¿QUÉ es EL LÍMITE de UNA FUNCIÓN? ▶DECONSTRUYENDO la FAMOSA definición EPSILON - DELTA del LIMITE 🚀⌚

Summary

Este video educativo explora el concepto fundamental del límite en el cálculo, esencial para entender derivadas e integrales. A través de ejemplos intuitivos, como acercarse a una pared o dividir un cuadrado en infinitas partes, se ilustra cómo los límites definen teorías físicas y mejoran nuestra comprensión del universo. Se explican límites laterales y la condición necesaria para su existencia, así como su importancia en la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde el factor de Lorentz y la velocidad de la luz juegan roles cruciales.

Takeaways

• 📚 El límite es un concepto fundamental en el cálculo, siendo la base de herramientas como derivadas e integrales.
• 🌌 La comprensión de límites ha permitido el desarrollo de nuevas teorías físicas y una mejor comprensión del universo.
• 🔍 Un ejemplo intuitivo de límite es acercarse indefinidamente a un objeto sin tocarlo, ilustrando la idea de aproximación.
• 📏 La integral definida es el límite de la suma de Riemann, y la derivada es el límite del cociente incremental.
• 🔄 Al analizar la continuidad de una función también se utilizan límites, destacando su importancia en múltiples conceptos matemáticos.
• 📐 Se describen dos situaciones para entender el concepto de límite: acercamiento a una pared y la división de un cuadrado en partes infinitas.
• 🌐 Se explica que el límite se utiliza para determinar el comportamiento de una función cuando se acerca a un punto específico, más que el valor en el punto mismo.
• 📉 Se introduce el concepto de límites laterales, que son los límites de una función cuando se acerca a un punto desde la izquierda o la derecha.
• 🚫 Se aclara que un límite no existe si los límites laterales no coinciden, es decir, si la tendencia de la función por la izquierda no es la misma que por la derecha.
• 🌟 Se menciona que un límite existe si ambos límites laterales existen y son iguales, y que el límite debe ser un número finito.
• 💡 Se da una definición formal del límite, relacionando la distancia entre los valores de la función y un límite con un error menor que una cota (épsilon), y cómo se relaciona con el intervalo (Delta).

Q & A

¿Qué herramientas matemáticas importantes se mencionan en el guion que han permitido el desarrollo de nuevas teorías físicas?

Las herramientas matemáticas importantes mencionadas son las derivadas e integrales, que son fundamentales dentro del cálculo.

¿Cuál es el concepto considerado como la base de todo el cálculo según el guion?

El concepto considerado como la base de todo el cálculo es el límite.

¿Cómo se define la integral definida en el contexto del cálculo según el guion?

La integral definida se define como el límite de la suma de Riemann.

¿Cómo se define la derivada en el contexto del cálculo según el guion?

La derivada se define como el límite del cociente incremental.

¿Qué función se utiliza en el guion para ilustrar la idea de límite cuando se acerca a un valor específico?

Se utiliza la función f(x) = x al cuadrado para ilustrar la idea de límite al acercarse al valor de 2.

¿Qué es un límite lateral y cómo se define en el guion?

Un límite lateral es el límite de una función cuando la variable se acerca a un punto desde un lado específico, ya sea por la izquierda o por la derecha.

¿Cuál es la condición necesaria para que un límite exista según el guion?

La condición necesaria para que un límite exista es que ambos límites laterales existan y coincidan en el mismo valor.

¿Qué significa el valor absoluto en el contexto de la definición formal de límite en el guion?

El valor absoluto en la definición formal de límite se utiliza para medir la distancia entre los valores de salida de la función y el valor límite, asegurando que el resultado sea siempre positivo.

¿Cómo se relaciona el factor de Lorentz con la teoría de la relatividad especial según el guion?

El factor de Lorentz se relaciona con la teoría de la relatividad especial porque aparece en muchas de sus ecuaciones y define cómo la masa, el tiempo y la fuerza se ven afectados por la velocidad cercana a la de la luz.

¿Por qué la velocidad de la luz es un límite inalcanzable según el guion?

La velocidad de la luz es un límite inalcanzable porque, según la teoría de la relatividad especial, a medida que la velocidad de un cuerpo se acerca a la de la luz, el factor Gamma tiende a infinito, lo que implica que requeriría una fuerza infinita para superar esa velocidad.

Outlines

00:00

🧮 Introducción a los límites en cálculo

Este primer párrafo introduce el concepto de límite en cálculo, destacando su importancia como la base de todas las herramientas matemáticas en el cálculo. Se menciona que límites son fundamentales para definir conceptos como las integrales y las derivadas, y son esenciales para entender la continuidad de funciones. Se utiliza una analogía intuitiva de acercarse indefinidamente a una pared para ilustrar la idea de límite, y se presentan ejemplos con áreas de cuadrados y series infinitas para mostrar cómo los límites pueden resultar en valores finitos a partir de sumas de términos infinitos.

