Autovalores y Autovectores: Definición.
Summary
TLDREl guion trata sobre la transformación lineal en el espacio vectorial, enfocándose en los operadores lineales y cómo la imagen de un vector bajo una transformación lineal puede ser paralela al propio vector. Se discute la importancia de los valores característicos (autovalores) y los vectores característicos (autovectores), y cómo estos son cruciales para determinar si la imagen de un vector sigue perteneciendo al espacio original tras la transformación. Se explica el proceso de cálculo de los autovalores y autovectores a través de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales y el uso del polinomio característico. Además, se mencionan propiedades de los autovalores y autovectores, como su relación con matrices simétricas y su comportamiento ante operaciones de escalar.
Takeaways
- 🔍 La transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas, donde se estudian las operaciones que preservan la estructura del espacio vectorial.
- 📏 Un vector b y su imagen tras una transformación lineal pueden ser paralelos, lo que sugiere una relación directa y proporcional entre ellos.
- 🎯 Los valores característicos (autovalores) y los vectores característicos son herramientas esenciales para analizar las propiedades de una transformación lineal dada por una matriz.
- 🧩 La matriz de una transformación lineal, cuando se multiplica por un vector, puede resultar en un vector paralelo al original, lo que define la relación entre ambos.
- 🔢 Los valores característicos son escalares que, al multiplicar un vector no nulo, producen un vector paralelo al original, y son cruciales para entender la estabilidad y las propiedades de la transformación.
- 📉 El polinomio característico es una herramienta matemática utilizada para encontrar los valores característicos de una matriz, y es fundamental en el análisis de sistemas lineales.
- 🔍 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que surgen al igualar a cero la matriz de coeficientes menos los valores característicos, permite encontrar los vectores característicos.
- 📏 Los vectores característicos no triviales son aquellos que, al ser transformados, siguen perteneciendo al espacio generado por ellos mismos, lo que indica estabilidad en la transformación.
- 🔄 La matriz identidad juega un papel crucial en la definición de los valores característicos, ya que se utiliza para formar la matriz que, al igualar su determinante a cero, permite encontrar los valores característicos.
- 📊 Las propiedades de los valores propios, como su relación con la traza de la matriz y su comportamiento ante operaciones de escalar, son importantes para entender el comportamiento de las transformaciones lineales.
Q & A
¿Qué sucede cuando una transformación lineal aplicada a un vector resulta en un vector paralelo al original?
-Cuando una transformación lineal, representada por una matriz, aplica a un vector y el resultado es paralelo al vector original, esto indica que el vector es un vector característico y la transformación lo estira o comprime a lo largo de la misma línea, manteniendo su dirección pero cambiando su magnitud.
¿Qué es un valor característico en el contexto de las transformaciones lineales?
-Un valor característico, también conocido como autovalor, es un escalar que multiplica un vector del dominio de una transformación lineal para obtener un vector imagen paralelo al vector original. Esto se denota como \( Av = \lambda v \), donde \( A \) es la matriz de la transformación, \( v \) es el vector característico y \( \lambda \) es el valor característico.
¿Cómo se determina si un vector es un vector característico de una matriz dada?
-Para determinar si un vector es un vector característico de una matriz, se debe verificar si la imagen de ese vector bajo la transformación lineal es paralela al propio vector. Esto se hace aplicando la transformación y comprobando si el resultado es un escalar múltiplo del vector original.
¿Qué es la ecuación característica y cómo se relaciona con los valores característicos?
-La ecuación característica es una ecuación que se obtiene al igualar a cero el determinante de la matriz de una transformación lineal menos un escalar por la matriz identidad del mismo orden. Este escalar es el valor característico. La ecuación característica ayuda a encontrar los valores característicos de una matriz.
¿Cómo se calculan los valores característicos de una matriz?
-Los valores característicos de una matriz se calculan resolviendo la ecuación característica, que es un polinomio en el valor característico. Se expande el determinante de la matriz menos el valor característico multiplicado por la matriz identidad, y se establece la igualdad a cero para encontrar las raíces del polinomio, que son los valores característicos.
¿Qué es un autoespacio y cómo se relaciona con los vectores característicos?
-Un autoespacio es el conjunto de todos los vectores característicos asociados a un mismo valor característico de una matriz. Es el subespacio del espacio vectorial que se mantiene invariante bajo la transformación lineal asociada a la matriz.
