Identidades Trigonométricas | Identidad Pitagórica | Identidades de Cofunciones |
Summary
TLDREn este vídeo, se exploran las identidades trigonométricas fundamentales, esenciales para el aprendizaje de matemáticas. Se explican las seis funciones trigonométricas básicas y se destacan tres: el seno, el coseno y la tangente. A partir de estas, se derivan las funciones recíprocas como la cossecante, secante y cotangente. Se profundiza en la relación entre estas funciones y el triángulo rectángulo, así como en las identidades trigonométricas derivadas de la tangente y la cotangente. Además, se introducen las identidades pitagóricas y se explican con detalle, utilizando el teorema de Pitágoras. Seguidamente, se presentan las identidades de funciones conjugadas, basadas en el círculo unitario, y se ejemplifican con ángulos comunes como 0°, 30°, 45° y 60°. El vídeo finaliza con una invitación a practicar estos conceptos a través de ejercicios y a explorar más temas en el canal.
Takeaways
- 📚 Aprender las principales identidades trigonométricas es fundamental para comprender las relaciones entre las funciones seno, coseno y tangente.
- 🔢 Las tres funciones trigonométricas principales son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan), y se derivan de las relaciones en un triángulo rectángulo.
- 👉 El seno de un ángulo es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa, mientras que el coseno es igual al cateto adyacente dividido por la hipotenusa.
- 🔄 La tangente es la relación entre el seno y el coseno de un ángulo, es decir, sen(x)/cos(x), y es la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
- ♻️ Las funciones cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot) son recíprocas del seno, coseno y tangente, respectivamente.
- 📐 La identidad trigonométrica fundamental se basa en la relación sen(x)/cos(x) = tan(x), que se deriva de la división del cateto opuesto por el cateto adyacente.
- 🔢 La identidad trigonométrica también se extiende a la relación entre la cotangente y su inversa, donde csc(x) = 1/sen(x) y sec(x) = 1/cos(x).
- 📐 La identidad pitagórica se basa en el teorema de Pitágoras, que relaciona la hipotenusa con los catetos de un triángulo rectángulo, y se expresa como sen²(x) + cos²(x) = 1.
- 🔄 Las identidades de con funciones, como sen(teta) = cos(90° - teta) y cos(teta) = sen(90° - teta), son útiles para entender las relaciones entre los ángulos en el primer cuadrante del círculo unitario.
- 📝 Las identidades trigonométricas son esenciales para resolver problemas y entender conceptos avanzados en trigonometría, como se ve en los ejercicios y aplicaciones prácticas.
Q & A
¿Cuáles son las tres funciones trigonométricas principales?
-Las tres funciones trigonométricas principales son el seno de x, el coseno de x y la tangente de x.
¿Cómo se definen las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo?
-En un triángulo rectángulo, el seno de x se define como el cateto opuesto dividido por la hipotenusa, el coseno de x como el cateto adyacente dividido por la hipotenusa y la tangente de x como el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente.
¿Qué son las funciones trigonométricas recíprocas y cuáles son ejemplos de estas?
-Las funciones trigonométricas recíprocas son aquellas que tienen una relación de inversión entre sí. Ejemplos de funciones recíprocas son la cosec ante (hipotenusa sobre cateto opuesto), la secante (hipotenusa sobre cateto adyacente) y la cotangente (cateto adyacente sobre cateto opuesto).
¿Cuál es la relación entre la tangente de x y la división del seno de x por el coseno de x?
-La tangente de x es igual a la división del seno de x por el coseno de x, es decir, tan(x) = sin(x) / cos(x).
¿Cómo se relaciona la cotangente de x con la tangente de x?
-La cotangente de x es igual a la inversa de la tangente de x, es decir, cot(x) = 1 / tan(x) o cot(x) = cos(x) / sin(x).
¿Qué es la identidad trigonométrica pitagórica y cómo se relaciona con el teorema de Pitágoras?
