Progresión GEOMÉTRICA Término General INTERPOLACIÓN y SUMA | Fantastico Sencillo | Matematicas
Summary
TLDREste vídeo educativo se centra en la progresión geométrica, enseñando a calcular el término enésimo, interpolar medios geométricos y sumar los primeros términos de una progresión. Se explica la definición y se proporcionan ejemplos prácticos para comprender la razón de la progresión y cómo hallar el término general. Además, se abordan técnicas para interpolar valores y sumar términos, con ejercicios para aplicar el conocimiento adquirido.
Takeaways
- 🔢 Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón de la progresión.
- 📐 La fórmula general para el enésimo término de una progresión geométrica es a_n = a_1 * r^(n-1), donde a_1 es el primer término y r es la razón.
- 🔍 Para encontrar la razón de una progresión geométrica, se divide cualquier término por el término inmediatamente anterior.
- 📘 El ejemplo dado en el vídeo muestra progresiones geométricas con razones de 3 y 2, respectivamente.
- 🔄 Para interpolar medios geométricos entre dos números, se usa la fórmula r = (a_n / a_1)^(1/(n-1)), donde n es el número total de términos, incluyendo los extremos.
- 📌 Al interpolar medios geométricos, se dividen los términos entre sí para obtener los valores intermedios, como se muestra en el ejemplo con 128 y 4.
- 🌐 La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se calcula con la fórmula S_n = (a_n * (r - 1)) / r + a_1, donde a_n es el último término y r es la razón.
- 📊 El vídeo proporciona un ejemplo de cómo calcular la suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica, utilizando la fórmula mencionada anteriormente.
- 📑 Se invita a los espectadores a practicar con actividades de aprendizaje y a compartir sus dudas en los comentarios si surgen.
- 📢 El presentador promueve sus redes sociales y canales para seguir aprendiendo sobre temas relacionados.
Q & A
¿Qué es una progresión geométrica?
-Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón de la progresión.
¿Cómo se define la razón de una progresión geométrica?
-La razón de una progresión geométrica se define como el número fijo por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente, y se calcula dividiendo cualquier término entre el término inmediato anterior.
¿Cuál es la fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión geométrica?
-La fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión geométrica es \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \), donde \( a_n \) es el enésimo término, \( a_1 \) es el primer término y \( r \) es la razón.
Ejemplo del video, ¿cuál es el término que ocupa el lugar 6 en la progresión geométrica 26, 18, 54?
-El término que ocupa el lugar 6 en la progresión geométrica 26, 18, 54 es 486.
¿Qué es la interpolación de medios geométricos y cómo se calcula?
-La interpolación de medios geométricos es el proceso de calcular la razón para que los términos interpolados entre dos números dados formen una progresión geométrica. Se calcula despejando la razón en la fórmula del enésimo término y reemplazando los valores conocidos.
Si se interpolan cuatro medios geométricos entre 128 y 4, ¿cuáles son esos términos?
-Los cuatro medios geométricos entre 128 y 4 son 64, 32, 16 y 8.
¿Cómo se calcula la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica?
-La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se calcula con la fórmula \( S_n = \frac{a_n \cdot (r^n - 1)}{r - 1} \), donde \( S_n \) es la suma, \( a_n \) es el último término, \( r \) es la razón y \( n \) es el número de términos.
Ejemplo del video, ¿cuál es la suma de los primeros siete términos de la progresión geométrica 36, 12, 24?
-La suma de los primeros siete términos de la progresión geométrica 36, 12, 24 es 381.
¿Cómo se determina el primer término (a_1) en una progresión geométrica?
-El primer término (a_1) en una progresión geométrica es el término inicial de la sucesión y se identifica como el primer número en la lista de términos proporcionados.
Si se quiere calcular el término que ocupa el lugar 10 en una progresión geométrica, ¿qué datos son necesarios?
-Para calcular el término que ocupa el lugar 10 en una progresión geométrica, son necesarios el primer término (a_1), la razón (r) y el lugar del término en la progresión (n=10 en este caso).
Outlines
📚 Introducción a la progresión geométrica
El primer párrafo explica la progresión geométrica como una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón de la progresión. Se ilustra con ejemplos cómo se calcula la razón y cómo se determina el enésimo término utilizando la fórmula a_n = a_1 * r^(n-1). Se menciona el proceso de interpolación de medios geométricos y cómo calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.