¿Qué implica que los vectores propios de una matriz simétrica sean ortogonales?
-Si los vectores propios de una matriz simétrica son ortogonales, significa que cualquier par de vectores propios correspondientes a autovalores distintos son vectores que se cortan a ángulo recto. Esta propiedad es útil en problemas de minimización y en la diagonalización de matrices.
¿Cómo se relaciona la traza de una matriz con sus valores característicos?
-La traza de una matriz, que es la suma de los elementos de su diagonal principal, es igual a la suma de sus valores característicos. Esta relación es importante porque permite calcular la traza a partir de los autovalores o viceversa.
¿Qué sucede con los valores característicos y los vectores característicos si se multiplica una matriz por una constante?
-Si se multiplica una matriz por una constante, los valores característicos se multiplican por esa constante, pero los vectores característicos permanecen iguales. Esto se debe a que la transformación es una simple escalación de la matriz original.
¿Cómo se determina si un sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales?
-Un sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales si su determinante es cero, lo que indica que los vectores de la matriz del sistema son linealmente dependientes y, por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, incluidas las soluciones no triviales.
Outlines
🔍 Análisis de Transformaciones Lineales y Vectores Característicos
Este párrafo explica cómo las transformaciones lineales pueden afectar a los vectores en el espacio vectorial. Se enfatiza la importancia de los vectores que, tras ser transformados, siguen estando paralelos al vector original. Se introduce el concepto de valores característicos (lambda), que son escalares por los cuales se multiplica un vector para obtener su imagen tras la transformación. Además, se describe el análisis de casos particulares donde las imágenes de los vectores tras la transformación siguen estando en el mismo subespacio generado por el vector original, lo cual es un punto de interés en el estudio de operadores lineales.
📏 Multiplicación Matricial y Sistemas Homogéneos
Se discute cómo la multiplicación de una matriz por un vector puede expresarse en términos de una ecuación matricial, y cómo el lambda (escalar) interactúa con la matriz identidad para producir una ecuación que representa un sistema de ecuaciones lineales. Se explica que el objetivo es encontrar vectores no nulos (vectores característicos) que, al ser transformados, siguen estando en el subespacio generado por el vector original. Se menciona que los sistemas homogéneos siempre tienen al menos una solución trivial (el vector nulo), pero se busca soluciones no triviales, es decir, vectores no nulos que cumplan con la ecuación de la transformación lineal.
🔢 Determinantes y Cálculo de Autovalores
En este apartado, se describe el proceso para calcular los autovalores y autovectores de una transformación lineal. Se menciona que se debe formar una matriz a partir de la resta de la matriz de la transformación y la matriz identidad multiplicada por lambda, y luego calcular el determinante de esta matriz. Los valores de lambda que hacen que el determinante sea cero son los autovalores de la matriz. Se enfatiza la importancia de este polinomio característico, que es una ecuación en lambda, cuyo grado corresponde a la dimensión del espacio vectorial sobre el cual se está trabajando.
🔍 Resolución de Sistemas Lineales para Encontrar Autovectores
Se explica cómo, una vez encontrados los autovalores, se procede a resolver los sistemas lineales asociados para encontrar los autovectores correspondientes. Se describe el proceso de sustitución de los autovalores en la matriz principal y resolver el sistema resultante para obtener los componentes del autovector. Se menciona que los autovectores son vectores no nulos que, tras la transformación, siguen estando en el subespacio generado por el mismo, y que estos son paralelos a la imagen del vector original.
🔄 Propiedades de los Autovalores y Autovectores
Este párrafo explora varias propiedades de los autovalores y autovectores. Se menciona que los autovalores de una matriz simétrica son siempre reales, que los autovalores de una matriz son los recíprocos de los autovalores de su matriz inversa, y que si un autovalor es cero, su autovector correspondiente es el vector nulo. Además, se destaca que los autovalores de una matriz triangular o diagonal son los elementos de su diagonal principal, lo que facilita los cálculos. Se concluye con la propiedad de que los vectores propios de una matriz simétrica son ortogonales entre sí.