-La identidad trigonométrica pitagórica es una relación que se deriva del teorema de Pitágoras, estableciendo que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir, sin²(x) + cos²(x) = 1.
¿Qué son las identidades trigonométricas de con funciones y cómo se relacionan con los ángulos en el círculo unitario?
-Las identidades trigonométricas de con funciones son relaciones que se establecen en el círculo unitario y se relacionan con los ángulos en el primer cuadrante. Por ejemplo, el seno de un ángulo es igual al coseno del ángulo complementario a 90 grados, es decir, sin(x) = cos(90° - x).
¿Cuáles son las tres identidades pitagóricas que se pueden derivar de la identidad sin²(x) + cos²(x) = 1?
-Las tres identidades pitagóricas derivadas de la identidad sin²(x) + cos²(x) = 1 son: 1/sin²(x) = 1 + cot²(x), 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) y 1/cot²(x) = 1 + tan²(x).
¿Cómo se relacionan las identidades de con funciones con los valores de los senos y cosenos de ángulos específicos en el círculo unitario?
-Las identidades de con funciones relacionan los valores de los senos y cosenos de ángulos específicos en el círculo unitario, como por ejemplo, sin(30°) = cos(60°) y sin(45°) = cos(45°), basándose en que estos ángulos son complementarios.
¿Qué se debe recordar sobre la notación cuando se elevan funciones trigonométricas a un exponente?
-Cuando se elevan funciones trigonométricas a un exponente, es importante recordar que el exponente actúa solo sobre el seno o el coseno, no sobre la función completa. Por ejemplo, (sin(x))^2 se interpreta como el seno de x elevado al cuadrado, no como sin(x al cuadrado).
Outlines
📐 Introducción a las identidades trigonométricas
En este párrafo se introduce el tema de las identidades trigonométricas, destacando las funciones trigonométricas principales: seno, coseno y tangente, junto con sus funciones recíprocas: cosecante, secante y cotangente. A partir de un triángulo rectángulo, se explica cómo calcular estas funciones, y se menciona que la tangente de x es igual al seno de x sobre el coseno de x, mientras que la cotangente es el inverso de la tangente.
📏 Identidades trigonométricas pitagóricas
Este párrafo aborda las identidades trigonométricas pitagóricas. Se repasa el Teorema de Pitágoras y cómo se deriva la primera identidad pitagórica: seno cuadrado de a más coseno cuadrado de a es igual a 1. También se explican las confusiones comunes al elevar las funciones trigonométricas al cuadrado y la notación correcta para representar estas operaciones.
🧮 Otras identidades trigonométricas pitagóricas
Aquí se presentan dos identidades pitagóricas adicionales derivadas al dividir la identidad principal por el coseno cuadrado de a y el seno cuadrado de a, respectivamente. Se introducen las relaciones entre las funciones trigonométricas como la secante cuadrada, la tangente cuadrada y la cosecante cuadrada, enfatizando su utilidad en ejercicios futuros.
Mindmap
Keywords
💡Identidades trigonométricas
💡Seno
💡Coseno
💡Tangente
💡Cotangente
💡Identidad pitagórica
💡Funciones recíprocas
💡Círculo unitario
💡Identidad de conjunción
💡Teorema de Pitágoras
Highlights
Se van a aprender las principales identidades trigonométricas.
Se mencionan las seis funciones trigonométricas esenciales.
Se definen las tres funciones trigonométricas principales: seno, coseno y tangente.
Se explican las funciones recíprocas: cosec, secante y cotangente.
Se relacionan las funciones trigonométricas con los lados de un triángulo rectángulo.
Se introduce la identidad fundamental: seno(x)/coseno(x) = tangente(x).
Se demuestra la relación entre la cotangente y su inverso, la tangente.
Se recuerda el teorema de Pitágoras y su aplicación en trigonometría.
Se explica la identidad pitagórica: 1 = seno^2(x) + coseno^2(x).