🔢 Cálculo del término enésimo y interpolación de medios geométricos
Este párrafo se enfoca en el cálculo del término que ocupa el lugar 6 en una progresión geométrica dada, utilizando la fórmula del enésimo término. Luego, explica el concepto de interpolación de medios geométricos, que implica encontrar términos que formen una progresión geométrica entre dos números dados. Se proporciona un ejemplo paso a paso para interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4, calculando la razón y hallando los términos intermedios.
📐 Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
El tercer párrafo trata sobre cómo calcular la suma de los primeros términos de una progresión geométrica. Se presenta la fórmula para encontrar esta suma y se aplica a un ejemplo específico con una progresión geométrica que comienza en 36 y termina en 192 para los siete primeros términos. Se identifica la razón, se calcula el término enésimo y, finalmente, se determina la suma total de los términos utilizando la fórmula apropriada.
Mindmap
Keywords
💡Progresión geométrica
💡Término enésimo
💡Razón de la progresión
💡Interpolación de medios geométricos
💡Suma de los n primeros términos
💡Coeficiente
💡Exponente
💡Secuencia
💡Cociente
💡Fórmula
Highlights
Definición de progresión geométrica: Una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón.
Ejemplo de progresión geométrica: 26, 18, 54, donde la razón es 3.
Cómo calcular la razón de una progresión geométrica: Dividir cualquier término entre el término inmediato anterior.
Fórmula para el término general de una progresión geométrica: a_n = a_1 * r^(n-1).
Ejemplo de cálculo del término enésimo en una progresión geométrica.
Interpolación de medios geométricos: Calcular la razón para que los términos interpolados formen una progresión geométrica.
Fórmula para interpolar medios geométricos: a_n = (a_1 / r^(n-1))^(1/(n-1)).
Ejemplo de interpolación de cuatro medios geométricos entre 128 y 4.
Cálculo de la razón para interpolar medios geométricos: r = (a_n / a_1)^(1/(n-1)).
Resultado de la interpolación: Los cuatro medios geométricos entre 128 y 4 son 64, 32, 16 y 8.
Fórmula para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica: S_n = a_n * (r - 1) / (r - 1).
Ejemplo de cálculo de la suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica.
Cálculo de la razón para la suma de los primeros términos: r = a_n / a_(n-1).
Resultado del cálculo de la suma de los primeros siete términos: 381.
Actividad de aprendizaje con cinco preguntas para prácticar los conceptos aprendidos.
Invitación a suscribirse al canal y a seguir en redes sociales.
Transcripts
[Música]
Hola hola Bienvenidos a mi canal en el
presente vídeo estudiaremos la
progresión geométrica
aprenderemos a calcular el enésimo
término a interpolar medios geométricos
y a calcular la suma de los n primeros
términos
iniciamos en primer lugar veamos la
parte teórica
progresión geométrica
una progresión geométrica es una
sucesión de números en la que cada
término se obtiene
multiplicando el anterior por un número
fijo que se llama razón de la progresión
Dicho de otro modo en una progresión
geométrica el cociente entre cada
término y el término anterior es una
constante r que se llama razón de la
progresión
veamos el ejemplo la progresión
26 18
54
esto continúa el primer término es 2
multiplicamos por 3 nos da 6 por 3 18
por 3 54 el número fijo es 3 a este
número se le conoce con el nombre de
razón la razón se obtiene de modo
general dividiendo cualquier término
entre el inmediato anterior por ejemplo
6 entre 2 es igual a 3 veamos otro
ejemplo
tenemos la progresión geométrica
1 2 4 8 16
esto continúa el primer término es 1
multiplicamos por 2 se obtiene 2 por 2 4
por 2 8 * 2 16 el número fijo o razón es
2 reiteramos la razón se obtiene
dividiendo cualquier término entre el
inmediato anterior por ejemplo
4 entre 2 es igual a 2
a término general o enésimo de una
progresión geométrica tenemos la fórmula
a subn es igual a sub 1 por r al
exponente n menos 1
a su Bene es el enésimo término o
término que ocupa el lugar n
a sub 1 es el primer término
n es el número de términos de la
progresión geométrica
r es la razón ejemplo
calcula el término que ocupa el lugar 6
en la progresión geométrica
26 18 54 esto continúa
escribimos la progresión geométrica 2 es
el primer término de manera general se