05:01

📉 Análisis de límites y límites laterales

En este segundo párrafo, se explora el concepto de límites en el contexto de funciones y se introducen los límites laterales. Se utiliza la función f(x) = x^2 para ilustrar cómo el límite de una función se comporta a medida que x se acerca a un punto específico, en este caso, x tiende a 2. Se explican los límites laterales por la izquierda y por la derecha, y se aclaran las diferencias entre ellos. Además, se resalta que el límite es una herramienta para estudiar la tendencia de una función, más que su valor exacto en un punto específico.

10:02

🔍 Existencia y condiciones de los límites

El tercer párrafo profundiza en la existencia de límites y las condiciones necesarias para que un límite exista. Se explica que un límite existe si y solo si los límites laterales por la izquierda y por la derecha coinciden en el mismo valor. Se presentan ejemplos que muestran cómo los límites pueden variar dependiendo del enfoque desde el que se considere el límite (izquierda o derecha). También se discute la noción de que un límite no puede ser infinito, ya que esto no representa un valor finito.

15:03

📏 Medidas y distancias en el análisis de límites

Este párrafo introduce la idea de medir distancias en el contexto de límites, utilizando la noción de valor absoluto para garantizar que las distancias sean siempre positivas. Se explica cómo calcular la distancia entre puntos en una recta numérica y se extiende esta idea para entender mejor la definición formal de límite. Se resalta la importancia de la noción de 'tendencia' en la definición de límites y cómo se relaciona con la distancia entre puntos.

20:04

🌌 Definición formal de límite y aplicaciones en la física

El quinto párrafo presenta la definición formal de límite, donde se establece un marco matemático para determinar cuándo la salida de una función se acerca a un valor específico (L) a medida que la entrada (x) se acerca a un punto (a). Se introducen los conceptos de 'error' y 'cuota de error' (epsilon) y se explica cómo estos están relacionados con los intervalos de x (Delta). Finalmente, se conecta el concepto de límite con la física, específicamente con la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde se muestra cómo los límites son fundamentales para entender fenómenos físicos como la velocidad de la luz como un límite insuperable.

25:06

🚀 Límites y la exploración del universo

El último párrafo del guion subraya la importancia de los límites en la comprensión del universo y la ciencia moderna. Se discute cómo la teoría de la relatividad especial de Einstein, que involucra conceptos de límites, ha cambiado nuestra percepción del universo. Se menciona cómo la velocidad de la luz se comporta como un límite supremo que no puede ser superado, lo que tiene implicaciones profundas para la física y la tecnología. El vídeo concluye con una reflexión sobre el papel fundamental de las matemáticas en el avance del conocimiento científico.

Keywords

💡Derivadas

Las derivadas son una herramienta matemática fundamental dentro del cálculo diferencial, que se refiere a la tasa a la que una cantidad cambia con respecto a otra en un punto específico. En el guion, se menciona que el desarrollo de las derivadas ha permitido la creación de nuevas teorías físicas y una mejor comprensión del universo. Un ejemplo dado es que la derivada es el límite del cociente incremental, lo que muestra su importancia en el análisis de funciones y su comportamiento en puntos específicos.

💡Integrales

Las integrales son otro concepto clave en el cálculo integral, que se relaciona con la área bajo una curva o el acumular cantidades en problemas físicos. En el guion, se indica que el desarrollo de las integrales ha sido crucial para la comprensión de fenómenos físicos, ya que la integral definida es el límite de la suma de Riemann, lo que conecta integrales con límites y su aplicación en el cálculo de áreas y volumenes.

💡Límite

El límite es considerado la base de todo el cálculo, ya que muchos conceptos importantes se definen usando límites. En el guion, se explica que el límite es esencial para entender la continuidad de una función, así como para definir derivadas e integrales. Se utiliza el ejemplo de acercarse indefinidamente a una pared para ilustrar la idea de límite, demostrando cómo el concepto de límite permite describir situaciones donde se acercamos a un valor sin llegar a él.

💡Continuidad

La continuidad es una propiedad de las funciones que se refiere a que la función no tiene saltos o discontinuidades en un punto. En el guion, se menciona que para analizar la continuidad de una función también se utilizan límites, lo que indica que la comprensión de la continuidad es intrínsecamente ligada a la noción de límite y es crucial para garantizar que las funciones se comporten de manera predecible en los cálculos.

💡Suma de Riemann

La suma de Riemann es una técnica utilizada para definir la integral definida como el límite de una suma cuando las subintervalos se hacen más pequeños. En el guion, se menciona que la integral definida es el límite de la suma de Riemann, lo que conecta el concepto de suma con el de límite y muestra cómo se puede calcular el área bajo una curva a través de la aproximación de sumas.

