SISTEMA DE NÚMEROS REALES (INTRODUCCIÓN)
Summary
TLDREl script presenta una introducción al estudio del sistema de números reales, enfatizando la diferencia entre un conjunto y un sistema. Se discuten tres razones para estudiar este sistema: su utilidad para representar cantidades, su rol como laboratorio matemático y su importancia en la construcción de sistemas de coordenadas. Se definen las operaciones de adición y multiplicación, y se establecen los axiomas de cuerpo, orden y completitud que rigen el sistema de números reales, preparando al espectador para una comprensión más profunda en futuras lecciones.
Takeaways
- 📚 La diferencia entre un conjunto y un sistema: Un conjunto es una agrupación de objetos, mientras que un sistema es un conjunto más reglas que permiten la interacción entre sus elementos.
- 🔍 El sistema de números reales es esencial para representar cantidades resultantes de experimentos y mediciones, y supera las limitaciones de los sistemas de números naturales, enteros y racionales.
- 📏 El sistema de números reales permite distinguir y representar números positivos, negativos, racionales e irracionales en una recta real.
- 🧪 Los números reales son un laboratorio matemático donde se pueden manipular y observar el comportamiento de objetos en un primer sistema unidimensional.
- 📐 La representación geométrica del sistema de números reales permite realizar operaciones como la unión, intersección, diferencia y el complemento entre conjuntos.
- 🌐 El sistema de números reales es fundamental para construir sistemas de coordenadas bidimensionales y tridimensionales, y es útil en el estudio de álgebra lineal y espacios vectoriales.
- ⚙️ Las leyes que definen el sistema de números reales son las operaciones de adición y multiplicación, que se asocian con el conjunto de números racionales y los irracionales.
- 🔢 El sistema de números reales, denotado por R, es el conjunto que resulta de la unión de los números racionales e irracionales, y se asocia con las operaciones de adición y multiplicación.
- 📜 Los axiomas del cuerpo establecen propiedades como la conmutatividad, asociatividad, distributividad, la existencia de elementos neutros y los inversos aditivos y multiplicativos.
- ⏫ Los axiomas de orden definen el conjunto de números reales positivos y establecen que la suma y multiplicación de números positivos resultan en un número positivo, y que cero no es un número positivo.
- 🔑 El axioma de supremo o completitud garantiza que todos los conjuntos no vacíos y acotados superiormente tienen un supremo en el sistema de números reales, asegurando que no falte ningún elemento.
Q & A
¿Qué es un conjunto y cómo se diferencia de un sistema?
-Un conjunto es una agrupación o colección de objetos o elementos, mientras que un sistema es un conjunto más reglas o leyes que permiten la interacción entre los objetos que lo componen.
¿Por qué es importante estudiar el sistema de números reales?
-Es importante porque el sistema de números reales es el ámbito ideal para representar cantidades resultantes de experimentos y mediciones, y tiene la capacidad de abarcar números naturales, enteros y racionales, así como también números irracionales.
¿Cuáles son las limitaciones de los números naturales, enteros y racionales?
-Los números naturales no incluyen cantidades negativas, los enteros si incluyen cantidades negativas pero no razones, y los racionales son razones donde el denominador no puede ser cero.
¿Cómo se representa el sistema de números reales en una recta real?
-Todos los números reales, sean racionales o irracionales, se pueden representar en una recta real, distinguiendo así los números positivos y negativos.
¿Qué es un laboratorio matemático y cómo se relaciona con el sistema de números reales?
-Un laboratorio matemático es un entorno donde se pueden manipular y observar el comportamiento de diferentes objetos; el sistema de números reales actúa como un laboratorio unidimensional donde se pueden realizar operaciones como la unión, intersección, diferencia y el complemento.
¿Cómo se define formalmente el sistema de números reales?
-El sistema de números reales se define formalmente como el conjunto de números reales, asociado a las operaciones de adición y multiplicación, y una relación de orden, denotado por R, que cumple con un conjunto de axiomas de cuerpo, orden y completitud.
¿Cuáles son las operaciones asociadas al conjunto de números reales?
-Las operaciones asociadas al conjunto de números reales son la adición y la multiplicación.
¿Cuáles son los axiomas de cuerpo que definen el sistema de números reales?
-Los axiomas de cuerpo incluyen la conmutatividad, asociatividad, distributividad, la existencia de elementos neutros aditivo y multiplicativo, y la existencia de inversos aditivos y multiplicativos (para todos los reales excepto el cero).
