INTRODUCCION A LA TRANSFORMADA Z | 25/51 | UPV

Universitat Politècnica de València - UPV

22 Sept 201115:17

Summary

TLDRAndrés Camacho, profesor de la Universidad Politécnica de Valencia, presenta una introducción a la transformada Z. Explica su definición, cómo calcularla para señales simples y su importancia en el análisis de señales. Aborda conceptos como la región de convergencia y diagramas de polos y ceros. Se establece una relación con la transformada de Fourier, demostrando cómo esta última se obtiene al analizar la transformada Z en la circunferencia unidad. Se ilustran ejemplos de transformadas de señales exponenciales crecientes y decrecientes, y se discuten sus regiones de convergencia. Finalmente, se generaliza el concepto para transformadas de delta de n desplazadas y se concluye con una revisión de los conceptos aprendidos.

Takeaways

😀 Andrés Camacho, profesor de la Universidad Politécnica de Valencia, presenta una introducción a la transformada Z.
🔍 Se define la transformada Z como una herramienta para analizar secuencias discretas, donde Z es un número complejo.
📚 Se aprende a calcular la transformada Z de señales simples y se trabaja con el concepto de región de convergencia.
📈 Se explora la relación entre la transformada Z y la transformada de Fourier, destacando que la transformada de Fourier es una transformada Z especial.
📊 Se representan gráficamente el módulo y la fase de la transformada Z, mostrando cómo varía esta con diferentes valores de Z.
🔢 Se calcula la transformada Z de secuencias exponenciales decrecientes y se analizan las condiciones para su convergencia.
🔄 Se explica cómo la región de convergencia determina si una transformada Z existe y es única para una señal dada.
📉 Se abordan ejemplos de transformadas Z de señales exponenciales crecientes y se comparan sus regiones de convergencia con las decrecientes.
🔧 Se combinan transformadas Z de señales exponenciales crecientes y decrecientes, y se determina la región de convergencia para ambas.
📌 Se introducen los diagramas de polos y ceros como una forma práctica de representar la transformada Z y su región de convergencia.

Q & A

¿Qué es la transformada Z?
-La transformada Z es una herramienta matemática que permite analizar secuencias discretas en el dominio de la frecuencia. Se utiliza para representar señales en términos de una variable compleja, Z.
¿Cómo se define la transformada Z de una secuencia X(n)?
-La transformada Z de una secuencia X(n) se define como una suma infinita de X(n) multiplicada por Z elevado a la potencia negativa de n, es decir, X(z) = Σ X(n) * Z^(-n).
¿Qué es la región de convergencia en la transformada Z?
-La región de convergencia (ROC) es el conjunto de valores de Z para los cuales la transformada Z de una secuencia converge. Esta región es crucial para determinar si la transformada Z existe o no.
¿Qué representan los diagramas de polos y ceros en la transformada Z?
-Los diagramas de polos y ceros son representaciones gráficas que muestran los valores de Z donde la transformada Z se anula (ceros) y donde tiende a infinito (polos). Estos diagramas ayudan a entender el comportamiento de la señal en el plano complejo.
¿Cuál es la relación entre la transformada Z y la transformada de Fourier?
-La transformada de Fourier es un caso particular de la transformada Z cuando Z se sustituye por e^(jω), lo que significa que se evalúa la transformada Z en la circunferencia unidad del plano complejo.
¿Cómo se calcula la transformada Z de una secuencia finita?
-Para una secuencia finita, la transformada Z se calcula sumando los términos no nulos de la secuencia, multiplicando cada valor de la señal por Z elevado a la potencia negativa del índice de la secuencia.
¿Qué sucede si el módulo de Z es menor que el radio de convergencia?
-Si el módulo de Z es menor que el radio de convergencia, la transformada Z no existe ya que la suma de la serie diverge. Esto significa que no se puede calcular una transformada válida en esa región.
¿Cómo se representa el módulo y la fase de una transformada Z?
-El módulo y la fase de una transformada Z se representan en gráficos separados. El módulo muestra la magnitud de la transformada Z y la fase indica el ángulo o desplazamiento en el plano complejo.
¿Qué se debe hacer cuando una secuencia es infinita?
-Cuando una secuencia es infinita, la transformada Z se calcula utilizando una serie geométrica y se deben analizar las condiciones de convergencia dependiendo del módulo de Z.
¿Qué es la transformada Z de una exponencial decreciente?
-La transformada Z de una exponencial decreciente se calcula como la suma de una serie geométrica. La región de convergencia dependerá del valor de la razón geométrica y del módulo de Z.