💡Cociente incremental

El cociente incremental es la razón por la cual el valor de una función cambia entre dos puntos muy cercanos y es fundamental para definir la derivada. En el guion, se menciona que la derivada es el límite del cociente incremental, lo que demuestra cómo este concepto ayuda a entender la tasa de cambio de una función en un punto específico.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, se habla de funciones en el contexto de derivadas e integrales, y se explora cómo el límite ayuda a entender el comportamiento de las funciones cuando se acercan a ciertos valores, como se muestra en los ejemplos de la función x al cuadrado y su comportamiento cerca del valor de x igual a 2.

💡Teoría de la relatividad

La teoría de la relatividad, en particular la teoría especial de la relatividad, es una teoría científica que describe la relación entre la energía, la masa y la velocidad. En el guion, se menciona cómo la teoría de la relatividad ha cambiado nuestra comprensión del universo, y se utiliza el factor de Lorentz como ejemplo de cómo los límites matemáticos (como el límite de la velocidad de la luz) afectan las ecuaciones físicas.

💡Factor de Lorentz

El factor de Lorentz, también conocido como el factor Gamma, es una constante que aparece en las ecuaciones de la relatividad especial y se relaciona con la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo. En el guion, se describe cómo el factor Gamma se comporta a medida que la velocidad de un objeto se acerca a la velocidad de la luz, y cómo esto impone un límite físico al movimiento, demostrando la interacción entre matemáticas y física en el ámbito de la relatividad.

💡Velocidad de la luz

La velocidad de la luz es una constante universal que se menciona en el guion en el contexto de la teoría de la relatividad. Se destaca cómo la velocidad de la luz impone un límite al movimiento de los objetos en el universo, y cómo este límite es intrínsecamente conectado con la noción de límite en matemáticas, donde se demuestra que nada puede superar esta velocidad, lo que tiene implicaciones profundas en la física y la astronomía.

Highlights

Derivadas e integrales son herramientas matemáticas fundamentales en el cálculo.

El desarrollo de estas herramientas ha permitido crear nuevas teorías físicas y mejorar la comprensión del universo.

El límite es considerado la base de todo el cálculo.

La integral definida es el límite de la suma de Riemann.

La derivada es el límite del cociente incremental.

Los límites son utilizados para analizar la continuidad de una función.

Se explora la idea intuitiva del límite a través de la metáfora de acercarse a algo sin llegar nunca.

Ejemplo de acercamiento a una pared mediante pasos que dividen la distancia restante por la mitad.

La suma de áreas de piezas de un cuadrado dividido continuamente en la mitad tiende a una unidad al infinito.

La suma de términos con infinitos términos puede dar un resultado finito, ejemplificado con la serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

La representación de sumas de infinitos términos usando la notación de la sumatoria.

Análisis del comportamiento de la función f(x) = x^2 a medida que x se acerca a 2, utilizando límites.

Introducción al concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha.

Importancia de que los límites laterales coincidan para que exista el límite de una función en un punto.

La no existencia de límite en funciones donde los límites laterales no coinciden.

La no definición de una función en un punto no impide el análisis de su límite en ese punto.

Condición necesaria para la existencia de un límite: los límites laterales deben ser iguales y finitos.

Ejemplo de una función que no tiene límite a medida que x se acerca a cero, debido a que el valor de la función tiende al infinito.

La asíntota como límite de la función cuando se acerca a un valor específico, ejemplificado con la función 1/(x-2).

La definición formal de límite involucra la relación entre la cota de error (épsilon) y la distancia (Delta).

La teoría de la relatividad especial de Einstein y su impacto en la comprensión del universo.

La velocidad de la luz como límite inalcanzable en el universo, según la relatividad especial.

El papel fundamental de las matemáticas en el desarrollo de la ciencia y la tecnología moderna.

Transcripts

en este canal hemos hablado sobre

derivadas e integrales herramientas

matemáticas muy importantes dentro del

cálculo y cuyo desarrollo ha permitido

la creación de nuevas teorías físicas y

nos ha dado una mejor comprensión sobre

cómo funciona el universo y cuáles son

las leyes que lo gobiernan Pero existe

un concepto muy importante de hecho el

más importante dentro del cálculo pues

es considerado como la base de todo el

cálculo el límite

[Música]

