotros que cuando es una
multiplicación de monomios los
exponentes se van a sumar es lo que
vamos a poner aquí cuando es una
división cuando es una división de
monomios los exponentes se van a restar
se van a restar bien Vamos a continuar
con el apartado con el apartado acá
vamos a poner aquí lo que viene siendo
las potencias de un monomio bien cuando
son las potencias de un monomio Por
ejemplo si tenemos una n a la 2 elevada
a la 3 es una potencia
un monomio bien cuando se dan las
potencias de monomios esto es igual aquí
los exponentes se multiplican se
multiplican dos por tres va a quedar
seis entonces queda n a la 6 aplica
tanto si son letras como si son números
por ejemplo si tenemos un dos un dos
elevado a la 3 y ese 2 elevado a tres
está elevado a la 4 exponente 4 entonces
aquí es 2 a la 3 y elevado a la 4 pues
Esto va a ser igual que la base 2 y los
exponentes aquí recordemos que en
potencias de monomios los exponentes se
multiplican cuatro por tres queda dos a
la 12 bien vamos a pasar a otro tema de
potencia de un producto Cuando tenemos
un producto o una multiplicación que
están elevados a una potencia por
ejemplo aquí tenemos un producto lo que
es una multiplicación x por y elevada a
la 2 pues Esto va a ser igual que tanto
la x quede elevada a la 2 como la y que
de elevada a la 2 aplica tanto si son
letras como si son letras y números por
ejemplo si tenemos un dos a un dos a
elevada a la 3 pues Esto va a ser igual
que tanto el 2 quede elevada a la 3 como
que la a que de elevada a la 3 Esto es
lo que aplica aquí en potencias de
productos bien Vamos a ver lo que es
potencias de un cociente cuando son las
potencias de un cociente pues serían de
la siguiente manera aquí en potencias de
un producto podemos desarrollar
recordemos que un 2 a la 3 si es un dos
a la 3 significa que el dos se
multiplica por sí mismo tres veces dos
por dos por dos y la al cubo Pues aquí
quedaría la al cubo Entonces dos por dos
cuatro y cuatro por dos Pues aquí va a
quedar el valor de de 8 entonces ahí
quedaría ese valor de ese valor de 8
pero no va a ser tan tan necesario poner
esto bien entonces en las potencias de
un de un cociente pues quedaría así un
es una división si tengo x entre y
elevada a una potencia la potencia puede
ser un número entero puede ser un número
fraccionario siempre las potencias estas
potencias que tenemos aquí pueden ser
números enteros pueden ser números
positivos pueden ser números negativos
pueden ser fracciones Aplica para todo
caso de potencias pues esto es igual
tanto el numerador como el denominador
se elevan a la potencia que en este caso
es un medio o sea queda aquí que tanto
la x queda la un medio como la ye
también queda la un medio bien si
tenemos una a entre 3 elevada al
cuadrado pues Esto va a ser igual que la
a que de al cuadrado como el 3 quede al
cuadrado aquí se puede desarrollar se
puede desarrollar entendiendo que 3 al
cuadrado es tres por tres O sea que va a
ser nuevo o sea que Esto va a ser igual
que una a cuadrada entre 9 bien pues
esos son potencias de cocientes y en
esta línea por último vamos a lo que es
potencia con exponentes negativos cuando
potencias con exponentes negativos la
teoría dice que si una base tiene
exponente negativo esto es igual que uno
uno entre la base pero ahora el
exponente va a ser positivo uno entre la
base pero ahora el exponente va a ser
positivo Entonces si la base tiene
exponente negativo la base va abajo pero
con exponente positivo como ahí la x
tiene exponente 1 recordemos que si el
exponente es uno no se pone si el
exponente de la x es uno no se pone como
aquí lo habíamos visto si el exponente
de la x es 1 no se pone o de la y o de
cualquier otra sin exponente es uno no
se pone bien Vamos a hacer otro ejemplo
ahora con un número vamos a tener un
cinco un cinco elevado a la menos dos
pues esto es igual igual ponemos el uno
ponemos el uno entre un 5 elevado a la 2
positivo si la base tiene exponente
negativo la base va abajo con exponente
positivo si la base está en el numerador
exponente negativo la base va al
denominador con exponente positivo Claro
que un cinco a la 2 es 5 por 5 que da el
valor de de 25 o sea que estos fuera
igual que uno Entre 25 bien pues aquí
estas habíamos dicho que son potencias
de potencias de monomios
entonces ahí las potencias de monomios
las otras a las que siguen habíamos
dicho que eran potencias de potencias de
productos Las que siguen habíamos dicho
que eran potencias de cociente y las
últimas potencias con exponentes con
exponente negativo Esa es la forma ahí
de de identificarnos bien vamos a ir a
al último apartado aquí hay que recordar
la regla cuando son potencias de
monomios como es este caso cuando son
potencias de monomio Recuerden que los
exponentes se multiplican ya tenemos
aquí nosotros tres casos cuando es
multiplicación de monomios como aquí los
exponentes se suman cuando es división
de monomios como aquí los exponentes se
restan cuando son potencias de monomios
los exponentes se multiplican bien Vamos
aquí a hacer otro apartado apartado
final