Se derivan otras dos identidades pitagóricas relacionadas con secante y cotangente.
Se aclaran las confusiones sobre la aplicación de exponentes en funciones trigonométricas.
Se introducen las identidades de con funciones: seno(x) = coseno(90 - x).
Se relacionan los valores del seno y el coseno para ángulos específicos en el círculo unitario.
Se explican las identidades de con funciones para coseno y seno.
Se enfatiza la importancia de las identidades de con funciones en la formación académica.
Se invita a los espectadores a practicar estos conceptos con ejercicios.
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Transcripts
a continuación vamos a aprender las
principales identidades trigonométricas
que tenemos que tener bien guardadas y
que van a estar en el formulario que les
voy a estar dejando aquí abajo en la
descripción ahora previamente ya hemos
aprendido las seis funciones
trigonométricas esenciales y sabemos que
a partir de estas seis funciones
trigonométricas tenemos tres funciones
trigonométricas las cuales son las
principales siendo el seno de x el coste
no de xy la tangente de x y a partir de
estos tres podemos obtener la cossec
ante la secante y la cota en gente ahora
con respecto al triángulo rectángulo
podemos obtener estas seis funciones
trigonométricas en donde sabemos que el
seno de x va a ser igual al cateto
opuesto sobre la hipotenusa el coseno de
x va a ser igual al cateto adyacente
sobre la hipotenusa y la tangente de x
va a ser igual al cateto puesto sobre el
cateto adyacente ahora cómo sabemos que
la secc ante la co secante y la co
tangente son funciones recíprocas pues
básicamente podemos observar que la
constante de x va a ser igual a la
hipotenusa sobre el cátodo puesto la
secante de x es la hipotenusa sobre el
cateto adyacente y la co tangente va a
ser cateto adyacente sobre el cateto
puesto entonces en primer lugar la
primera identidad trigonométricas que
vamos a aprender va a ser en función de
la tangente y va a ser una identidad que
ya hemos aprendido anteriormente es
decir sabemos que el seno de x es igual
al catéter opuesto sobre la hipotenusa y
el coseno dx es igual al cateto
adyacente sobre la hipotenusa ahora
básicamente si hacemos la división entre
estas dos funciones trigonométricas
podemos observar que vamos a tener el
siguiente resultado y bueno a partir del
siguiente resultado podemos hacer la
multiplicación de externos por externos
e internos por internos y tendríamos el
siguiente resultado es decir el cateto
opuesto que multiplica la hipotenusa
sobre el cateto adyacente que multiplica
a la hipotenusa esta media que es
evidente observar que podemos cancelar
las hipotecas lo cual nos daría como
resultado que la división entre el seno
de x y el coseno de x va a ser igual a
el cateto puesto sobre el cateto
adyacente y si bien recordamos
básicamente esto va a ser igual a la
tangente de x de tal manera que esto nos
quiere decir que la tangente de x igual
al 0 de x sobre el seno de ahora tenemos
que recordar que la cota agente de x es
igual a 1 sobre la tangente de x
entonces lo que vamos a hacer es que
vamos a escribir el 1 en términos de una
fracción y vamos a sustituir la tangente
de x que ya sabemos que es igual al seno
de x sobre el coseno de x ahora
nuevamente vamos a hacer la
multiplicación de extremos por extremos
e internos por internos y podemos
observar que vamos a obtener como
resultado del coseno de x sobre el seno
de x de tal manera que con esto podemos
concluir que la cota agente de x va a
ser igual coseno de x sobre el seno de x
siendo claramente el inverso de la
tangente de x entonces básicamente
podemos observar que estas son las
primeras identidades trigonométricas que
tenemos que aprender ahora vamos a
aprender acerca de la identidad
trigonométricas pitagórica en donde
tenemos que recordar el teorema de