el límite es una pieza fundamental en

nuestro estudio del cálculo debido a que

muchos conceptos importantes se definen

usando límites la integral definida por

ejemplo es el límite de la suma de riman

y la derivada es el límite del cociente

incremental cuando analicemos la

continuidad de una función también

utilizaremos límites por lo que

comprender realmente que es un límite es

algo muy importante en nuestro estudio

del cálculo Pero antes de hablar en más

detalle analicemos algunas situaciones

para tener una idea intuitiva acerca de

lo que es un límite piensa en la

siguiente idea puedes acercarte

demasiado algo sin dejar nunca de

acercarte y aún así Nunca llegar Sí lo

sé Suena bastante raro pero imagina la

siguiente situación estás a una

distancia de 8 metros de una pared y por

alguna extraña razón se te ocurre hacer

lo siguiente avanzar hacia la pared pero

recorriendo siempre la mitad distancia

es decir al inicio te encuentras a unos

8 metros de la pared por lo tanto en un

primer recorrido avanzarás la mitad de

esta distancia y estarás solamente a 4

metros de la pared y luego recorres

nuevamente la mitad del camino y estarás

solamente a dos metros de la pared y

recorres otra vez la mitad del camino

por lo que ahora solo estás a un metro

de la pared y recorres la mitad por lo

que estarás a medio metro de la pared

luego a un cuarto de metro luego a un

octavo de metro y si te has dado cuenta

podrás seguir recorriendo siempre la

mitad del camino de manera indefinida

acercándote más y más a la pared pero En

qué situación llegarías a tocar la pared

Pues cuando realices una cantidad

infinita de pasos es decir en el límite

del infinito llegamos a tocar la pared y

ahora analicemos otra situación tan

Interesante como la anterior supongamos

que tenemos un cuadrado cuyo lado es de

una unidad por lo que el área de este

cuadrado es igual a una unidad al

cuadrado muy bien Ahora vamos a dividir

este cuadrado por la mitad por lo que el

área de cada una de las piezas será un

medio unidades al cuadrado ahora

dividamos esta parte sombreada en la

mitad por lo que cada pieza tendrá ahora

un área de un cuarto unidades al

cuadrado y ahora dividamos esta otra

parte sombreada por la mitad por lo que

cada parte ahora tendrá un área de un

octavo unidades al cuadrado y nuevamente

dividamos la parte sombreada en la mitad

por lo que cada parte ahora tendrá un

área de un 16 unidades al cuadrado y si

seguimos haciendo esto de dividir cada

parte en la mitad obtendremos 1 sobre 32

luego 1 sobre 64 luego 1 sobre 128 y

luego 1 256 Y si te diste cuenta podemos

seguir dividiendo cada pieza en la mitad

una cantidad infinita de veces ahora

piensen lo siguiente si sumas las áreas

de todas esas piezas el área debe ser

igual a una unidad al cuadrado que es el

área de todo el cuadrado es decir esta

suma con infinitos términos es

Exactamente igual a uno si sumaras un

millón de términos la suma sería igual a

un número que está muy pero muy cerca de

uno pero no es exactamente uno por lo

tanto para que sea Exactamente igual a

uno esta suma tendría que tener una

cantidad infinita de términos podemos

representar esta suma de la siguiente

manera 1 entre 2 elevado a uno más uno

entre dos elevado al cuadrado más uno

entre dos elevado al cubo más uno entre

dos elevado a cuatro más uno entre dos

elevado a 5 más puntos suspensivos Y así

sucesivamente utilizando el símbolo de

la sumatoria para para representarlo de

manera más compacta podremos escribirlo

de la siguiente manera sumatoria del

término 1 entre 2 elevado a n desde n

igual a 1 hasta infinito es Exactamente

igual a 1 y si esto es un muy buen

ejemplo de cómo una suma de infinitos

términos puede dar como resultado un

resultado finito que es igual a 1 en el

límite del infinito lo primero que

Debemos entender es el concepto de

Límite y para qué se utiliza y para ello

veamos un ejemplo con la función fdx es

igual a x al cuadrado cuya gráfica

podemos ver aquí supongamos que estamos

interesados en analizar cómo se comporta

esta función a medida que vamos tomando

valores más y más cercanos a dos sabemos

que cuando x vale 2 la función lo eleva

al cuadrado es decir 2 al cuadrado y nos

devuelve el valor de 4 pero no nos

interesa saber qué sucede cuando x es 2

sino más bien Qué sucede cuando x toma

valores muy pero muy cercanos a dos y

para ello empecemos haciendo lo

siguiente empecemos haciendo que x sea

igual a 1 reemplazando la función

obtenemos que F de 1 es igual a 1

elevado al cuadrado que nos da

simplemente 1 ahora veamos Qué sucede

con la función cuando vamos acercándonos

hacia el valor de 2 y como vemos en la

animación Mientras nos vamos acercando

hacia el valor de X es igual a 2 la

función se va acercando hacia el valor

de 4 ahora para representar esta idea

utilizaremos este nuevo concepto

matemático llamado límite y que vamos a

representar mediante el símbolo link

ahora Estamos analizando Qué sucede con

esta función cuadrática cuando nos

acercamos hacia el valor de 2 o sea

analizamos el límite de la función x al