¿Qué son los axiomas de orden y cómo se relacionan con el sistema de números reales?
-Los axiomas de orden se refieren a las desigualdades y definen el conjunto de números reales positivos, asegurando que todos los elementos son positivos o negativos y que 0 no pertenece a los reales positivos.
¿Qué es el axioma de supremo y cómo afecta el sistema de números reales?
-El axioma de supremo, también conocido como completitud o continuidad, garantiza que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo, lo que significa que no falta ningún elemento en el sistema de números reales.
¿Cuáles son algunos de los temas que se estudiarán en el sistema de números reales?
-Entre los temas que se estudiarán se encuentran las ecuaciones, inecuaciones, el valor absoluto, el máximo entero y los grupos de axiomas de cuerpo, orden y completitud.
Outlines
📚 Introducción al Sistema de Números Reales
El primer párrafo presenta una introducción al estudio del sistema de números reales, señalando la diferencia entre un conjunto y un sistema. El licenciado Bolívar explica que un conjunto es una agrupación de elementos, mientras que un sistema incluye reglas o leyes que permiten la interacción entre esos elementos. Se mencionan tres razones para estudiar los números reales: su utilidad para representar cantidades resultantes de mediciones, su papel como laboratorio matemático para observar el comportamiento de objetos y su importancia en la construcción de sistemas de coordenadas multidimensionales. Además, se destaca la representación gráfica de estos números en una recta real y las operaciones que se pueden realizar con ellos.
🔢 Definición y Axiomas del Sistema de Números Reales
El segundo párrafo se enfoca en definir formalmente el sistema de números reales, que es el conjunto de números racionales e irracionales, junto con las operaciones de adición y multiplicación y una relación de orden. Se detallan los axiomas que rigen este sistema, incluyendo la acción de cuerpo con sus propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, la existencia de elementos neutros y los inversos aditivos y multiplicativos. También se introducen los axiomas de orden, que definen los números reales positivos y negativos, y se establece que cero no es un número positivo. Este párrafo establece las bases para entender la estructura y las propiedades del sistema de números reales.
📐 Axioma de Supremo y Consecuencias en los Números Reales
El tercer párrafo explora el axioma del supremo o de completitud, que garantiza que todos los subconjuntos acotados y no vacíos de números reales tienen un extremo superior. Esto asegura la existencia de límites y la 'completitud' del sistema, evitando la falta de elementos en el conjunto de números reales. Se resalta la importancia de estos axiomas para construir las propiedades y consecuencias del sistema de números reales, que serán aplicados en el estudio de ecuaciones, inecuaciones, el valor absoluto y el máximo entero. El video concluye mencionando que estos temas se analizarán en futuras sesiones.
Mindmap
Keywords
💡Sistema de números reales
💡Conjunto
💡Números naturales
💡Números enteros
💡Números racionales
💡Números irracionales
💡Operaciones
💡Relación de orden
💡Axiomas
💡Completitud
Highlights
Introducción al estudio del sistema de números reales.
Diferencia entre un conjunto y un sistema: un conjunto es una agrupación de objetos, mientras que un sistema incluye reglas o leyes.
El sistema de números reales es esencial para representar cantidades resultantes de experimentos y mediciones.
Limitaciones de los números naturales, enteros y racionales en la representación de cantidades.
Los números racionales son la comparación entre dos magnitudes con el denominador distinto de cero.
Todos los números reales, racionales e irracionales, se pueden representar en una recta real.
El sistema de números reales como un laboratorio matemático para manipular y observar el comportamiento de objetos.
Posibilidad de realizar operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento en el sistema de números reales.
El sistema de números reales permite construir nuevos sistemas de coordenadas bidimensionales y tridimensionales.
Importancia del sistema de números reales en el estudio de álgebra lineal y espacios vectoriales.
Definición formal del sistema de números reales como el conjunto de números reales con operaciones de adición, multiplicación y relación de orden.
Axiomas de cuerpo: propiedades conmutativas, asociativas, distributivas, existencia de elementos neutros y la propiedad del inverso aditivo.
Axiomas de orden: definición de números reales positivos y las propiedades relacionadas con la desigualdad.
Axioma del supremo o completitud: garantía de que no falte ningún elemento en los números reales.
Resumen de la definición del sistema de números reales y sus axiomas.
Temas futuros de estudio: ecuaciones, inecuaciones, valor absoluto, máximo entero y consecuencias de los axiomas.
