Dominio y Contradominio | Ejemplo
Summary
TLDREn este video tutorial, el presentador explica cómo determinar el dominio y el contra-dominio de la función f(x) = 1/(x-2) utilizando dos métodos: analítico y gráfico. El método analítico se basa en identificar las restricciones matemáticas, como el denominador no puede ser cero, para establecer el dominio (todos los valores de x excepto 2). El método gráfico implica graficar la función y observar su comportamiento para confirmar el dominio y el contra-dominio (todos los valores de y excepto 0). El video también menciona el patrón de gráfica 'boomerang' común en funciones con denominadores variables.
Takeaways
- 📘 El dominio de una función son todos los valores permitidos para la variable independiente x.
- 🔍 El contradominio o rango son todos los valores resultantes en y o en f(x).
- 📐 El método analítico implica analizar la función para identificar restricciones matemáticas, como en el caso de la división donde el denominador no puede ser cero.
- ✅ Se establece que la función 1/(x-2) tiene una restricción matemática: el denominador (x-2) no puede ser cero.
- 📌 La condición matemática para el dominio es x ≠ 2, lo que significa que x puede ser cualquier número real excepto 2.
- 📊 El dominio se puede expresar como un intervalo de números reales excepto en el punto 2, utilizando corchetes para indicar la exclusión.
- 📉 El contradominio de la función 1/(x-2) incluye todos los números reales excepto el 0, ya que la función nunca resulta en 0.
- 📈 El método gráfico se utiliza para verificar el dominio y contradominio a través de la tabulación y graficación de puntos correspondientes a la función.
- 📋 Se realizó una tabulación ampliada para acercarse al valor prohibido x = 2, proporcionando una visión más detallada de la gráfica.
- 🖋️ La gráfica resultante de la función se describe como un boomerang, con dos segmentos de curva que se apartan de la línea y = 0 y una asintota vertical en x = 2.
Q & A
¿Qué métodos se utilizan para encontrar el dominio y el contradominio de una función en el guion?
-Se utilizan dos métodos: el método analítico y el método gráfico.
¿Cuál es la principal restricción en el dominio de la función 1/(x-2) según el método analítico?
-La principal restricción es que el denominador, x-2, no puede ser cero, lo que significa que x no puede ser igual a 2.
¿Cómo se establece el dominio de la función 1/(x-2) mediante el método analítico?
-Se establece el dominio estableciendo la condición de que el denominador no puede ser cero, lo que se traduce en la desigualdad x-2 ≠ 0, y despejando x se obtiene que x ≠ 2.
¿Cómo se representa el dominio de la función 1/(x-2) en forma de intervalo?
-El dominio se representa como (-∞, 2) U (2, ∞), lo que significa que incluye todos los números reales excepto el 2.
¿Qué es el contradominio de la función 1/(x-2) y cómo se determina?
-El contradominio son todos los valores que la función puede tomar, y en el caso de 1/(x-2), cualquier número real excepto 0, ya que el numerador es siempre 1 y no puede ser cero.
¿Cómo se representa el contradominio de la función 1/(x-2) en forma de intervalo?
-El contradominio se representa como (-∞, 0) U (0, ∞), lo que significa que incluye todos los números reales excepto el 0.
¿Qué se observa en la gráfica cuando se usa el método gráfico para encontrar el contradominio de 1/(x-2)?
-Se observa que la gráfica no puede tocar el eje y en ningún punto, lo que indica que el valor de y nunca puede ser 0.
¿Cuál es la forma de la gráfica de la función 1/(x-2) según el método gráfico?
-La gráfica tiene una forma de 'boomerang', con dos segmentos de curva que se alejan del eje y y se acercan al eje x pero nunca tocan el eje y en el punto 0.
¿Qué son las 'sintomas' vertical y horizontal que se mencionan en el guion y cómo se relacionan con la función 1/(x-2)?
-Las 'sintomas' verticales son líneas verticales en la gráfica que indican valores de x que no son permitidos (x=2 en este caso). Las 'sintomas' horizontales son líneas horizontales que indican valores de y que la función no puede alcanzar (y=0 en este caso).
¿Cómo se verifican los resultados del método analítico usando el método gráfico en el guion?
-Se verifican al observar que la gráfica no toca el eje y en el punto 0 y que hay una 'sintoma' vertical en x=2, lo que coincide con las restricciones encontradas mediante el método analítico.
