La Derivada. Pendiente de la Recta Tangente.

Summary

En esta clase magistral, el profesor Sergio, un ingeniero mecánico de la Universidad del Valle en Cali, Colombia, explora la derivada a través de su definición, gráfica y aplicaciones. Se enfoca en cómo la derivada representa la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico. El video guía a los estudiantes a través del proceso de encontrar la ecuación de una recta tangente a una parábola dada, utilizando la definición matemática de la derivada y el concepto de límite. Además, se presentan propiedades de las derivadas y se resuelven problemas prácticos, fomentando un entendimiento profundo del tema. La clase es ideal para estudiantes y profesores interesados en matemáticas y su aplicación en ingeniería.

Takeaways

• 📘 Clase sobre derivadas: Se discute cómo la derivada se relaciona con la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico.
• 📐 Definición de derivada: Se explica que la derivada es el límite cuando el cambio en x tiende a cero, de la diferencia entre la función en x+h y en x dividida por h.
• 🔍 Ejemplo práctico: Se resuelve un problema para encontrar la ecuación de una recta tangente a la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 en el punto x = 2.
• 📈 Concepto de pendiente: Se entiende la pendiente como la variación vertical respecto a la variación horizontal en una recta.
• 📊 Gráficos y visualización: Se utiliza un plano cartesiano para visualizar la función y la recta tangente.
• 🔢 Cálculo diferencial: Se utiliza el cálculo diferencial para aproximar la pendiente de la recta tangente cuando solo se tiene un punto.
• 📐 Factorización y algebra: Se muestra cómo factorizar y manipular algebraicamente las expresiones para eliminar términos y encontrar la derivada.
• 📚 Propiedades de las derivadas: Se repasan propiedades útiles como la derivada de una potencia, la derivada de una constante y la suma de funciones.
• 🛠️ Métodos de derivación: Se comparan diferentes métodos para calcular la derivada, incluyendo el uso de límites y las propiedades mencionadas.
• 👨‍🏫 Presentación del profesor: El profesor Sergio, ingeniero mecánico, imparte la clase y anima a los estudiantes a interactuar y compartir los materiales.

Q & A

¿Qué tema trata la clase mencionada en el guion?

La clase trata sobre la derivada, incluyendo su definición, su representación gráfica, y cómo se relaciona con la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico.

¿Cuál es la función dada en el guion para encontrar la recta tangente?

La función dada es f(x) = -x^2 + 6x + 5, que representa una parábola de segundo grado.

¿En qué punto se busca la recta tangente en la función mencionada?

Se busca la recta tangente en el punto donde x = 2.

¿Cómo se define la pendiente de una recta en el guion?

La pendiente de una recta se define como el grado de inclinación de la recta, que se calcula como la razón entre la variación vertical (delta y) y la variación horizontal (delta x).

¿Qué es la derivada según el guion y cómo está relacionada con la recta tangente?

La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico. Se calcula a través del límite cuando la distancia entre dos puntos (h) tiende a cero.

¿Cómo se calcula algebraicamente la derivada de la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 en el punto x = 2?

Se calcula sustituyendo x por 2 en la expresión de la derivada f'(x) = -2x + 6, lo que resulta en f'(2) = -4 + 6 = 2.

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 en el punto x = 2?

La ecuación de la recta tangente es y = 2x + 1, donde la pendiente (m) es 2 y el punto de corte con el eje y (b) es 1.

¿Qué propiedades de las derivadas se mencionan en el guion para simplificar cálculos?

Se mencionan varias propiedades, como la derivada de una potencia de base x, la derivada de una constante multiplicada por x, la derivada de una constante, y la suma de funciones.

¿Cómo se pueden aplicar las propiedades mencionadas para derivar la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 de una manera más rápida?

Se puede aplicar la propiedad de la suma de funciones para derivar cada término por separado y luego sumar los resultados, lo que resulta en f'(x) = -2x + 6.

¿Quién es el profesor que imparte la clase y en qué universidad enseña?