📐 Aplicación del Concepto de Semejanza en Transformaciones Lineales
Finalmente, se aplica el concepto de semejanza para transformar matrices de transformaciones en matrices diagonales, que son más fáciles de manejar en los cálculos. Se discuten propiedades adicionales como la suma de los autovalores igual a la traza de la matriz y el efecto de multiplicar una matriz por una constante en sus autovalores. Se enfatiza que los vectores propios de una matriz diagonal son los mismos que los de la matriz original, pero los autovalores son los elementos de la diagonal principal.
Mindmap
Keywords
💡Transformación lineal
💡Operador lineal
💡Vector característico
💡Valor característico
💡Matriz de transformación
💡Espacios propios
💡Determinante
💡Polinomio característico
💡Matriz simétrica
💡Traza de una matriz
Highlights
La transformación lineal y la imagen del vector b son paralelas si la transformación por un escalar lambda los relaciona.
Los vectores característicos son aquellos que mantienen su dirección tras la transformación lineal.
El valor característico lambda es el escalar que multiplica el vector original para obtener su imagen tras la transformación.
Las imágenes de los vectores bajo una transformación lineal siguen perteneciendo al espacio vectorial del cual son parte.
El interés particular radica en los vectores cuya imagen tras la transformación es paralela al propio vector original.
El valor característico lambda y el vector característico son fundamentales para el análisis de transformaciones lineales.
La matriz de transformación, cuando multiplicada por un vector, puede resultar en un vector paralelo al original si existe un valor característico adecuado.
El cálculo de los valores característicos y vectores característicos comienza con la definición de la ecuación lineal asociada.
La matriz identidad es utilizada para formar la ecuación matricial que relaciona la matriz de transformación con el vector característico.
El determinante de la matriz resultante de la operación A - λI es clave para encontrar los valores característicos.
Un sistema homogéneo de ecuaciones representa la relación entre la matriz de transformación y los vectores característicos.
Los valores característicos son aquellos que hacen que el determinante de la matriz sea cero, indicando la existencia de soluciones no triviales.
El polinomio característico es una herramienta para encontrar los valores característicos de una matriz.
Las raíces del polinomio característico son los valores característicos que permiten la existencia de vectores característicos no nulos.
Cada valor característico corresponde a un vector característico que satisface la relación de transformación lineal.
Los autovalores y autovectores son fundamentales en el análisis de la estabilidad y las propiedades de las transformaciones lineales.
Las propiedades de los valores propios y vectores propios de una matriz simétrica son discutidas, incluyendo su relación con la matriz inversa y la ortogonalidad de los vectores propios.
Los valores propios de una matriz triangular o diagonal son los elementos de su diagonal principal, lo que facilita su identificación y cálculo.
Transcripts
en el caso particular en el cual la
transformación por ejemplo en este caso
f aplicada a mi vector b es igual al
producto de un escalar por el vector
qué quiere decir esto que la
transformación y la imagen de mi
transformación que pertenecen a nuestras
trayectorias porque estamos hablando de
operadores lineales son paralelas
son paralelas lambda es un escalar que
puede encontrarla o invertir en el
sentido o extenderla etcétera pero estoy
hablando de que la transformación o la
imagen de la transformación y el vector
b son paralelos entre sí
entonces estamos hablando o sea hemos
haciendo análisis de transformaciones de
tipo operadores lineales lo importante
es que acá no estoy de rn rené sino que
estoy en el mismo espacio victoria
las imágenes de mis vectores como les
aplicó esta transformación lineal siguen
perteneciendo la espacio vectorial vez
y me interesa el caso particular en el
que esas imágenes sean paralelas al
vector b
ya que tenemos por ejemplo
[Música]
vector el vector amarillo es el vector
al que le aplicó la transformación que
tengo acá
la matriz de la transformación 3 0 1 2
fíjense el vector amarillo
genera este sub espacio que está
representado por la línea rosada
perdón electro amarillo genere su