simboliza de esta manera el primer
término a sub 1 el segundo término a sub
2 continúa a su tres a su 4 de acuerdo
al ejemplo debemos calcular el término
que ocupa el lugar 6 escribimos a sub 6
viene a ser a su Bene el enésimo término
observamos el primer término
multiplicamos por 3 nos da 6 por 3 18
por 3
54
la razón o número fijo es igual a 3 para
poder utilizar la fórmula es necesario
identificar en el problema los datos que
requerimos para la fórmula
a su Bene viene a ser el enésimo término
en nuestro ejemplo a su 6 es la
incógnita a sub 1 es el primer término a
sub 1 es igual a 2
r es la razón la razón se obtiene
dividiendo cualquier término entre el
inmediato anterior
6 entre 2 es igual a tres r es igual a 3
el número de términos n es igual a 6
Ahora sí estos datos reemplazamos en la
fórmula
a su 6 es igual al primer término 2 por
la razón 3 elevado al exponente n menos
1 6 - 1 6 - 1 es igual a 5 operando 2 *
3 a la quinta se obtiene a su 6 es igual
a
486
respondemos la pregunta el término que
ocupa el lugar 6 en la progresión
geométrica es
486
B
interpolación de medios geométricos
se trata de calcular la razón para que
los términos a interpolar entre dos
números dados formen una progresión
geométrica
recordamos la fórmula para calcular el
enésimo término para interpolar debemos
despejar r es muy fácil
a sub 1 va dividiendo a a sub
1 va como radical eres igual a raíz de
índice n menos uno de a sub
1 ejemplo
interpola cuatro medios geométricos
entre 128 y 4
interpolar significa calcular o hallar
cuatro términos geométricos al cual
llamamos medios geométricos entre los
extremos
128 y 4
veintiocho viene a ser el primer término
a sub 1 aquí dejamos espacio para los
cuatro términos que vamos a interpolar
el último término a sub 6 es 4 viene a
ser a su Bene el enésimo término para
reemplazar en la fórmula identificamos
los datos r la razón es la incógnita n
el número de términos n es igual a 6
a suene el enésimo término en este caso
a sub 6 es igual a 4 a sub 1 el primer
término
128
reemplazando estos datos en la fórmula r
es igual raíz de índice n menos 1
seis menos uno a su Bene es el enésimo
término 4
a1 el primer término
128
6 - 1 es 5
simplificando cuarta en el numerador es
uno cuarta en el denominador cuarta de
128
32
r es igual a raíz quinta de 1 entre 32
Qué número multiplicado cinco veces nos
da 1 es 1 Qué número multiplicado cinco
veces nos da 32 es 2 la razón es igual a
un medio con esta razón vamos a generar
o hallar los cuatro medios geométricos
128 por un medio
multiplicar por un medio significa
dividir entre 2
128 entre 2 64 por un medio 32 por un
medio 16 por un medio 8 por un medio 4
entonces los cuatro medios geométricos
entre 128 y 4 son 64 32 16 y 8
se suma de los n primeros términos de
una progresión geométrica
la suma de los términos de una
progresión geométrica es igual al último
término por la razón menos el primero
dividido por la razón menos 1 ejemplo
calcula la suma de los primeros siete
términos de la progresión geométrica
36 12 24
tenemos la progresión geométrica
a su Bono estrés continuamos a sub 2 a
sub 3 a sub 4
a sub 7 el término que ocupa el lugar 7
viene a ser a su pene identificamos los
datos del problema de acuerdo a la
fórmula
la suma de los n primeros términos la
suma de los siete primeros términos ese
es un 7 es la incógnita
a su Bene el enésimo término en este
caso a sus siete aún no sabemos Cuánto
es el valor de asun 7 calculamos al
final
r la razón para calcular la razón
dividimos 6 entre 3 es igual a 2 El
primer término a sub 1 es igual a 3
Ahora sí calculamos el término que ocupa
el lugar 7 recordamos la fórmula del
enésimo término
reemplazando a sus siete es igual al
primer término a sub 1 3 por la razones
2 N menos 1
n 7 7 - 1 7 - 1 nos da 6 3 por 2 a la
sexta
operando se tiene a sus siete es igual a
192 Ahora sí estos datos vamos a
reemplazar en la fórmula suma de los
siete primeros términos es igual
al enésimo término a sus 7 192 por la
razón 2 - el primer término 3 entre eres
dos menos uno
operando se obtiene
la suma de los siete primeros términos
es igual a
381 les dejo una actividad de
aprendizaje con cinco preguntas para que
ustedes puedan resolver si tienen
cualquier dificultad por favor
escriban en la caja de comentarios
gracias por su preferencia
saludos de kirimat suscribanse a mi
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