El profesor es Sergio, ingeniero mecánico, y enseña en la Universidad del Valle en Cali, Colombia.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la derivada y su significado

El primer párrafo introduce el tema de la derivada, explicando que se trata de una clase sobre este concepto matemático. Se menciona que se explorará desde su gráfica hasta su definición como pendiente de una recta. El vídeo se centrará en resolver un problema práctico, el cual es encontrar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto específico. Se presenta la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 y se busca la recta tangente en el punto x = 2. Se entiende que la derivada representa la pendiente de la recta tangente, y se introduce el concepto de tangente versus secante, explicando que la tangente es una línea que toca la curva en exactamente un punto.

05:02

🔍 Definición de pendiente y ecuación de una recta

Este párrafo profundiza en la definición de pendiente como la inclinación de una recta, y cómo se relaciona con la derivada. Se describe la forma general de una recta en la función lineal 'y = mx + b', donde 'm' es la pendiente y 'b' es el punto de corte con el eje y. Se explica cómo se calcula la pendiente a partir de dos puntos en la recta, utilizando la diferencia en y (Δy) dividida por la diferencia en x (Δx). Se ilustra con un ejemplo práctico, y se establece la base para entender la derivada como una pendiente en el contexto de una función matemática.

10:03

📈 Explicación del cálculo diferencial y la derivada

El tercer párrafo se enfoca en el cálculo diferencial, que es el método para determinar la pendiente de una recta tangente cuando solo se tiene un punto. Se introduce la variable 'h' para crear un segundo punto cercano al primero (x + h), y se describe cómo se usa para aproximar la pendiente de la recta tangente. Se discute la estrategia de acercar los dos puntos hasta que casi se toquen, lo que lleva a la definición de derivada como un límite cuando h tiende a cero. Se resalta la importancia de este concepto para el cálculo de la derivada en un punto específico.

15:04

🧮 Cálculo de la derivada y el diferencial

En este párrafo, se aborda el cálculo de la derivada de la función dada en el vídeo. Se muestra el proceso de cálculo del límite cuando h tiende a cero, que es la definición de la derivada. Se resuelve algebraicamente el límite para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 2. Se detallan los pasos para simplificar la expresión algebraica y se cancelan términos para obtener la derivada f'(x). Se enfatiza la importancia de esta derivada para encontrar la ecuación de la recta tangente.

20:06

🎯 Aplicación de la derivada para encontrar la recta tangente

Este párrafo se centra en cómo se utiliza la derivada para encontrar la ecuación exacta de la recta tangente. Se calcula el valor de la función en el punto x = 2 y se sustituye en la derivada para obtener la pendiente en ese punto. Luego, se utiliza la pendiente y el punto en el que la recta corta el eje y para determinar completamente la ecuación de la recta tangente. Se describe el proceso geométrico de cómo se construye el triángulo rectángulo para entender la relación entre la pendiente y la ecuación de la recta.

25:07

📘 Propiedades de las derivadas y resolución alternativa

El sexto y último párrafo explora propiedades adicionales de las derivadas, como el manejo de potencias, constantes y sumas de funciones. Se presentan métodos rápidos para derivar funciones basadas en estas propiedades. Se muestra cómo se pueden derivar funciones de forma más eficiente utilizando estas reglas, y se aplica este conocimiento para derivar la función dada de una manera diferente a la utilizada previamente. Finalmente, se ofrece información sobre el profesor y se invita a los espectadores a interactuar con el canal y a apoyar la creación de más contenido educativo.

Keywords

💡Derivada

La derivada es una de las nociones fundamentales en el cálculo diferencial y representa la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico. En el vídeo, la derivada se utiliza para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto x=2. Se define matemáticamente como el límite cuando h tiende a cero de (f(x+h) - f(x))/h, lo cual se demuestra con un ejemplo práctico en la clase.

💡Función

Una función en matemáticas es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función f(x) = -x^2 + 6x + 5 es utilizada para ilustrar cómo se calcula la derivada y cómo se determina la recta tangente en un punto específico de su gráfica.

💡Recta tangente

La recta tangente es una línea que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. En el vídeo, se busca encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola dada en el punto x=2, lo cual es crucial para entender cómo la derivada se relaciona con la geometría de las curvas.

💡Pendiente

La pendiente es una medida de la inclinación de una línea, y en el contexto del vídeo, es equivalente a la derivada de una función en un punto dado. Se menciona que la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es la derivada de la función en ese punto, y se ilustra cómo calcularla tanto de manera algebraica como utilizando límites.