cuadrado cuando x tiende a es decir toma

valores cercanos a dos y esta idea se

representa mediante esta flecha que

indicará hacia Qué valor se aproxima x y

luego indicar cuál es ese valor que en

este caso es 2 además en este primer

caso empezamos tomando el valor de X es

igual a 1 que es un valor menor a 2 y

luego fuimos tomando valores más y más

cercanos a dos pero menores a 2 es decir

nos vamos acercando a dos desde valores

que están a la izquierda de 2 y para

simbolizar esto colocaremos un signo

menos como superíndice en el número 2 y

esto es igual hacia el valor al cual

tiende la función que en este caso

tiende hacia el valor de 4 en resumen lo

leeremos de la siguiente manera límite

de la función x al cuadrado cuando x

tiende a 2 por la izquierda es 4 y a

este tipo de Límite lo llamaremos límite

lateral por la izquierda y volvamos a

analizar el mismo caso la función x al

cuadrado pero acercándonos hacia el

valor de X es igual a 2 desde la derecha

supongamos que primero tomamos un valor

de X es igual a 3 reemplazando la

función F de 3 es igual a 3 al cuadrado

que nos da 9 ahora vamos tomando valores

cada vez más y más cercanos a dos y

podemos ver que sucede a medida que nos

acercamos a dos la función se vuelve a

acercar hacia el valor de 4 por lo tanto

utilizando la notación que vimos en el

ejemplo anterior Tendremos que el límite

de la función x al cuadrado cuando x

tiende a 2 pero en este caso se acerca

hacia dos tomando valores mayores a 2 o

sea valores que están siempre a la

derecha de 2 y para representar esto

colocaremos un signo más como un

superíndice en el número 2 Qué significa

que se acerca a dos por la derecha y

este límite es 4 en resumen lo leeríamos

de la siguiente manera límite de la

función x al cuadrado cuando x tiende

por la derecha es 4 y a este otro límite

lo llamaremos límite lateral por la

derecha muy bien y ahora que ya

entendimos la idea tras el límite

Hagamos una aclaración importante sobre

límite ya que límite estudia Cuál es la

tendencia de una función Cuando haces

que la variable tienda a un valor en

específico O sea no nos interesa saber

qué sucede en ese valor sino Qué sucede

cuando te acercas a ese valor por

ejemplo aquí tenemos la función x al

cuadrado otra vez pero la función no

está definida cuando x es igual a 2 y

esto se representa en la Gráfica con un

vacío en ese punto ahora si tomamos

valores cercanos a 2 como haciendo que x

sea igual a 3 o que sea igual a 1 y nos

vamos acercando hacia dos podemos ver

que en ambos casos la función se acerca

hacia el valor de 4 es decir los dos

límites laterales tanto por izquierda y

por derecha tienden el mismo valor por

lo que podemos representar esto de la

siguiente manera límite de la función x

al cuadrado cuando x tiende a 2 es 4 y

en el caso anterior ambos límites

laterales coincidían pero no siempre nos

encontraremos en esta situación veamos

por ejemplo este caso aquí tenemos la

Gráfica de esta función FX veamos cómo

se comporta esta función a medida que

nos acercamos hacia el valor de 2

notemos también que esta función no está

definida en x igual a 2 pero no importa

ya que el límite analiza Qué sucede

cuando te acercas hacia el valor de 2

muy bien empecemos acercándonos desde la

izquierda es decir el límite de esta

función FX cuando x tiende a 2 por la

izquierda podemos ver como este límite

tiende hacia el valor de 1.5 ahora

veamos Qué sucede cuando nos acercamos a

dos pero por la derecha es decir tomamos

el límite de la FX cuando x tiende a 2

por la derecha y como podemos observar

este límite tiende a 0.5 como podemos

ver en este caso el límite lateral por

izquierda no es el mismo que límite

lateral por derecha por lo que nos

podemos preguntar si en este caso existe

límite de la función con dx tiende a 2

Así que para responder esta pregunta

veamos En qué casos podemos afirmar que

un límite existe y en qué casos no

supongamos que tenemos una función FX

cuya gráfica se muestra aquí y

analizaremos qué sucede con esta función

cuando nos acercamos hacia el valor de a

podemos notar también que la función no

está definida en x es igual a y como

dijimos anteriormente no es necesario

que la función esté definida en ese

valor ya que el límite es un análisis de

tendencia hacia un valor en específico

en este caso de manera muy general

veremos Cuál es la tendencia cuando x se

aproxima hacia el valor de a primero

empecemos viendo Qué pasa cuando nos

acercamos por la izquierda y como vemos

en la animación a medida que nos

acercamos hacia el valor de a la función

tiende a acercarse hacia el valor de l

simbólicamente límite de la función F de

x cuando x tiende a por la izquierda es

l ahora veamos Qué pasa cuando nos

acercamos por la derecha y como vemos en

la animación la función tiende a

acercarse nuevamente hacia el valor de l

esto significa que el límite de la

función F de x cuando x tiende al valor

de a es l y podemos ver como ambos

límites laterales coinciden y cuando

pasa esta situación diremos que el