pitágoras que previamente ya hemos
aprendido en otro vídeo en donde tenemos
que a partir del siguiente triángulo
podemos sacar la hipotenusa a partir de
la suma del cuadrado de los catetos
entonces esta relación la vamos entre la
hipotenusa al cuadrado o básicamente
sobre ese elevado al cuadrado en donde
por leyes de exponentes podemos obtener
la siguiente expresión básicamente
podemos observar que se cuadradas sobre
ese cuadrada va a ser igual a la unidad
y al momento de tener a elevado al
cuadrado sobre ese elevado al cuadrado
pues podemos observar que esto lo
podemos escribir como toda la fracción
elevado al cuadrado y lo mismo pasa con
b sobre c elevado al cuadrado entonces a
continuación vamos a suponer que estamos
parados en el ángulo a de tal manera que
podemos hacer la siguiente relación
ahora podemos observar que el cateto
opuesto el cual está lo podemos
sustituir por acá por el cateto opuesto
nuevamente ya sabemos que se era la
hipotenusa entonces ponemos la
hipotenusa finalmente podemos observar
que el lado b va a ser el cateto
adyacente el también que tenemos la
siguiente relación ahora qué es lo que
tenemos que aprender pues de éste es muy
sencillo podemos observar que el seno de
a es el cateto opuesto sobre la
hipotenusa y el coste en área es igual
al cateto adyacente sobre la hipotenusa
de tal manera que podemos hacer una
sustitución y no vamos a tener uno va a
ser igual al seno de a elevado al
cuadrado más el coseno de a elevado al
cuadrado y finalmente vamos a obtener la
siguiente relación en donde uno va a ser
igual al seno cuadrado de además el
coseno cuadrado de ahora básicamente acá
siempre existe un tipo de confusión y es
lo que vamos a aclarar cuando le damos
una función trigonométricas a un cierto
exponente existe una confusión acerca de
cuál es la operación correcta es decir
solemos confundirnos en sí el exponente
está operando únicamente al término o si
está operando a toda la función es por
ello que se decide la siguiente
anotación que en vez de tener todo el
seno de a elevado al cuadrado lo vamos a
escribir como el seno cuadrado de a
básicamente aquí estamos haciendo el
cuadrado del seno de a siendo la
operación correcta y la manera correcta
en la cual lo vamos a escribir ahora a
continuación esta es la primera
identidad pitagórica que tenemos que
aprender sin embargo podemos aprender
muchísimas más es decir sabemos que
tenemos 1 es igual al seno cuadrado de a
más no cuadrado de ahora si esta
relación la dividimos sobre el coseno
cuadrado de a tenemos que utilizar las
siguientes funciones trigonométricas si
recordamos la secante de a va a ser
igual a 1 sobre el coseno dea y la
tangente de a es el seno de a sobre el
coste no de am de tal manera que lo
mismo funciona con la siguiente
identidad trigonométricas es decir si
tenemos 1 sobre el coste no cuadrado de
a pues esto no va a ser más que la
secante cuadrada de a y como acá tenemos
el seno cuadrado de a sobre el coseno
cuadrado de a pues esto no es más que la
tangente cuadrada de a y finalmente como
tenemos el coste no cuadrado de a sobre
el coste no cuadrado de a esto va a ser
igual a 1 de tal manera que acá tenemos
una segunda identidad pitagórica y
finalmente vamos a obtener nuestra
tercera identidad pitagórica cuando
dividimos la siguiente relación sobre el
seno cuadrado de a
entonces tenemos que recordar que la
cose cantería es igual a 1 sobre el seno
de a y la cota en gente vea es igual al
coste no vea sobre el seno de a entonces
podemos observar que uno sobre el seno
cuadrado de a va a ser igual a la co
secante cuadrada de a el cual va a ser
igual a 1 porque el seno cuadrado de a
sobre el seno cuadrado de a va a ser
igual a la unidad más la cota en gente
cuadrada de a debido a que el coste no
cuadrado de a sobre el seno cuadrado de
a va a ser igual a la cota en gente
cuadrada de a de tal manera que podemos