💡Límite

El concepto de límite es esencial en el cálculo y se refiere a la tendencia de un valor a aproximarse a otro valor cuando las variables cambian. En el vídeo, el límite se utiliza para definir la derivada, donde se considera el límite de (f(x+h) - f(x))/h cuando h tiende a cero.

💡Producto notable

Un producto notable es una forma de simplificar el producto de dos binomios que son sumas o restas de términos. En el guion, se utiliza el producto notable para expandir (x+h)^2, lo que es esencial para simplificar la expresión y calcular la derivada de la función dada.

💡Factorización

La factorización es el proceso de expresar una expresión matemática como el producto de sus factores. En el vídeo, se utiliza la factorización para simplificar la expresión obtenida al calcular la derivada, permitiendo así cancelar términos y encontrar la pendiente de la recta tangente.

💡Ecuación

Una ecuación es una afirmación matemática que equilibra dos expresiones a través de un símbolo igual. En el contexto del vídeo, la ecuación de la recta tangente se determina a partir de la pendiente y el punto de corte, lo que se consigue a partir de la función dada y su derivada.

💡Concavidad

La concavidad de una función se refiere a la forma en que la función se curva. En el vídeo, se menciona que la función dada tiene concavidad negativa debido al signo negativo del término de x^2, lo que afecta la pendiente de la recta tangente en diferentes puntos de la función.

💡Propiedades de la derivada

Las propiedades de la derivada son reglas que permiten calcular derivadas de funciones más complejas a partir de funciones más simples. En el vídeo, se mencionan varias propiedades, como la suma de funciones, el producto de funciones y la derivada de una constante, que son útiles para simplificar el proceso de derivación.

Highlights

La clase trata sobre la derivada, su definición y sus aplicaciones.

Se explica la derivada como la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico.

Se resuelve un problema práctico para encontrar la ecuación de una recta tangente a una parábola dada.

Se introduce la definición matemática de la derivada utilizando el concepto de límite.

Se analizan las propiedades de la derivada y cómo se pueden aplicar para resolver problemas matemáticos.

Se discute la importancia de la pendiente en el contexto de las rectas y las curvas.

Se describe el proceso de cálculo diferencial para determinar la pendiente de una recta tangente.

Se explica cómo se usa el concepto de límite para definir la derivada cuando solo se tiene un punto.

Se detallan los pasos para calcular la derivada de una función cuadrática dada.

Se resuelve algebraicamente la indeterminación que surge al calcular la derivada.

Se demuestra cómo se obtiene la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico.

Se utiliza la derivada para encontrar la ecuación de la recta tangente en un punto dado.

Se presentan propiedades adicionales de las derivadas, como el efecto de potencias y constantes en la función derivada.

Se muestra una segunda forma más rápida de derivar utilizando propiedades de las derivadas.

Se invita a los estudiantes a interactuar con el contenido y a los profesores a compartir las notas con sus estudiantes.

Se ofrece la posibilidad de apoyar la creación de más contenido educativo a través de la membresía en el canal.