límite en x que tiende así el valor de a

existe y lo representaremos de la

siguiente manera límite de FX cuando x

tiende al valor de a es l en pocas

palabras diremos que un límite existe

cuando ambos límites laterales existan y

coincidan en el mismo valor es decir el

límite debe ser único de manera muy

formal podemos representarlo así el

límite de una función FX cuando x tiende

al valor de a es l Sí y solo Sí el

límite lateral por la izquierda es igual

al límite lateral por la derecha es

decir ambos límites laterales son

iguales al valor de l Y esta es la

condición necesaria para la existencia

de un límite si alguno de los límites

laterales fuese distinto entonces

diremos que el límite no existe de aquí

podemos concluir que el límite es único

además es importante esta Otra condición

que la función debe tender a un número

finito cuando x tiende hacia el valor de

a o sea el límite no puede ser infinito

porque infinito no es un número sino que

representa una idea de que un se puede

hacer más y más y más y más grande de

manera indefinida pero para poder

entender mejor veamos la siguiente

situación veamos por ejemplo cómo se

comporta la función FX es igual a 1

entre x al cuadrado cuya gráfica se ve

de esta manera esta función no está

definida cuando x es igual a cero porque

al reemplazar obtendríamos 1 entre 0 al

cuadrado que nos da 1 entre 0 y Esta

división sobre cero no está definida

pero vemos un comportamiento curioso a

medida que x se acerca a cero por

ejemplo si tomamos valores de X cercanos

a cero por la izquierda podremos ver

cómo la función nos devuelve cada vez

valores más y más grandes y para

representar esto lo haremos de la

siguiente forma límite de la función 1

entre x al cuadrado cuando x tiende a

cero por la izquierda es infinito esto

último no significa que el límite exista

y sea infinito ya que como hablamos

antes para que un límite

vista su resultado debe ser un número

finito Y en este caso no pasa el límite

conforme te acercas a cero se te hace

cada vez más y más grande por lo que

esta notación de Límite en este caso se

utiliza precisamente para dar entender

esa idea que en la medida que más y más

te acerques al valor de cero por la

izquierda el valor de la función de

tienda de volver valores cada vez más y

más grandes y por otro lado si tomamos

valores cercanos a cero pero por la

derecha veremos como la función vuelve a

darnos números más y más grandes y esto

lo representamos de la siguiente manera

límite de la función 1 entre x al

cuadrado cuando x tiende a cero por la

derecha es infinito y repito nuevamente

para este caso el límite tampoco existe

pero es costumbre usar la notación pero

para ayudarnos a entender esta idea que

mientras tomes valores más cercanos a

cero la función aprenderá a devolverte

valores más y más grandes y además se

puede trazar una recta punteada que pase

por x es igual a cero aquí representamos

a la asíntota de color amarillo y

representa el valor que la función no

puede tomar además que se puede observar

como las gráficas tienden a acercarse

hacia esta línea que es llamada asíntota

pero nunca podrán tocar a esta asíntota

y aquí tenemos otro caso de Límite que

no existe en este caso tenemos a la

función FX es igual a 1 entre x menos 12

que no está definida cuando x es igual a

2 por lo tanto no podremos hacer x es

igual a 2 pero sí tomar valores muy pero

muy cercanos a dos entonces veamos Qué

sucede si nos acercamos a dos por la

derecha podemos ver como la función

tiende a devolver valores cada vez más y

más grandes y esta idea se representa

así límite de la función 1 entre x menos

2 cuando x tiende a 2 por la derecha es

infinito y repito esto es un abuso de la

anotación puesto que el límite no existe

y más bien Debemos interpretarlo de esta

manera con la función 1 entre x -2 tomas

valores cercanos a dos por la derecha o

sea mayores a 2 la función te devuelve

valores más y más grandes y por otro

lado si tomas valores cercanos a dos

pero por la izquierda la función tenderá

de volverte cada vez valores más y más

negativos y esto se representa de esta

manera límite de 1 entre x menos 2

cuando x tiende a 2 por la izquierda es

menos infinito que hace alusión a la

idea de que tiende números cada vez más

y más negativos además en x es igual a 2

también podemos graficar la asíntota de

esta función Cómo podemos ver aquí en la

animación y ahora vamos a recordar

algunos conceptos previos que nos

permitirá poder entender mejor la

definición formal de Límite aquí tenemos

una recta numérica supongamos que

queremos hallar la distancia de este

segmento que observando fácilmente

podemos decir que mide 3 unidades pero

como hicimos este cálculo pues lo

podemos realizar de la siguiente manera

ya que estamos en la recta numérica

podemos utilizar las coordenadas de los

extremos es decir el valor de 4 y el

valor de 1 y realizar una simple resta o

sea 4 - 1 que nos da 3 y Cómo podemos

ver esto coincide con la distancia del

segmento pero en matemática para ser más

estricto al tomar distancias usando