espacio representado por la línea rosada
al aplicarle este operador lineal es
decir al pre multiplicar la matriz 3 012
por mi vector amarillo
obtengo la imagen de
transformación y la imagen
es un vector que no pertenece al sub
espacio que generaba el vector amarillo
que quiere decir que no es paralelo al
ahli
vector amarillo se entiende
estaba sobre la línea rosada luego de
aplicarle la transformación
se mueve de ese sube espacio es decir no
es paralelo a mí me interesa
particularmente el caso en el que si
luego de aplicar la transformación el
vector sigue perteneciendo al su espacio
originalmente
en este caso
yo voy a definir a este número lambda
como valores característicos y voy a
decir que ese vector ve distinto de 0
tal que al aplicar la transformación
lineal la imagen
paralela al 9 héctor de ese vector es un
vector característico de mi matriz a
punto vector o en jaén sector significa
todo lo mismo y lambda que es el número
por el cual yo tendría que multiplicar a
mi sector b para obtener su imagen es lo
que se conoce como valor característico
o auto valor o el valor de mi
transformación y ya vamos a ver por qué
nos interesa determinar para qué tipo de
vectores ocurre esto y para qué y cuáles
serían estos auto valores asociados
pero lo que quería era que para una
transformación lineal como la que
tenemos en el ejemplo
pueden existir
algunos vectores vitales que su
transformación siga siendo paralela al
vector d
bien entonces defino a este número real
lambda como el valor característico de
la matriz y determinó si existen estos
vectores que se conocen como vectores
característicos
como hago para calcular los auto valores
y los auto vectores de una
transformación lineal ahora siempre que
digo transformación lineal hablo de
operadores y ya es la matriz de mi
transformación
yo digo que por definición el producto
de a por este vector b
es igual o debería ser igual al anbaa
por el vector b pero para que esto pueda
ser expresado como una ecuación
matricial
este lambda debe estar multiplicado por
la matriz identidad para que para que
cuando yo haga el producto
de lambda por vez obtenga lo mismo que
cuando hago el producto de una matriz
adn por n por ver
y multiplicar por la matriz identidad
recordemos es lo mismo que multiplicar
por 1 la matriz identidad por supuesto
debe ser del mismo orden de la matriz y
se caracteriza por tener
diagonal iguales
cuando yo multiplico el miembro derecho
de la ecuación por la matriz identidad
puedo
restar miembro miembro menos landa por
la matriz identidad por b yo obtengo la
siguiente ecuación y a esta ecuación
podrías factorizar la cuando esta cosa
director ve lo que obtengo dentro del
paréntesis es nada más y nada menos que
una matriz en la cual a los elementos de
la diagonal denimatrix les restó
qué pasa con esta expresión que yo
obtuve acá a menos landázuri
el vector b 0 representa un sistema
homogéneo de ecuación
tengo en ecuaciones viene incógnitas
porque mi matriz a es cuadrada porque mi
matriz ha descuadrado porque estoy
hablando de operadores lineales del
mismo espacio vectorial
alrededor en r2 r3 en r3 existen
entonces la matriz de esta
transformación por supuesto que va a ser
cuadrada
esto que está entre paréntesis es una
matriz cuadrada representa
los coeficientes de un sistema de
ecuaciones con el incógnita las
incógnitas son los componentes del
vector b
y el sistema es homogéneo porque los
términos independientes están igualados
así
yo quisiera cuando quiero calcular los
auto vectores y los auto valores de a
quiero encontrar las soluciones de este
sistema es decir quiero calcular este
vector d
para eso tengo que recordar que los
sistemas homogéneos siempre tenían
solución siempre eran compatibles
tenemos la solución sencilla que
la solución trivial es decir cuando los
componentes de b son iguales a 0 pero no
quiero eso quiero saber si existen
soluciones distintas a la trivial quiero
saber si hay un vector cuyas componentes
sean distintas de 0 es decir ver un
vector no nulo como lo dice
misión que pueda ser mi vector
característico de mi trabajo
son lineal
como hago cuando un sistema homogéneo
cuadrado tenía soluciones distintas a la
solución trivial
cuando los vectores fila o columna de la
matriz principal eran linealmente
dependientes entre sí
y para saber que existían unas
soluciones distintas a la solución
trivial yo podía calcular el