Transcripts
Saludos y Sean bienvenidos todos los
estudiantes y visitantes de este su
canal soy el licenciado Bolívar y el día
de hoy haremos una introducción al
estudio del sistema de números reales
iniciemos formulándonos la siguiente
pregunta un conjunto y un sistema son
iguales
y la respuesta definitiva es que no
puesto que el conjunto es una relación
una agrupación una colección de objetos
llamados elementos habitantes o puntos y
el sistema el sistema es Ese Conjunto
más reglas o leyes van a permitir
interactuar entre los objetos que están
dentro del conjunto la segunda pregunta
naturales y por qué es necesario
estudiar el sistema de números reales en
este material se Proponen tres posibles
respuestas una de ellas es que el
sistema de números reales es el ámbito
ideal para representar cantidades esas
cantidades definitivamente son resultado
de experimentos y la medición de
diferentes objetos y debido que es el
ámbito ideal porque tenemos el sistema
de hongos naturales el sistema de
números enteros el sistema números
racionales y vemos que en cada uno de
ellos tienen ciertas limitantes por
ejemplo en los números naturales 1 2 3
se pueden contabilizar de esa forma No
pero nos faltaría cantidades negativas
salimos a los enteros ya tenemos
cantidades negativas pero nos faltarían
las razones y de ahí viene el término de
números
racionales razones es decir la
comparación entre dos
magnitudes con la condición con la
condición de que el denominador tenga
que ser distinto de Cero y esta regla
nos acompañará durante todo el estudio
del cálculo Así mismo podemos
representar no en una recta real y
distinguir Quienes son positivos y
negativos y todos los números sin
excepción sean racionales o irracionales
se pueden Representar en esta recta real
esta segunda posible respuesta también
es muy interesante porque nos permite
afirmar que el sistema de números reales
es un laboratorio matemático Y qué se
hace en un laboratorio se puede
manipular y se puede observar el
comportamiento de diferentes objetos en
este caso va a ser nuestro primer
sistema
unidimensional en una sola dimensión
aquí tenemos por ejemplo la ubicación de
un punto x Sub Zero igual a menos 2 un
intervalo de 0 hasta pi cerrado en cero
pero abierto en Pi y aquí está el
conjunto no solo eso también podemos
Hallar el máximo entero el valor
absoluto y manipular es decir por
ejemplo Aquí tengo el conjunto a y el
conjunto B puedo realizar las
operaciones de Unión intersección
diferencia el complemento pero
utilizando esta representación
geométrica del sistema de números reales
y nuestra tercera respuesta será que el
sistema de números reales va a permitir
construir nuevos sistemas de coordenadas
aquí hay solamente dos ejemplos el
sistema bidimensional y el sistema
tridimensional aquí se cumplen las
propiedades que se estudian en el
sistema de números reales también es
útil cuando se estudia espacios vecto el
álgebra lineal en r también es muy
interesante Entonces estos sistemas que
se construyen en base al sistema de
números reales es muy útil en el estudio
general de la matemática recordemos que
el conjunto es diferente del sistema y
el sistema hemos dicho que es un
conjunto más leyes y en este caso
Quiénes Serán las leyes para definir el
sistema de números reales las leyes de
composición interna son las operaciones
Y en este caso las operaciones que vamos
a asociar Al conjunto de números reales
será la adición y la multiplicación sí
entendiendo que el conjunto de números
reales denotado por r es el conjunto que
resulta de la unión del conjunto de
números racionales
e irracionales ahora a este conjunto le
vamos a asociar las leyes y en este caso
van a ser dos operaciones la adición y
la multiplicación ojo la operación es la
adición y resultado es la suma la
operación es multiplicación y el
resultado es el producto Ahora sí
definamos de manera formal el sistema de
números reales el sistema de números
reales es el conjunto de números reales
asociado a las operaciones de adición
multiplicación y una relación de orden
denotado por esta cuaternia r coma más
coma punto menor igual que usualmente se
pone como r que además
satisface los siguientes grupos de
idiomas primero acción más de cuerpo
estos axiomas de cuerpo están
directamente relacionados con la
igualdad que nos dice la axioma número
uno a más B es igual a b más a ese es
con respecto a la adición y respecto a
la multiplicación a por B es igual a b
por a eso conocemos y es denominado la
propiedad
conmutativa Asimismo tenemos la
propiedad asociativa es decir si tomo
tres elementos arbitrarios del conjunto
de números reales y
utilizo las operaciones el resultado
será el siguiente a más B Más C va a ser
igual a a + b + c igual funciona en el
producto a por B asociado por c es igual