coordenadas se hace esta resta pero se

toma el valor absoluto o el módulo ya

que esta operación te garantizará que el

resultado sea siempre positivo de manera

que corresponda a la distancia Por lo

que algo más correcto sería decir que la

distancia es el valor absoluto de 4 - 1

que es valor absoluto de 3 que como ya

es positivo seguirá siendo 3 pero

también se puede hacer en el orden

contrario es decir restando 1 - 4

esta resta obtendrás menos 3 pero una

distancia no puede ser un número

negativo y por eso mismo es necesario

tomar el valor absoluto ya que esto nos

dará valor absoluto de -3 que es igual a

3 Recuerda siempre que el valor absoluto

te devolverá el valor positivo y por eso

es útil en este caso de medir distancias

simplemente utilizando las coordenadas

veamos otro ejemplo supongamos que

queremos hallar la distancia entre el

punto -3 y 4 utilizando el método que

aprendimos esta distancia sería

simplemente módulo de tres menos cuatro

o sea la resta de coordenadas operando

obtenemos valor absoluto de -7 y como el

valor absoluto lo convertirá en positivo

obtendremos que esto es igual a 7

unidades y el orden no interesa Por

ejemplo también podría ser valor

absoluto de 4 - paréntesis menos 3

operando lo de dentro se convierte en 4

+ 3 y nos queda valor absoluto de 7 que

como ya es positivo nos devuelve lo

mismo o sea 7 y como ven el orden no

importa el valor absoluto de la

diferencia de coordenadas nos dará la

distancia entre esos dos puntos Ahora

quiero que veamos esta idea de manera

más general supongamos que queremos

hallar la distancia entre estos dos

puntos cuyas coordenadas son a y x y

para este caso la distancia simplemente

será igual a valor absoluto de X menos a

o también podría ser valor absoluto de A

menos x teniendo en cuenta estos

conceptos estamos listos para poder

entender qué hay detrás de la famosa

definición del límite Así que empecemos

Y probablemente este sea uno de los

momentos más importantes en este canal

porque vamos a entender que hay detrás

de la famosa definición formal de Límite

y para ello tomemos a una función FX

cuya gráfica podemos ver aquí en este

caso cuando evaluamos la función en el

punto a obtenemos el valor de l pero no

nos interesa qué es lo que pasa con la

función cuando x es igual al valor de a

sino más bien que sucede con la función

cuando x tiende al valor de a sabemos

que si le damos valores a x que sean

cercanos al valor de a la función nos

retornará valores de FX que estén

cercanos al valor de l Y estos valores

de salida de la función son distintos de

l sin embargo podemos ver esta pequeña

variación o alejamiento del valor de l

como si fuese un pequeño error ahora

vamos a establecer alguna condición para

limitar este error en nuestro

acercamiento al valor de L y para ello

estableceremos una cuota para este error

podríamos suponer que esta Cota por

ejemplo sea de 0.5 por lo tanto el valor

superior extremo sería igual a L más 0 5

y el extremo inferior sería igual a L

-0.5 es importante notar que esta Cota

siempre se presenta de manera simétrica

de manera general podemos representar

esta Cota del error mediante la letra

griega épsilon de esta forma el extremo

superior será el más epsilon y el

extremo inferior será l Menos épsilon

ahora que hemos establecido esta cuota

para el error podemos ver que las

salidas de la función están limitadas

dentro de este intervalo supongamos que

para un cierto valor de X obtenemos el

correspondiente FX como vemos en la

Gráfica este valor de F de X está

alejado una pequeña distancia del valor

de l esta pequeña diferencia sería el

error en nuestro acercamiento al valor

de L y este error se calcula como la

distancia que existe entre el valor de

salida de la función F de x y el valor

de l es decir valor fruto de FX menos L

y por otro lado la Cota del error que

impusimos es igual a epsilon la

condición que se debe cumplir aquí es

que el error en nuestro acercamiento al

valor de l debe ser menor que la Cota

del error o sea valor absoluto de F de X

menos l es menor que epsilon y este

error en el acercamiento debe ser mayor

igual a cero ya que este valor absoluto

representa una distancia entre dos

puntos por lo que siempre es mayor o

igual a cero ahora debido a que hemos

impuesto una cuota para el error estas

cotas para el error están directamente

relacionadas con unos valores de

abscisas O valores de entrada de la

función y que como vemos en la Gráfica

no siempre son simétricos habrá algunos

casos en los que sí sea simétricos pero

para esta gráfica en especial no lo son

por lo tanto tenemos dos valores

extremos de abscisas que están

directamente relacionadas con las notas

de error que hemos impuesto lo que

haremos ahora es declarar un intervalo

que esté centrado en x es igual a que

sea simétrico y que nos garantice que

sus valores de salida estén dentro de

nuestra cuota de error y para tener

garantía de ello elegiremos el intervalo

más pequeño Y esta distancia la

llamaremos Delta podemos ver que la