Transcripts

o la ingeniosos e ingeniosas hoy

tendremos una espectacular clase sobre

la derivada recuerda que las notas de

esta clase van a quedar aquí abajo en la

descripción del vídeo veremos la

derivada desde su gráfica a su

definición la derivada como pendiente de

una recta y entenderemos el concepto de

pendiente de una recta

solucionaremos un problema en el que

vamos a encontrar la ecuación de una

recta tangente a la curva en un punto

solucionaremos la derivada usando su

definición matemática la definición del

límite veremos algunas propiedades de la

derivada y las usaremos iniciemos con

nuestro problema que dice el problema

que tenemos que hacer

debemos determinar la ecuación de esta

recta que es tangente a la gráfica de la

función fx igual a menos x al cuadrado

más 6 x 5 es esta parábola una función

cuadrática de segundo grado en el punto

x igualados vamos a encontrar la

ecuación de esta recta es tangente a

esta curva en ese punto

necesitamos reconocer primero que nos

entregan una función esta función que es

como decía ahora una función cuadrática

que tiene esa función un punto un punto

y si tengo un punto de coordenadas a x

iguala a su imagen es f

de a

esta es la imagen de esa fx

en este punto de hecho ese punto desde

coordenadas a coma efe y la recta

tangente a la función en ese punto igual

x igual a que significa que la recta sea

una tangente la palabra tangente

significa que toda la curva en un punto

esta recta es tangente a la curva porque

la toca en un punto

si yo pongo esta recta ahí están gente

la está tocando en este punto

ahí están gente tan gente tan gente a la

curva

esto es una recta tangente que toca la

curva en un punto si no la toca en un

punto sí no

y atraviesa es una recta secante es una

recta transversal porque la corta en dos

puntos pero en este caso es no es

secante es tangente eso es una recta

tangente a la función fx en el punto x

igual a a

donde la imagen de aes efe vea y que es

una derivada la derivada

la pendiente atención que es pendiente

pendiente es el grado de inclinación de

la recta la pendiente de edad que tan

inclinada está si es horizontal en este

caso si la recta es tangente a la curva

en el punto más alto de ella la recta es

horizontal por lo tanto su pendiente es

cero

si la inclinamos así tenemos pendiente

negativa

pendiente 0 pendiente positiva en este

caso está pendiente es positiva y que es

la derivada

la derivada es la pendiente

de esta recta que es tangente a esta

curva en ese punto

derivada pendiente de la recta tangente

a la curva en un punto para determinar

matemáticamente la pendiente de una

recta vamos a partir de un plano

cartesiano x

vamos a sustituir fx como ya para

entender lo de la pendiente sobre ese

plano cartesiano vamos a dibujar una

recta en esta recta

esta recta toca el eje y en este punto

es dependiente positiva y la podemos

describir de la forma de igual a mx + b

donde m es la pendiente el coeficiente

que acompaña a la variable independiente

que está elevado a la 1 porque es una

función lineal si estuviera elevado a un

número diferente de 1 esta gráfica no

sería una recta

esta es una recta porque esta variable x

la variable independiente está elevada a

la 1

y ve es el punto de corte de esta recta

con el eje y esta es la ecuación de

cualquier recta tomemos dos puntos el

punto de uno y el punto de 22 puntos

arbitrarios cualquiera sobre la recta

toda recta puede estar determinada por

dos puntos el punto uno tiene

coordenadas x 1 y 1 la imagen de x 1 en

el punto 1 es de 1 y el punto 2 tiene

coordenadas x 2 es la abscisa y su

imagen la ordenada es de 2.1 de

coordenadas x 1 y 1 y punto pero de

coordenadas x 2 y 2 de esta recta en

general

se me forma este triángulo rectángulo

donde si este triángulo de rectángulo

esto es de 90 grados a estos segmentos

azulitos les llamamos catetos y la

hipotenusa es el segmento que va desde p

1 hasta el 2

a este segmento a este cateto lo he

llamado delta x porque delta x delta la

letra del alfabeto griego que significa

diferencia es la diferencia que hay

entre x1 y x2 es decir su resta

y para determinar la longitud de este

segmento debemos de término debemos

restar x 2 que es la distancia que hay

desde el punto de origen 0 hasta x2

menos x 1 que es esta distancia

escribamos un ejemplo si este x2 vale 12

y x 1 vale 4 cuando hay entre x1 y x2