determinante de la matriz principal y si
ese determinante era igual a cero
significaba que sus vectores n
linealmente dependientes es decir que
tenía el sistema infinitas producciones
entre ellas tenía la solución trivial
programas existiendo infinitas
soluciones distintas
entonces si yo quiero calcular mis
soluciones es decir nivel torbes que no
son cero lo que quiero es que el
determinante de esta matriz principal
sea igual a cero
y yo busco aquellos valores de lambda
que hacen que este determinante sea
igual a cero estoy garantizando que
exista un vector ve que sea conducción
de ese sistema homogéneo es decir que
exista un vector b cuya imagen
en un factor de cuánto de lambda
ustedes tienen que pensar en el objetivo
que estamos buscando quiero encontrar
para una transformación cualquiera mi
transformación
representada por la matriz a quiero
saber si esta transformación tiene un
vector característico y un valor
característico o quiero determinar sus
auto vectores y sus auto valores ya
vamos a ver al final de la clase porque
el objetivo es este
ese vector y ese valor existen
esta ecuación que estoy señalando acá se
debe cumplir porque por definición lo
que quiero es esto ve y lambda
de espejo esta ecuación y obtengo entre
paréntesis una matriz ya vamos a ver un
ejemplo pero esto que está acá es una
matriz
y ve es mi auto vector y cuando yo miro
la ecuación que obtuve me doy cuenta de
que es un sistema de ecuaciones
homogéneo
en ecuaciones y en incógnitas n es el
orden de mi matriz y también es el orden
de mi matriz identidad cuando yo a
vuestra resta de matrices
tengo una matriz de n por n
qué multiplicada por mi doctor me
igualada a cero me representa a este
sistema de ecuaciones al que hago
referencia
y digo yo quiero encontrar ese vector b
y esos valores landa pero quiero
encontrar ese vector b que no sea el
vector nulo porque el vector nulo o la
solución trivial siempre solución de
este sistema yo quiero encontrar los
otros valores del vector b que no son el
vector nulo porque
es lo que a mí me interesa como hacía
para saber cuando un sistema homogéneo
tenía solución distinta la solución
trivial pues la matriz principal tenía
que tener vectores linealmente
dependientes por su determinante tenía
que ser igual que 0 estos puntos
sinónimos lo hemos estado viendo a lo
largo del año si no lo recuerdan
repasen los
pero entonces mi objetivo es encontrar
el vector b para que el vector b sea
distinto el vector nulo el determinante
de la matriz principal de mi sistema que
es esto que está entre paréntesis
debe ser igual a cero hasta ahí estamos
de acuerdo
esto debe ser así para que exista y sea
distinto del vector
entonces
esos valores de lambda que me hagan este
determinante igual a 0 son los que a mí
me interesan y son los auto valores de
mi transformación de nieve voy a
calcular entonces
1 jn en realidad una ecuación cuando
haga este determinante igual a 0 que
ahora lo vamos a ver en el ejemplo para
que deje de ser tan abstracto a la que
voy a llamar polinomio
místico ecuación característica iba a
ser un polinomio en lambda
entonces
como hago para calcular los valores y
vectores característicos de mí
operador lineal o de mi transformación
lineal lo primero que tengo que hacer o
el paso 1 es determinar ese polinomio en
el abdi polinomio característico
como hago el determinante de la matriz
que obtengo cuando restó a la matriz a
lambda por una matriz identidad del
mismo orden
y luego tengo que saber qué valores de
lambda hacen a ese determinante
igual a 0 es decir que estoy si lo tuve
un polinomio en lambda y quiero saber
los valores de la muda que lo igualan a
0 lo que estoy tratando de terminar con
las raíces de mi polinomio todos
aquellos valores de lambda que sean
raíces de mi polinomio son los auto
valores de mi función porque son lo que
hacen es determinante igual a 0 por lo
tanto me van a dar soluciones distintas
a la trivial
y luego de calcular estas raíces del
polinomio que van a ser mis auto valores
tengo que determinar para cada uno de
estos auto valores
el valor del vector b y eso lo vamos a
hacer resolviendo
con un ejemplo
el cálculo es muy sencillo
pero entonces yo quiero hallar auto
balones y auto vectores de mi matriz a
mi matriz a es la matriz de una de un
operador lineal
para eso el paso 1 decía que tengo que
buscar el polinomio característico que
era un polinomio en lambda
entonces ese polinomio lo voy a calcular