observar las siguientes tres identidades
pitagóricas las cuales son de mucha
ayuda y las cuales vamos a estar
utilizando en los siguientes ejercicios
con el fin de que ustedes aprendan a
utilizarla
ahora de igual manera acá bajito en la
cajita de descripción les está dejando
el formulario donde puedan encontrar
estas identidades pitagórica sin embargo
a continuación vamos a aprender las
identidades de con funciones en donde
básicamente vamos a aprender más
identidades las cuales ustedes van a
estar utilizando bastante en su
formación académica
bueno para explicar estas identidades
tenemos que regresar a nuestro confiable
círculo unitario en donde podemos
observar el primer cuadrante en donde
los valores de xy ye son los mismos
embargo están al revés es decir podemos
observar que tenemos los ceros en donde
tenemos que el seno de 0 va a ser igual
a cero y el coseno de 90 va a ser igual
a 0 ahora a continuación lo mismo pasa
con los con medios es decir el seno de
30 grados es igual a un medio y podemos
observar que el coseno de 60 nuevamente
es igual a ese medio ahora a
continuación el seno de 45 es igual a la
raíz de 2 sobre 2 y podemos observar que
el coste no de 45 es igual a la raíz de
2 sobre 2 como previamente lo hemos
aprendido sin embargo en ese entonces
estábamos aprendiendo a realizar o
aprender el círculo unitario a
continuación a partir de esta relación
tenemos una identidad llamada identidad
de con funciones la cual nos dice que el
seno de teta va a ser igual al coseno de
90 grados menos teta básicamente a
partir de esta relación podemos observar
que si tenemos el seno de 0 pues
claramente éste va a ser igual a 90
menos 0 y prácticamente esto evidencia
la primera relación en donde el seno de
0 va a ser igual al coseno de 90 grados
ahora sí tenemos el seno de 30 grados
podemos observar que acá tenemos 90
menos 30 lo cual evidencia la segunda
relación que tenemos acá en donde el
seno de 30 grados va a ser igual al
coseno de 60 grados y finalmente si
tenemos acá el seno de 45 grados
tendríamos 90 menos 45 cuyos resultados
serían 45 y entonces tenemos la tercera
relación en donde el seno de 45 grados
va a ser igual al coseno de 45 grados y
bueno es importante señalar que a partir
de esta identidad de conjunción tenemos
las siguientes identidades es decir
básicamente que tenemos que el seno de
teta es igual al coseno de 90 grados
menos teta entonces podemos observar que
a partir de esta relación tenemos la
siguiente relación en donde tenemos que
el coste no de teta va a ser igual al
seno de 90 grados menos teta siendo una
segunda relación que tenemos que
aprender entonces a partir de la primera
relación que hemos aprendido podemos
calcular la segunda y a partir
nuevamente de la primera podemos la
tercera sin embargo son identidades que
muy pocas veces vamos a estar utilizando
sin embargo siempre vamos a estar
utilizando las primeras identidades en
donde el seno del teta va a ser igual al
coseno de 90 menos teta y el coste no de
teta va a ser igual al seno de 90 menos
teta siendo estas primeras identidades
las que vamos a estar utilizando con más
frecuencia las otras no tanto porque
básicamente todo parte de la primera
identidad sin embargo como previamente
les he mencionado estas identidades van
a estar en el formulario que les estaba
dejando acá bajito en la descripción y
bueno mis autodidactas eso sería todo
por el vídeo del día de hoy espero que
les haya gustado y les haya servido
básicamente a continuación vamos a hacer
una ronda de ejercicios en donde ustedes
pueden poner a prueba estos
conocimientos y recuerden que en la
lista de reproducción pueden encontrar
diferentes temas que pueden ser de su
interés no olviden suscribirse al canal
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vemos en un nuevo vídeo
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