pues simplemente restamos como acá 12

menos 4 que nos da 8 este segmento mide

8 eso es delta x siempre un delta es

final menos inicial posición final menos

posición inicial y lo que hicimos en x

lo hacemos también en delta y éste

cateto es de 2 menos de 1 este segmento

este segmento tengo este triángulo delta

x del calle y bueno porque lo hicimos

porque estamos buscando la definición de

pendiente y la pendiente de cualquier

recta es la razón la división la

comparación entre este detalle y este 30

x

del taller en el numerador delta x en el

denominador y se simboliza con la letra

m m es la pendiente el grado de

inclinación de la recta y siempre es la

razón entre el detalle y el delta x la

variación vertical respecto a la

variación horizontal y este detalle es

de 2 menos de 1 y el delta x x 2 - x 1

esta es una relación matemática que te

permite dados dos puntos con sus

coordenadas determinar la pendiente de

una recta y es la razón entre de dos

menos de uno sobre o dividido entre x 2

- x 1 es fundamental porque nos vamos a

valer de esta relación

para el concepto de derivada porque la

derivada es una pendiente como

necesitamos la ecuación de esta recta

que están gente a la curva en este punto

vamos a determinar su pendiente la

pendiente de esta recta tangente a esta

curva en el punto x iguala a y a eso se

le llama derivada vamos a calcular su

derivada pero

como veíamos ahora

para poder calcular una pendiente

necesitamos dos puntos

y aquí tenemos un solo punto porque esta

recta no no es secante es tan gente no

la corta en dos puntos la corta en un

solo punto en este dakar ambas que

hacemos como nos las ingeniamos para

llegar a la definición de derivada como

una pendiente si no nos cortan dos

puntos no tenemos dos puntos tenemos

solo uno entonces vamos a usar el

cálculo diferencial

y cómo lo hacemos

vamos a ubicar una recta

que si tenga nuestros dos puntos esta

recta tiene estos dos puntos este punto

no vamos a llamar x un punto x d el eje

x y su imagen es f de x atención

convenientemente la distancia que hay

entre este x y este punto lo vamos a

llamar h h queremos que se llame h no no

se va a llamar delta x se va a llamar h

sabemos que desde él está x pero lo

vamos a llamar h

y este otro punto sería x + h x + h y su

imagen como sería su imagen la imagen de

x + h efe gx más h y se me forma este

segmento y este triángulo que ya vimos

que nos sirve para determinar la

pendiente de esta recta como sería la

pendiente de esta recta hasta ahí en tu

cuaderno toma nota escribe

cuál crees tú que es la pendiente de

esta recta

según la definición que vivimos ahora

recuerdas que dijimos que la pendiente

es de 2 menos de 1 sobre x 2 - x 1 pero

llegados aquí quienes a efe xh ig1 fx y

x2 x + h y x1x como sería aquí divide

efe xh que es 2 menos

/

x menos

y estamos usando nuestra definición la

que ya vimos la que ya entendimos

algebraica mente esto aquí que podemos

hacer términos semejantes x menos x y x

menos x se cancelan que me queda h

entonces la pendiente de esta recta es

fx más h fx sobre h muy bien ahora

qué vamos a hacer cuál va a ser nuestra

estrategia iniciamos aquí el cálculo

diferencial

vamos a ir aproximando esta recta la

vamos a ir inclinando inclinando

inclinando de tal forma que estos dos

puntos cada vez más se van acercando van

tendiendo tienden estos dos puntos

tienden a convertirse a medida que la

entre más la inclino tienden a

convertirse en uno solo tienden a hay

una tendencia y por lo tanto vamos a ir

cerrando estas a medida que vamos

inclinando esta recta a esta h va

disminuyendo

va disminuyendo se va haciendo cada vez

más pequeña y entonces si cada vez se

hace más pequeña

sin ir a miami no me quiero que observes

lo que vamos a hacer es tópico

crítico

pero cada vez más pequeña

cada vez más pequeña claro es la

pendiente de sí sí es la pendiente cada

vez más pequeña y ese cada vez más

pequeña es que cuando esta recta fucsia

coincida con esta otra recta vinotinto

esta h cuánto va a ser

pero tiende a cero hay una tendencia a

cero y es el lenguaje tiende a en

matemáticas es un límite

estamos entonces en el cálculo de

límites allá cuando es

la relación matemática

se convierte en un límite cuando h

tiende a cero cuando esto ya casi iba

desde diferentes nos convertimos en lo

límite porque porque allá cuando éste h