Outlines
📘 Introducción al Análisis del Dominio y Contradominio
El primer párrafo introduce el tema de la clase, que es el análisis del dominio y contradominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x-2} \). Se explica que el dominio de una función son los valores permitidos para la variable independiente, mientras que el contradominio son los valores resultantes en la variable dependiente. El método analítico se presenta como una forma de determinar el dominio al examinar las restricciones matemáticas de la función, como en este caso, la división por cero, que es la principal restricción para la función dada.
📐 Método Analítico para Determinar el Dominio
En el segundo párrafo se describe el método analítico para determinar el dominio de la función. Se establece que el denominador de la función, que es \( x-2 \), no puede ser cero, lo que impone la restricción de que \( x \neq 2 \). Se procede a despejar esta condición para encontrar el dominio, que se expresa como todos los números reales excepto 2, y se visualiza este dominio en un segmento de recta numérica, mostrando que x puede tomar cualquier valor excepto 2.
📊 Visualización del Dominio y Contradominio con Intervalos
El tercer párrafo se centra en la visualización del dominio y contradominio de la función utilizando intervalos. Se describe cómo el dominio se puede representar como un intervalo que va desde menos infinito hasta 2, excluyendo 2, y luego de 2 hasta infinito, utilizando corchetes y paréntesis para indicar la exclusión del número 2. También se discute el contradominio, que en este caso es todo el conjunto de números reales excepto 0, ya que la función nunca dará como resultado 0.
📈 Comprobación del Dominio y Contradominio con el Método Gráfico
El cuarto párrafo detalla cómo se puede verificar el dominio y contradominio de la función mediante el método gráfico. Se menciona la creación de una tabla de valores y la sustitución de estos valores en la función para obtener los resultados correspondientes. A continuación, se grafican estos puntos en el plano cartesiano para visualizar la gráfica de la función. Se observa que la gráfica muestra una asíntota vertical cuando \( x = 2 \) y una asíntota horizontal cuando \( y = 0 \), confirmando los resultados obtenidos con el método analítico.
Mindmap
Keywords
💡Dominio
💡Contra-dominio
💡Método analítico
💡Método gráfico
💡Restricciones matemáticas
💡Desigualdad
💡División por cero
💡Numerador y denominador
💡Intervalo
💡Gráfica del boomerang
Highlights
Explicación de cómo obtener el dominio y el contradominio de una función.
Método analítico para determinar el dominio de una función.
Restricciones matemáticas en funciones, como el denominador no puede ser cero.
Condición matemática para el denominador de la función 1/(x-2).
Despeje algebraico para encontrar el dominio de la función.
Representación del dominio como un conjunto de números reales excepto 2.
Expresión del dominio y contradominio en forma de intervalos.
Método gráfico para verificar el dominio y contradominio de la función.
Tabulación de valores para graficar la función 1/(x-2).
Selección de valores cercanos a 2 para una mejor visualización gráfica.
Graficación de la función y observación de su comportamiento cerca de 2.
Identificación de las asintotas verticales y horizontales en la gráfica.
Confirmación del dominio y contradominio a través del método gráfico.
Caracterización de la gráfica del boomerang en funciones con denominadores variables.
Resumen de la lección y conceptos aprendidos sobre dominio y contradominio.