en ocasiones vamos a tener una base que
tiene un exponente que es una fracción
como en este caso tenemos una y que está
elevada a la 12 tercios bien pues en
este caso 12 entre 3 es divisible y
simplemente es 4 va a haber casos que
sea una potencia como la siguiente que
sea una x elevada a 16/12 si es una x
elevada a la 16/12 pues Esto va a ser
igual tanto el 16 como el 12 son
divisibles entre 2 16 entre 2 8 12 entre
2 6 las dos cantidades tienen fracción
equivalente 8 sextos Pues el 8 sextos
también tiene fracción equivalente las
dos cantidades son divisibles entre 2 8
entre 2 pues 8 entre 2 va a quedar 4 y 6
entre 2 va a quedar 3 aquí ya se
simplificó bien pues Una vez que se
simplifica esta expresión se puede hacer
de la siguiente manera si yo tengo x
elevada a la cuatro tercios pues esto es
igual se va a poner la raíz
y el número el número que tenemos en el
denominador que es el 3 es el índice de
la raíz
y el número que está en el numerador va
a quedar dentro de la raíz como una x a
la 4 Así es como se hace pongan mucha
atención
aquí Cuando tenemos una base elevada una
exponente que es una fracción el que
está abajo queda como índice de la raíz
y el que está arriba queda como
exponente de la base O sea que es una
raíz cúbica de una x a la cuarta vamos a
hacer otro ejemplo el más clásico es
cuando la cuando el exponente es un
medio cuando el exponente es un medio
pues hacemos lo mismo ponemos una raíz
el que está abajo queda como índice de
la raíz lo que es el 2 y adentro pues va
a quedar la a con exponente 1 a con
exponente 1 aquí en este caso es un caso
particular donde también no se
acostumbra cuando es una raíz cuadrada
el índice es 2 pero no se pone solamente
se va a poner el símbolo de raíz
cuadrada no es necesario ponerle el 2 Y
cuando es una a la uno simplemente se
pone la a como que ya hemos visto cuando
exponentes uno no se acostumbra a poner
el exponente vamos a ir a otro caso
cuando es un número vamos a decir que
tenemos un tres a la un medio Pues un
tres a la un medio este va a ser igual
que lo que es la raíz cuadrada la raíz
cuadrada simplemente de 3 así lo pasamos
no es necesario ni poner el índice 2 ni
poner el exponente uno la raíz 3 a la un
medio es la raíz cuadrada de 3 si
tenemos una una base Por así decirlo la
y
aquí que tenemos una raíz cuadrada de Y
pues también funciona en sentido
contrario una raíz cuadrada de y así
como la raíz cuadrada de 3 es 3 a la un
medio así como la raíz cuadrada de a es
a la un medio así como la raíz cúbica de
X a la cuarta es x a la cuatro tercios
Pues también una raíz cuadrada de y va a
ser y a la un medio porque siempre que
tengamos una raíz el exponente es un
medio entonces va a ser y elevada a la
un medio vamos a poner un número vamos a
decir un número un 5 elevado un 5
elevado a la tres medios si tenemos un
cinco elevado a la tres medios pues Esto
va a ser igual que la raíz el que está
abajo lo ponemos como índice que es el 2
y dentro dentro de la raíz pongo el 5
elevado a la 3 el 5 elevado a la 3 y de
esta manera ya sabemos que cuando el
índice es 2 no es necesario ponerlo O
sea que Esto va a ser igual simplemente
a una raíz cuadrada de una x a la 5 no
es necesario poner s2 O sea que una raíz
cuadrada de X a la 3 es igual que Perdón
una raíz cuadrada de 5 a la 3 es igual
que un 5 a la tres medios o al revés 5 a
la tres medios es igual que la raíz
cuadrada de 5 a la 3 bien vamos a tener
ya aquí por último un ejemplo que sea
una ye y es allí elevada a la un tercio
si es una y elevada a la un tercio pues
siguiendo estas mismas reglas quedaría
como simplemente una y única por último
si tenemos fracciones
divisiones que sean como estas un tres a
las 5 un 3 a las cinco entre un 3 a la 2
y queremos ver la forma multiplicativa
Pues en forma multiplicativa quedaría
así la base que está abajo pasa arriba
con el exponente Negativo si Queremos
saber el resultado exponencial pues
simplemente hay que sumar los exponentes
al sumar los exponentes cinco menos dos
queda x a la 3 y un resultado el
resultado simple pues se desarrolla tres
a la tres que es tres por tres que da 27
igual si tenemos un 4 a la 2 Pues
también se puede desarrollar ya ustedes
ahí lo lo analizan Para que vean los los
resultados cualquier duda Pues estamos
al pendiente Muchas gracias por su
atención aquí recuerden si tenemos una
expresión como ésta si tenemos una
expresión como esta la base que está
abajo pasa arriba con exponente negativo
es la forma multiplicativa la el
resultado exponencial quiere decir que
los exponentes se suman dos menos cuatro
queda menos 2 recuerde que siempre se
deja el signo del más grande dejamos el
signo menos a cuatro le quitamos dos me
quedan dos si la base tiene exponente
negativo va abajo con exponente positivo
y cuatro lados es cuatro por cuatro y
cuatro por cuatro da el valor de 16 Aquí
queda un 16
pues cualquier duda estamos al pendiente
gracias por su atención y pueden poner
pausa en el video para irse un poquito
más despacio pero esto es lo que son las
leyes de los exponentes
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