distancia entre el valor de X que usamos

en nuestra aproximación y el valor de a

es igual a valor absoluto de X menos a

y esta distancia a su vez tiene que ser

menor que Delta

además esta distancia debe ser

estrictamente mayor que cero debido a

que el valor de X tiende al valor de a o

sea se acerca mucho hacia el valor de a

pero nunca será igual al valor de a

ahora lo que nosotros buscamos es que el

límite de la función FX cuando x tiende

al valor de a sea l La pregunta es cómo

hacemos para que el valor de la función

F de X se acerque al valor de L y la

clave para garantizar esto están

restringir el valor de épsilon o sea

hacer que el valor de epsilon sea más

pequeño cada vez ya que al hacer más

pequeño el valor de epsilon los valores

de salida de la función están cada vez

más restringidos y por lo tanto cada vez

se acercarán más y más hacia el valor de

l Y si restringimos aún más el valor de

epsilon los valores de salida de la

función seguirán tomando valores más y

más cercanos a él por lo tanto tenemos

que hacer cada vez más y más pequeños el

valor de epsilon de tal forma que la

función se acerque más y más al valor de

L por lo tanto para garantizar que las

salidas de la función se acerquen más y

más al valor de l esto debe cumplir para

todo valor de épsilon mayor que 0 y tan

pequeño como quieras y a su vez que se

cumple esta condición para todo valor

positivo de epsilon implica que existe

un valor de Delta también mayor que cero

por lo tanto para garantizar que el

límite de la función FX cuando x tiende

al valor de a sea l se deben cumplir

estas dos condiciones para todo valor de

epsilon positivo tan pequeño como se

desee en pocas palabras la definición

formal de Límite te garantiza que puedes

acercarte hacia un valor específico y

que la función acercarse a un valor de L

y ahora podemos declarar en un solo

enunciado la definición formal de límite

de la siguiente manera dado una función

FX que está definida en un intervalo

abierto que contiene al valor de a

tomando en cuenta que no es una

condición necesaria que la función esté

definida en el punto a ya que nos

interesa analizar Qué sucede cuando nos

acercamos hacia ese valor entonces

diremos que el límite de la función FX

cuando x tiende al valor de a es l si

para toda cota de error positiva o para

todo épsilon positivo sucede que la

distancia entre los valores de salida de

la función y el valor de l es menor que

la cota de error o épsilon al cumplirse

esta condición debe existir un Delta

positivo de forma que la distancia entre

los valores de x y el valor de a sea

menor a ese valor de Delta y también en

mayor acero y en 1905 Albert Einstein

publicó la teoría especial de la

relatividad sin duda alguna una teoría

que cambiaría la forma en la que

entendíamos al universo hasta ese

momento las distancias acortan El tiempo

pasa más despacio la energía se

transforma en materia y la materia en

energía los cuerpos adquieren más al

moverse por el espacio y nada puede

moverse más rápido que la velocidad de

la luz en el vacío y aquí tenemos la

expresión para la fuerza en la

relatividad especial F es igual a Gamma

multiplicado por la masa por la

aceleración y este factor Gamma aparece

en muchas de las ecuaciones de la

relatividad y es conocido como el factor

de Lorenz que se define de la siguiente

manera Gamma es igual a 1 entre la raíz

cuadrada de 1 - V cuadrado entre C

cuadrado donde se representa la

velocidad de la luz y v la velocidad con

la que se mueve un cuerpo si graficamos

el factor de lorens obtenemos lo

siguiente para mi velocidad es muy baja

se recuperan las ecuaciones de la

dinámica de Newton Pero a medida que nos

acercamos a la velocidad de la luz los

efectos de la relatividad empiezan a

notarse cada vez más y más además como

vemos Esta gráfica posee una asíntota

cuando V es igual a c por lo que a

medida que la velocidad tiende al valor

de la velocidad de la luz el factor

Gamma tiende a infinito y esto impone un

límite propio del universo que la

velocidad de la luz es el límite Si

tuvieras un cuerpo que se mueve y cada

vez lo hace más y más rápido a medida

que su velocidad se acerca a la de la

luz el factor Gamma tiende a infinito

por lo que ese cuerpo necesitaría una

fuerza infinita para mantener su

aceleración haciendo que la velocidad de

la luz sea un límite inalcanzable por lo

que nada puede moverse más rápido que la

velocidad de la luz y es apasionante

desciferar las leyes que rigen a nuestro

universo y más aún que podamos descifrar

los misterios más grandes del universo

mediante las matemáticas y es que sí no

cabe duda que la matemática ha sido y es

una pieza clave y fundamental para el

desarrollo de la ciencia y la tecnología

moderna pero aún quedan muchas más cosas

por descubrir y que nos darán una mayor

comprensión sobre cómo funciona nuestro

universo y en este camino las

matemáticas siempre estarán presentes

como esa linterna que alumbre el camino

el camino del conocimiento Muchas

gracias por tu atención y nos vemos en

el próximo video

[Música]