Transcripts
hola bienvenidos al canal en la clase de
hoy voy a explicar cómo obtener el
dominio del contra dominio de esta
función 1 sobre x menos 2 pero el
primero con el método analítico y luego
comprobando con el método gráfico les
recuerdo que el dominio de una función
son todos los valores admisibles en la
variable independiente x y el contra
dominio o también conocido como rango
son todos los valores resultantes en ye
o ene efe de x
bueno pues voy a comenzar primero con el
método analítico el método analítico
consiste en analizar la función y ver
qué restricciones restricciones o
condiciones matemáticas tienen como por
ejemplo la función de este ejercicio es
1 sobre x menos 2
entonces vamos a analizar esta función
vean que a x le vamos a restar 2 ida un
resultado entonces 1 entre el resultado
de esta resta la operación que domina es
una división las divisiones tienen
restricciones pues vamos a ver de hecho
si las divisiones si tienen una
restricción por ejemplo si tienen 0
entre 5 es igual toman su calculadora y
dividen 0 entre 5 es igual a 0
osea resulta 0 0 entre 5 resulta 0 que
es un número real pero qué pasa si lo
hacemos al revés 5 entre 0 y resuelvan
en su calculadora 5 / 05 / 0 error
matemático o sea no existe
esta es la restricción de las divisiones
vean que el numerador si puede ser cero
y cero entre cualquier número real
excepto el cero resulta 0 5 entre 0 no
existe o sea cualquier número real entre
0 no existe sin determinar entonces esa
es la restricción de las divisiones que
el denominador no puede ser cero
entonces el método analítico nos dice
que establecemos el paso 1 primero ver
si la función tiene alguna restricción
matemática y en este caso si ya que la
operación que domina es una división y
si tiene una restricción matemática que
es ésta que el denominador no puede ser
cero entonces eso es lo primero ya
establecimos que si tiene una
restricción matemática entonces paso dos
como si tiene la función una restricción
matemática entonces tenemos que
establecer la condición matemática la
condición matemática es expresar que el
denominador no puede ser cero pero
matemáticamente generalmente son
desigualdades entonces en este caso la
función es 1 sobre x menos 2 quién es el
denominador el denominador es x
los dos entonces el denominador es x
menos 2 le tenemos que decir
matemáticamente que el denominador no
puede ser 0 o sea el denominador si
puede ser cualquier número real
cualquier número positivo o negativo
entero fraccionario pero no puede ser 0
entonces simplemente utilizamos el signo
de desigualdad x menos 2 no puede ser 0
y esa es nuestra condición matemática x2
diferente de cero ya que establecimos la
condición matemática vamos a despejar x
vean que esta condición es de primer
grado entonces vamos a encontrar un
valor para x si hubiese sido de segundo
grado encontraríamos dos valores para x
si fuera de tercer grado tres valores y
así sucesivamente entonces como es del
primer grado con un simple despeje vamos
a encontrar el dominio entonces la
condición matemáticas es x menos dos
diferente de cero pues vamos a despejar
el x que le estorba x este menos 2 está
negativo lo vamos a pasar al lado
derecho con la operación contraria
recuerden que en un despeje
es la operación contraria entonces este
menos 2 está negativo va a pasar
positivo y listo ese es el dominio x
diferente de 0
entonces vamos a establecer el dominio
con el método analítico vean que aquí es
una una restricción es una cláusula una
cláusula x diferente de 2 qué quiere
decir que el dominio que son valores de
x x puede ser cualquier valor positivo o
negativo entero fraccionario inclusive
el 0 pero no puede ser 2 o sea x no
aceptar únicamente un solo valor que es
el 23 no vamos a poner ni paréntesis ni
corchete como es una excepción vamos a
poner una llavecita
x tal que x sea diferente de dos
entonces cuál es el dominio todo el
conjunto de números reales excepto el 2
ya que es una excepción
ese es el dominio
también lo podemos expresar como un
intervalo como me voy a trazar un
segmento de recta numérica
aquí tenemos menos 10 123 menos 2 acá
tiende al infinito y acá a menos
infinito tenemos este segmento de recta
numérica donde aquí está el 2 verdad un
segmento de recta numérica son valores
de x entonces dice x no puede ser 2 aquí