haciendo el determinante de a menos
lambda por
lo primero que voy a hacer es calcular
mi madre' principal oa menos landa por y
en este caso a es de 2 x 2
esto habla de una transformación de reos
en alrededor
mi materia - lambda que son los auto
valores que estoy buscando por una
matriz identidad de orden 2 me va a dar
una matriz principal cual 3 - lambda
menos 12 menos lambda
esta es la matriz principal de mi
sistema de ecuaciones y yo quiero que el
determinante de esta matriz
igual a 0 para eso tengo que calcular el
determinante de esta matriz en este caso
es una matriz de 2 por 2 o determinante
el elemento a 11 es decir
3 - lambda
el elemento
22 - lambda menos el producto de los
elementos de la contra diagonal en este
caso
+ 2 x menos 1 - 2 es decir mi polinomio
que
3 - blanda por menos lambda + 2
resuelvo este paréntesis y obtengo 3 por
menos lambda menos 3 lambda menos landa
por - hablando más lambda cuadrado más 2
y mi polinomio en la banda me queda como
bueno acabe con él
a cuadrados lo tienen acá abajo el
polinomio
landa al cuadrado menos 3 lambda más dos
ven que me queda un polinomio en lambda
el grado del polinomio va a ser igual
fíjense
a la dimensión de mí
del espacio vectorial sobre el cual
estoy trabajando en este paso de
alrededor en un polinomio de grado 2
y los auto valores de transformación
lineal son las raíces de este polinomio
porque es lo que hace que el
determinante sea igual a cero
tendré tantos auto valores como la
dimensión de mi espacio vectorial en
este caso tengo dos raíces porque tengo
un polinomio 2
bajando en el río
entonces el paso 1 la determinación del
polinomio característico en lambda
el paso 2 la determinación de las raíces
de mi polinomio que puede pasar para un
polinomio de grado 2 en este caso yo
tengo que tener dos raíces estas raíces
pueden ser
iguales
y reales reales distintas
complejas y distintas complejas e
iguales
lo que quiero decir es que podemos tener
el caso de calcular auto valores en el
cual los mismos sean complejos
para el ejemplo entonces voy a buscar
las raíces del polinomio grados
la raíz del polinomio grados les calculó
con máscara y de esta manera obtengo
holanda un 92 lando 2 igual a menos 1 en
este caso dos raíces reales y distintas
tengo
2
auto valores para mi transformación
lineal
los auto valores son landa 1 y el ámbar
para cada uno de esos auto valores
yo voy a encontrar el auto vector
asociado es decir el vector b que yo
buscaba
que era aquel fíjense acá tengo
la matriz principal de mi sistema voy a
trabajar para el caso de el primero de
los autos valores que era 2 o la primera
de las raíces en mi polinomio
característico que era 2 entonces cuando
la amba vale 2 la matriz principal de mi
sistema homogéneo me queda 3 - 2 y a
trabajo menos 2 es decir 1 - 1
2 - 2
vuelvo a escribir mi sistema de
ecuaciones y lo que a mí me interesa
digo yo encontré el auto valor quiero
encontró el auto vector asociado a ese
auto valor en el que los componentes x1
y x2 o las soluciones distintas de cero
de este sistema mod
vuelvo a constituir las las ecuaciones y
acá tengo qué
el resultado de este sistema es que x1
es igual a menos 2
y tejidos es menos
por supuesto tengo infinitas soluciones
no voy a tener una solución determinada
porque lo que yo estaba buscando era
tener infinitas soluciones pero tener
una solución
como expresaba esas soluciones
en el sistema de ecuaciones decía bueno
mi director ve asociado al auto valor
lambda 1 entonces será x 1 x 2 x 1 menos
un medio de x 1
paramétrico ese valor de variable x 1 y
2 y x1
y auto vector asociado hablando uno es
por 1 - un medio es decir esto que está
acá
es el vector asociado
y te puede variar desde menos infinito o
más
que encontré encontré un valor o un
vector de mi dominio para el cual la
imagen
ese vector es paralela a este vector
pero es decir la imagen sigue
perteneciendo al sub espacio que genera
el texto
es un espacio que genera este vector
egg stand expresado
por eso héctor para cualquier valor de
té seguir estando sobre la línea rosada
de la que partimos en la imagen cuando
entonces explica limpia
uno es este vector amarillo
tal que al multiplicarlo por cualquier
cosa
sigue perteneciendo luego de aplicar la
transformación lineal sigue
perteneciendo a esta línea rosada que
estuve espacios de legrado
en esa línea rosada no es otra cosa que
un aporte cuando te vale 1 el vector es