a a por B por c asociado acción número 3
propiedad distributiva
factor de b + c es igual a a por B más a
por sí aquí la distributividad combina
las dos operaciones el axioma número 4
habla de la existencia de elemento
neutro o identidad hay un neutro aditivo
y un neutro multiplicativo en el caso
del neutro aditivo se define de la
siguiente forma para todo elemento a del
conjunto de números reales existe un
único cero que pertenece a r tales que a
más 0 es igual a es decir que no altere
el resultado Y de igual manera para el
la multiplicación Sería para todo a que
pertenece a Los Reales existe un único
uno que pertenece a Los Reales tales que
ha multiplicado por uno sigue siendo
ahora en la acción más número 5 habla
del inverso aditivo es decir que para
todo elemento a de números reales existe
un único menos a que pertenece al
conjunto de números reales tales que la
suma o sea como resultado el elemento
neutro y aquí en la axioma número 6 hay
que tener mucho cuidado por qué Porque
en este caso no van a ser todos los
números reales que admiten inversa sino
todos los Reales menos el cero es decir
que para todo a que pertenece a Los
Reales menos el cero existe un único a
la -1 que pertenece a r tal que el
producto sea la identidad multiplica y
ya tenemos seis axiomas que corresponden
al grupo de axiomas de cuerpo ahora
veamos los axiomas de orden que están
relacionados con la desigualdad para
esto es necesario definir el conjunto de
números reales
positivos ojo aquí si se puede definir
Los Reales positivos también podríamos
considerar Los Reales negativos es decir
que el conjunto estará formado por todos
los números reales tales que x sea mayor
que 0 si son reales positivos pero si
fueran reales negativos sería x menores
que 0 Entonces estamos tomando un
subconjunto de los números reales para
poder definir los siguientes axiomas
axioma número 7 dice si tengo dos
números reales positivos que pertenecen
a este conjunto entonces la suma el
resultado de operar entre a más B
también va a ser un real positivo de
igual manera si yo multiplico dos
números positivos también va a ser
positivo número 8 nos dice que para todo
a que pertenece a Los Reales menos el
cero a pertenece a Los Reales positivos
o menos a pertenece a Los Reales
positivos en este caso me está
garantizando que todos los elementos no
no pueden tomar dos valores es decir van
a ser positivos o van a ser negativos ya
y aquí finalmente tenemos el axioma
número nueve que corresponde a los
axiomas de orden dice que 0 no pertenece
a Los Reales positivos ojo Claro que
algunos dirán Pero esto ya lo sabemos
que es verdad es cierto pero tengan en
cuenta que estos axiomas nos van a
permitir construir todas las demás
propiedades del sistema de números
reales es decir que en base a estos
axiomas van a salir más resultados que
se denominan consecuencias tanto de los
axiomas de orden axioma de cuerpo y
axioma del supremo que detallaremos a
continuación el tercer axioma del
supremo o extremo superior o completitud
o continuidad nos garantiza nos
garantiza que no falte ningún elemento a
los números reales qué nos dice este
axioma todo conjunto no vacío a de
números reales
acotado superiormente tiene extremo
superior esto es existe un número real x
tal que el supremo de a sea x tal que x
es mayor o igual que a para todo a que
pertenece al conjunto
con esto nos está diciendo al acotar es
decir vamos a cortar vamos a formar
pedacitos de
de subconjuntos de números reales de tal
manera que va a garantizar que los
extremos haya números no se va a perder
absolutamente ningún elemento por eso
también esto de completitud no no falta
ningún elemento ninguno no podemos
preguntarnos quién está al costado de
cero no y solo sabemos que existe un
elemento que está al costado de cero
describirlo es un poco o un mucho
complicado ya a manera de resumen
podemos decir que el sistema de números
reales es la cuaterna r coma más coma
punto coma menor igual que cumple los
grupos de axiomas de cuerpo de orden y
de completitud o continuidad o acción
supremo Aquí hay un resumen que nos nos
permite recordar cómo está definido el
sistema de números reales finalmente en
el estudio del sistema de los números
reales vamos a tener como temas
ecuaciones inecuaciones valor absoluto
máximo entero y los grupos de axiomas de
cuerpo de orden y de completitud o
axioma de supremo
interactúan de manera simultánea en
muchos casos es decir que no son
independientes estos grupos de acciones
bueno Vamos a continuar estudiando este
tema que es muy interesante analizando
las consecuencias de los axiomas de
orden como que dan como resultado las
ecuaciones pero Eso lo veremos en un
próximo vídeo los espero hasta la
siguiente
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