está el 2 pero no puede ser 2 puede ser
cualquier valor menos 2 - 1 01 1.5 1.9
1.999 99 pero no 2
puede ser 32.5 2.0 12.000 1 pero no 2
entonces se pone aquí un corchete
un paréntesis perdón porque el corchete
en intervalos significa que si toca el
número en este caso no va a tocar el 2
ya que tiende a la izquierda a menos
infinito aquí mismo se pone otro
paréntesis porque nos puede tocar el 2x
pero si cualquier valor mayor que 2
entonces hacia el infinito entonces vean
que el dominio lo podemos expresar así
como una excepción pero el dominio
también se podría expresar como
intervalo recuerden que un intervalo se
escribe de menor a mayor entonces es
desde menos infinito hasta el 2
paréntesis el paréntesis en un número
significa que no puede tocar el 2 no x
no puede ser 2 pero sí puede ser 1.9
99999 pero no 2 unión 2 por paréntesis
porque no puede ser 2 pero sí puede ser
2 puntos 0 0 0 0 0 0 1 pero sin ser 2
ya que tiende a la derecha pues al
infinito
este intervalo de menos 2 al 2 sin tocar
el 2 unión al 2 sin ser 2 hasta el
infinito equivale a lo mismo que esto a
esta excepción x tal que x
diferente de 2 es decir lo pueden
escribir así o lo pueden escribir así es
esto está diciendo exactamente lo mismo
sí bueno este es el dominio ahora vamos
a establecer el contra dominio
el contra dominio son los valores
resultantes en o en fx ya que es igual a
fx entonces el contra dominio es igual
son los valores resultantes en vean que
esto es una división en la función
entonces x puede ser cualquier valor
excepto el 0 entonces si es un valor
negativo un valor negativo menos otro
negativo pues va a ser negativo y más
entre menos menos si este valor es mayor
que 2 pues va a resultar positivo y más
/ más positivo entonces puede resultar
cualquier valor negativo cualquier valor
positivo puede ser entero fraccionaria
la respuesta pero cuál es el único valor
que no va a resultar en ningún momento
ya que es una división vean aquí está 0
porque cuál es la única manera de que
una división resulte 0 pues que el
numerador sea 0 y en esta función que
tenemos de numerador un 1
entonces en ningún momento va a resultar
0 si puede resultar 0.0001 pero no 0
exactamente entonces ese es el contra
dominio puede resultar cualquier valor
del conjunto de números reales excepto
el 0 entonces como también es una
excepción también puedo poner este lo
puedo indicar con una llavecita como
excepción en este caso es el contra
dominó son valores de y entonces
tal que sea diferente de
pero aquí estoy indicando que resulta
cualquier valor excepto el 0 también lo
podemos expresar como intervalo que
quedaría de menos infinito hasta el 0
sin resultar 0 unión 0 sin ser 0 hasta
el infinito
si puede ser menos punto 0 0 0 1 pero no
0.0001 pero no 0
lo más cercano al 0 tanto por la
izquierda por la derecha pero sin ser 0
entonces podemos expresar el control
dominio de esta manera como una
excepción o como intervalo entonces ya
encontramos el dominio y el contra
dominio con el método analítico ahora
con el método gráfico
con el método gráfico pues vamos a
tabular y miren aquí tenemos esta
tabulación le vamos a dar valores a x
para encontrar fx que valores de x le
voy a dar pues x ya sabemos que no puede
ser 2
voy a trazar el segmento de recta
numérica menos 1 012
4 y 5 x no puede ser 2 verdad aquí voy a
estar
entonces x no puede ser 2 pero puede ser
cualquier otro valor antes voy a empezar
en menos 1 x puede ser menos 10 1 el 2 1
3 4 y 5 3 lo voy a dar estos valores de
x los voy a sustituir en la función 3x
voy a empezar cuando x es igual a menos
1 entonces la función fx es igual a 1
sobre x 20 x va a tomar el valor de
menos 1 y menos 1
sustituimos los valores de x entonces
menos 12 menos tres más entre menos
menos uno entre 30 puntos 33 333 hasta
el infinito lo voy a dejar en dos cifras
significativas en la parte fraccionaria
entonces fx equivale a menos punto 33 a
menos 0.33 y así con todos los demás
valores cuando es cero
0 - 2 - 21 entre menos dos menos un
medio que equivale a menos punto 5
cuando es 11 - 2 - 11 entre menos 1 pues
menos 1 cuando es 33 menos 2 111 entre
11 cuando es 44 menos 2 21 entre 2 un
medio que equivale a punto 5 cuando es
55 menos 231 entre 3 un tercio que es
punto 33 y listo ya que tenemos sus
valores pues vamos a graficar
y voy a borrar esta parte