igual a lamadrid cuando te vale menos 1
el vector estará en sentido opuesto para
acá
encontré al auto valor y encontré al
auto vector es decir encontré un vector
de mi dominio tanque al aplicarle la
transformación lineal lo que obtengo
como imagen que esto es lo que debería
estar de este lado del igual
es el mismo vector x landon entiende
estos valores de t me van a dar
distintos puntos en la línea rosada pero
yo demostré que para ésta
transformación en particular
por 1 es igual al anda uno por uno
hablando uno vale 2
sin embargo este té por uno me genera un
espacio victoria espacio victoria que
tiene una dimensión menos que agarre 2
en este caso tiene una dimensión
a ese espacio se lo conoce como auto
espacio asociado a la cndh a uno también
y el paso número 3
para el andado entonces calculé los
lambda para cada uno de los lambda debo
encontrar los auto vectores o los autos
espacios asociados en el caso del
andador vuelvo a repetir lo que hice
recién acá voy a tener otra matriz
principal porque la han dado vale 1
en este caso el auto vector es menos 11
vendría a ser 2 y acá tengo lo mismo
por menos 11 sería el auto espacio
asociado al hamburgo
entonces
tienes una matriz de orden n por en las
siguientes proposiciones son
equivalentes lambda va a ser un auto
valor de a este sistema de ecuaciones
que es el sistema homogéneo fíjense
atrás espectrito al revés pero es lo
mismo que acabamos de hacer
tiene soluciones no triviales en
distintas de 0 hilando es un auto valor
existe
determinante distinto de cero por lo
tanto existe el auto vector existirá un
vector x diferente 0 en rn tal que por x
sea igual al anda por x lo mismo que
acabo de escribir a por uno es igual a
landa uno por uno
perdón
y lambda es una solución de la ecuación
característica que obtengo para el
determinante de la banda por y menos a
igual
todo esto lo acabamos de ver recién no
debería tener nueve dientes en los
puntos
cada vector o grupo de vectores lo que
les decía recién el 1 y el 2 o sus tres
espacios asociados correspondientes a
cada valor de lambda constituye el auto
espacio de dicho valor propio
como un resumen
estuvimos viendo 3
propiedades de los auto valores y de los
auto vectores
una matriz simétrica tienen todos sus
valores reales
tiene todos los valores propios reales
acá porque van a ver cuando estudian el
apunte bueno me resuelven ustedes el
ejemplo en el que tienen un auto valores
que son números complejos
que les quede bien claro el tema y
después bueno resolviendo ejercicios por
supuesto que también se los van a
encontrar pero
cuando la matriz simétrica sus valores
propios son reales que es el caso en el
que estudio
los recién nacidos
los valores propios de una matriz
son los recíprocos de los valores
propios de su matriz inversa
cuando un valor propio es cero el vector
propio correspondiente es el vector nulo
sin
a los valores propios de una matriz son
iguales a los de su matriz transpuestas
la propia número 5 que estaba remarca en
negrita no se nota mucho pero me
interesa
y esto que le prestemos atención los
valores propios de una matriz triangular
o diagonal son los elementos de la
diagonal principal qué quiere decir esto
que sea la matriz de mi transformación
fuera una matriz diagonal
significa que todos los elementos
distintos a los elementos de la diagonal
principal son iguales a 0
es un elemento de la diagonal principal
son todos los auto valores de mi madre
y recién yo les decía que a mí me
interesa mucho
trabajar con matrices de las
transformaciones que me faciliten los
cálculos y una matriz diagonal es una
matriz que está llena de
pero salvo en la diagonal principal es
una matriz que facilita mucho los
cálculos entonces acá vamos a aplicar el
concepto de semejanza que vimos en
transformaciones lineales
últimas tres propiedades la suma de los
valores propios de una matriz es igual a
la traza de la matriz la traza de la
matriz recordará en la espuma de los
elementos la diagonal
y una matriz se multiplica por una
constante los valores propios también se
multiplicarán por esa constante o por
escalar sin embargo los vectores propios
no cambiarán
esto es porque la constante puede
expresarse
o puede incluirse dentro del valor de
test por ejemplo si en el vector propio
sigue siendo
los vectores propios de auto espacios
diferentes de una matriz simétrica son
siempre ortogonales entre sí
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