tiende a cero ahora se llama un

diferencial de minúscula x es un

diferencial esto es tan tan tan tan tan

tan tan tan tan angosto ph tiende a cero

y este es uno de fx porque también

nuestro fx más h

fx se convirtió en un diferencial

entonces este es este límite si nos

permite calcular la pendiente de esta

recta en ese punto cuando tenemos un

punto

está en la definición de límite donde

podemos determinar con un solo punto la

pendiente de la recta tangente a la

curva en ese punto

y es la razón entre el diferencial de fx

de x la derivada la podemos

simbolizar como la función prima fx

prima

en algunas partes le ponen de prima en

otras de derivada de fx hay diferentes

formas de expresar belle de x

este lo usamos mucho en la universidad

cuando yo estudié ingeniería mecánica

derivamos de esta forma de x nos daban

la función de x o f prima de equis o ye

prima que son muy usadas todas estas son

muy usadas para nuestro problema no se

entregan esta función esta parábola

concavidad negativa la concavidad

negativa cuando el coeficiente de la

variable que está elevada al cuadrado es

negativo con realidad negativo

y necesitamos determinar la pendiente de

esta recta tangente a la curva en un

punto x que ya sabemos que es 2 de tal

manera que está pendiente la podemos

encontrar como la derivada de nuestra

función y esa derivada es el límite

cuando h tiende a 0 de fx + h - f x

sobre h de esta función solucionemos

este límite como sería efe de x + h el

límite es la razón

/ efe xh que vamos a escribir entre este

par de corchetes

- - efe de x

esta es nuestra función fx efe xh

sustituir esta x por x + h en vez de

escribir x escribimos x + h y nos queda

de esta forma - ya no es x es x + h x +

h al cuadrado más 6 x x + h menos 55

menos nuestra función está por acá

estamos siguiendo la instrucción de cómo

determinamos nuestra derivada

el límite cuando h tiende a cero es la

diferencia

/ / h

no lo podemos solucionar directamente

porque si sustituimos h por 0

esta relación se mente termina debemos

algebraica mente eliminar esa

indeterminación esta h y ahora vamos a

operar algebraica mente que es lo

primero que podemos hacer este binomio

al cuadrado un producto notable x más h

al cuadrado es dejamos el signo menos a

fuera y es el primero al cuadrado más

dos veces el duplo del primer término

por el segundo más el segundo término al

cuadrado acuérdate de ese producto

notable por acá arriba te voy a dejar el

enlace a un vídeo donde explique los

cinco productos notables más usados que

éste está entre uno de ellos ya

solucionamos este vámonos más aquí que

hacemos propiedad distributiva 6 x x 6 x

6 x h 6 h 6 x 6 h menos 5

aquí este menos me cambia los signos de

los términos que están dentro de los

corchetes menos por menos más x cuadrado

menos por más menos menos por menos más

recambio menos a más más a menos menos a

más

y ahora qué hacemos por acá lo mismo

este signo negativo me va a cambiar

estos signos este más x cuadrado me

queda menos x cuadrado

- por más menos - por más menos más 6 x

6 h menos cinco más x cuadrados menos 6

x 5 muy bien sigamos aquí vemos que esté

menos x cuadrado se me va a cancelar con

este más x cuadrado este 6x se me va a

cancelar con este menos 6x y este

negativo 5 se me va a cancelar con este

positivo 5 y que me queda menos 2x h

menos 2 x h - h cuadrado más 6 h y como

haces tú para poder eliminar esa

indeterminación

para cancelar la h de abajo observa que

el numerador no puedes factorizar caso

de factorización factor común por aquí

arriba te voy a dejar el enlace donde

explicó los siete casos de factorización

más usados y este es uno de ellos uno de

los más usados factor común tú ahí en tu

cuaderno factor con un h cómo sería

h factor de menos 2x dividimos este

término entre h se cancela h con h y me

queda menos 2x h cuadrados se cancela un

cuadrado uno de los dos baches con esta

me queda una sola h - h se cancela esta

h con estaba tiene que dar sobre el 6 y

ya ahora sí puedo cancelar h con h

sin chance se me cancela y que me queda

menos 12 x menos h más 6

este límite lo puedo determinar cuando h

tiende a cero si directamente puedo

decir que si sustituyó a h por 0 esto me

queda menos 2 x más 6 y he encontrado ya

mi pendiente

la derivada es decir la pendiente de la

recta tangente la curva en un punto es

esta expresión matemática pero recuerda