para poder graficar entonces formamos un
pequeño subconjunto de coordenadas
rectangulares que son las que vamos a
graficar ya saben tiene coordenadas x
fx vamos a graficar en el plano donde el
eje horizontal es el eje de las equis y
el eje vertical es el eje de las y fx
que equivale a lo mismo entonces la
primera coordenada es menos uno coma
menos punto 33 menos 1 en x-men 1.33
siguiente coordenada 00 menos punto 50
menos punto 51 menos 11 en x menos uno
en 3,13
ya que no puede ser igualados 3-3 en x 1
y 3 en equis 14.54 en x punto 5 en y en
55 en x punto 33 en miren nos da esos
puntos en el plano si observamos cómo es
la gráfica así o así o así como no
logramos ver realmente cómo es la
gráfica verdad
entonces tenemos que darle más valores a
x porque no logramos ver cómo es la
gráfica pero qué valores de x le vamos a
dar vean que x no puede ser 2
aquí tengo este segmento de recta
numérica x no puede ser 2 entonces nos
vamos a acercar por la izquierda al del
2 y por la derecha del 2
entonces esta tabulación la voy a
ampliar
si la voy a emplear 234 porque no
estamos viendo como es la gráfica
entonces tenemos que darle más valores
qué valores les vamos a dar pues
acercándonos lo más que podamos al 2 por
ejemplo aquí está el 1.5
más cerca del 1.5 pues el 1.8 los
acercándonos al 2 y luego el 1.9 1.9 por
la izquierda ahora por la adherencia
tenemos al 2.5 más cerca es de 2.5 el
2.2 más cerca 2.1 entonces con estos
valores los sustituyen aquí en la
función de x va a tomar el valor de 1.5
1.5 menos dos menos puntos 51 entre
menos 2.5 menos 2 cuando es 1.8 1.8
2 - punto 21 entre menos punto 2 menos 5
cuando es 1.9 1.9 menos dos menos punto
11 entre menos punto 1 menos 10 cuando
es 2.5 2.5 menos 2.5 positivos uno entre
punto 5
ahora cuando 2.2 2.2 22.21 en 3.25 2.1
menos 2
punto 1 1 entre punto 1 pues nos resulta
10 vamos a graficar con estos valores
que ahora tenemos con estas coordenadas
entonces la primera es 1.5 en x menos 2
en 10
siguiente 1.8 en x que coma menos cinco
en menos cinco siguiente 1.9 coma menos
10 1.9 coma menos 10 y ahí ya estamos
viendo cómo va a ser nuestra gráfica el
siguiente punto es dos puntos 5,2
siguiente 2.2 que sería aquí coma
5
luego 2.1 que será como por aquí como 10
muy bien aquí ya vemos cómo es la
gráfica es un segmento de curva que
viene por esta parte
sobre esta parte por este lado
si baja
y por este lado vemos el otro segmento
de curva
entonces
esta es nuestra función fx es igual a 1
sobre x2
tenemos este segmento de curva por acá y
este por acá entonces qué pasa aquí vean
que tenemos 2 a sin total
esta parte para que la gráfica mejor
tenemos 2 assassins totales miren
tenemos una cinta horizontal y una
vertical aquí tenemos una asiento está
vertical
ya que una cinta es una línea imaginaria
que separa lo que está en el plano hoy
aquí la función era un poquito más para
acá entonces la curva quedaba por este
lado
aquí tenemos una sin tota vertical
cuando x es igual a 2 tenemos está sin
tota vertical ya que x no puede ser 2 lo
que ya sabíamos x no puede ser 2 y
tenemos una sin tota horizontal cuando y
es exactamente
0
tenemos estas in total vertical
cuando llegue es igual
entonces tenemos esas dos síntomas por
lo tanto el dominio de esta función
es x tal que x no puede ser 2 vean cómo
tenemos aquí la 5ta y el contra dominio
que son valores de y son tal que ya sea
diferente de cero
no está bien aquí
el contra dominio es igual ayer tal que
yo sea diferente de cero porque vean que
nunca va a resultar 0 nuestra gráfica
puede seguir decreciendo decreciendo
decreciendo acercándose al 0 pero sin
resultar 0 aquí este segmento de gráfica
puede seguir creciendo creciendo
acercándose al 0 pero sin resultar 0 se
les vean como es el dominio pues igual
no puede ser 2 el dominio y el contra
dominio no puede ser 0 no va a resultar
0 lo mismo que ya sabíamos con el método
analítico pero lo estamos comprobando
con el método gráfico y este tipo de
gráficas donde tenemos así dos segmentos
que se le conoce como la gráfica del
boomerang también coloquialmente es
cuando tienen este tipo de divisiones
donde la variable está en el denominador
van a tener este este tipo
característico de gráficas
y este su dominio y su contra dominio
bueno esta ha sido la clase de hoy hasta
pronto
[Música]
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