que es en el punto de x igual a 2 vamos

a encontrar primero efe de 2 la imagen

de este 2 sustituimos esta x por 2 x 2 x

2

efe de 2 sería menos en vez de x 2 al

cuadrado en vez de x 2 - 2 al cuadrado

46 x 22 menos 412 menos 512 menos 48

menos 53 por lo tanto una imagen de ese

punto de 2 en ese punto es 3 y ahora

vamos

a sustituir en nuestra derivada f prima

de en 2 y sustituimos esta x por 2 - 2 x

2 menos cuatro más seis y menos 462 que

significa ese dos sb2 es la pendiente de

esta red

si es la pendiente de esta recta ams-2

lo podemos reescribir como 2 sobre 1 y

recuerda que la pendiente de la

variación en jr respecto a la variación

en x

si es esta variación del taller 2 y

delta x es 1 podemos hacer lo siguiente

geométricamente mucha atención

se construye este triángulo rectángulo

donde la variación en x es uno de esta x

es uno de esta x es uno y del calles dos

del taller 2 muy bien bueno y por qué

estás haciendo eso profe me confundiste

porque ya tenemos la pendiente

recuerda que el objetivo es encontrar la

ecuación de esta recta como ya tenemos

la pendiente me falta el punto de corte

con el eje y este

voy a encontrar este punto de corte

estévez y me voy a va a leer de su

pendiente para poder llegar acá por cada

uno en x son 2 en g entonces aquí serían

2 en 1 en x 2 en 1 en x y ya qué punto

llegamos al menos 1

porque llegamos al menos uno pues si

tenemos 33 - 21 1 - 2 - 1

ya tenemos que estar nuestra bi y si esa

nuestra b

y las pendientes dos simplemente llegó a

la mx

sustituimos m por 2 y sustituimos b por

1 y hemos encontrado la ecuación de la

recta tangente a esta curva a esta

función en el punto x igual a 2

solucionamos nuestro problema pero

espérate un momentico no te vayas no

hemos terminado vamos a hacerlo de otra

forma más rápido

recordemos algunas propiedades de las

derivadas

si yo tengo una función su derivada es

el límite cuando h tiende a cero

fx sobre muy bien si tú tienes

cómo funciona una potencia de base x

como variable y exponente en su derivada

es tomás este exponente no bajas aquí

como coeficiente n ya está en el resto

es 1

una manera mecánica de solucionar

rápidamente la derivada de esta función

como sería la derivada de una función

cuando tengo un coeficiente a

simplemente hacemos lo mismo de aquí

arriba está n va a multiplicar a la a me

queda de nécora estã n multiplica a la a

entonces esta es una manera rápida de

para determinar esta derivada también si

la función es a un número a un real a

una constante a por la variable x su

derivada es la constante

igual otra propiedad si tengo como

función una variable solita sin elevar a

la nada 5 eficiente ahí su derivada es 1

y si tengo como función constante una

constante la derivada de cualquier

constante es cero

y finalmente una propiedad importante si

tengo como si tengo que una función es

la suma de dos o varias funciones

la derivada es la suma de la derivada de

cada una de las funciones

más adelante en otro vídeo vamos a

trabajar la derivada de un producto y la

derivada de un cociente

vamos a usar estas relaciones para

derivar de otra forma la que ya hicimos

como tienes que fx es la suma de estos

tres términos y vamos a derivar pues la

derivada de una suma es la suma de sus

derivadas entonces vamos a derivar esta

vamos a derivar esta y vamos a derivar

esto sí vamos a derivar esta recordemos

que ésta la podemos ver de esta forma

que hacemos está en baja a multiplicar a

la y se le resta un 1 al aire entonces

el tec 2 bajaba a multiplicar al menos 1

este es un -1 ya esté o no restamos 1

ahora está está derivada 6 por equis

recuerda que si tengo la derivada de una

constante por x la derivada es la

constante por lo tanto la derivada de 6x

es 6 y menos 5 la derivada de una

constante es 0 por lo tanto la derivada

de menos 5 es cero

ya ahora 2 x menos 10 2

x a las dos menos 1 x a la 1 nos escribe

el exponente más 60 y ya terminamos eso

es todo lo hicimos de otra forma mucho

más rápido si quieres puedes hacerlo

directamente de aquí acá input este 2 x

menos 1 - 2 x a la 2 - 11 derivar ese es

el 15 6 y el 50 y ya listo muy bien soy

el profesor sergio ya nos ingeniero

mecánico de la universidad del valle en

cali colombia

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clase están aquí abajo en la descripción

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