12 - Cálculo Integral │Historia del Cálculo.

Ateneo Math

30 Jun 202007:50

Summary

TLDREste vídeo explora la rica historia del cálculo, desde sus inicios en la antigüedad hasta su desarrollo moderno. Se destacan aportes de matemáticos como Arquímedes, Liu Huihui, Bhaskara y Sharaf al-Din, entre otros. En la Edad Media, figuras como Alhazen y Cavalieri contribuyeron significativamente. La modernidad vio a Newton y Leibniz establecer el fundamento del cálculo, con aplicaciones en física, optimización y más. El video resalta la evolución y la importancia de este área matemática en nuestras vidas.

Takeaways

📚 La historia del cálculo se puede dividir en tres períodos principales: antiguo, medieval y moderno.
📏 En la antigüedad, se desarrollaron ideas de cálculo de áreas y volúmenes, como se evidencia en los papiros matemáticos de Moscú y los trabajos de Arquímedes.
📉 El método exhaustivo de Arquímedes fue crucial para calcular áreas y volúmenes, y fue adoptado más tarde en China.
🌐 Durante la edad media, matemáticos islámicos y persas contribuyeron significativamente al cálculo, con avances en la derivación y el teorema de Rolle.
📈 El siglo 12 vio el desarrollo temprano de la derivada y el teorema de Rolle por parte de matemáticos como Bhaskara y Sharaf al-Din al-Tusi.
🔍 En la edad moderna, descubrimientos independientes en el cálculo se llevaron a cabo por matemáticos japoneses y europeos.
📘 Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son reconocidos por sus contribuciones fundamentales al cálculo, con Newton enfocándose en la diferenciación y Leibniz en la integración.
📝 Newton utilizó el cálculo para resolver problemas de física matemática, mientras que Leibniz formalizó el cálculo diferencial e integral.
🔢 A lo largo del siglo 19, el cálculo se estructuró más rigurosamente y se generalizó a otros espacios matemáticos, como el euclidiano y el plano complejo.
🛠 Las aplicaciones del cálculo incluyen cálculos de velocidad, aceleración, optimización, áreas, volúmenes, y mucho más.
🌐 El cálculo también se integra con otras disciplinas matemáticas, como la álgebra lineal y la teoría de probabilidad.

Q & A

¿Cómo se puede dividir la historia del cálculo?
-La historia del cálculo se puede dividir en tres partes importantes: los aportes de la antigüedad, la edad media y la edad moderna hasta nuestros días.
¿Qué documento matemático del antiguo Egipto es mencionado en el script y cuál es su importancia?
-El script menciona los Papiros Matemáticos de Moscú, que datan del año 1890 a.C. y son importantes porque contienen 25 problemas, incluyendo el cálculo satisfactorio del volumen del tronco de una pirámide.
¿Qué matemático griego es considerado uno de los más grandes de la antigüedad y cómo contribuyó al cálculo integral?
-Arquímedes es considerado uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. Utilizó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con la ayuda de una serie infinita y dio una aproximación precisa del número pi.
¿Qué matemático chino del siglo 3 antes de cristo utilizó el método de Arquímedes y para qué?
-Liu Hui utilizó el método de Arquímedes para encontrar el área del círculo en el siglo 3 antes de cristo.
¿Qué matemático islámico del año 1000 derivó la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética?
-El matemático islámico Alhazen (Ibn al-Haytham) fue el primero en derivar la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética.
¿Qué matemático indio del siglo 12 desarrolló una derivada temprana y descubrió una forma temprana del teorema de Rolle?
-Bhaskara II, un matemático indio del siglo 12, desarrolló una derivada temprana y descubrió una forma temprana del teorema de Rolle.
¿Qué contribuciones hizo Isaac Newton al cálculo y cómo lo utilizó?
-Isaac Newton introdujo la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor y las funciones analíticas. Utilizó el cálculo para resolver problemas de física matemática, como el problema del movimiento planetario en su libro 'Principia Mathematica'.
¿Quién fue originalmente acusado de plagio por Newton y cómo se reconoce hoy en día?
-Gottfried Wilhelm Leibniz fue originalmente acusado de plagio por Newton, pero hoy en día se reconoce como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este.
¿Cómo se resolvió la controversia entre Newton y Leibniz sobre el crédito por la invención del cálculo?
-Después de una gran controversia, se demostró que Newton y Leibniz llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz publicando primero y Newton siendo el primero en llegar a sus resultados.
¿En qué siglo comenzó el cálculo a ser planteado de manera más rigurosa y quiénes fueron algunos de los matemáticos involucrados?
-En el siglo 19, el cálculo comenzó a ser planteado de manera más rigurosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass, quienes también generalizaron las ideas del cálculo al espacio euclidiano y al plano complejo.
¿Cuáles son algunas de las aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral mencionadas en el script?
-Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos de velocidad, aceleración, la pendiente de una recta tangente a una curva y optimización. Las aplicaciones del cálculo integral son el cálculo de área, volumen, centro de masa, longitud de arco y trabajo, entre otras.

Outlines

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📚 Introducción a la Historia del Cálculo

Este primer párrafo introduce el tema del vídeo, que es la historia del cálculo y su evolución a lo largo del tiempo. Se menciona que la historia del cálculo se puede dividir en tres períodos importantes: antiguo, medieval y moderno. En la antigüedad, se desarrollaron algunas ideas de cálculo, pero sin un enfoque riguroso o sistemático. Se destaca el trabajo de los papiros matemáticos de Moscú y los antiguos egipcios en el cálculo de volúmenes, así como la contribución de los griegos en la geometría y el trabajo de Arquímedes en el cálculo de áreas y la aproximación del número pi. También se menciona el trabajo temprano en la derivada y el teorema de Rolle por parte de matemáticos persas y árabes, y la introducción de la teoría de los indivisibles por parte de matemáticos chinos. Finalmente, se habla de los avances en el cálculo diferencial y la introducción de series de Taylor en la Edad Media.

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🔍 Desarrollo y Aplicaiones del Cálculo

El segundo párrafo explora el desarrollo formal del cálculo en la Edad Moderna, con matemáticos como Newton, Leibniz, Wallis, y otros que contribuyeron a la formalización de conceptos como las derivadas, las integrales, la regla del producto, la regla de la cadena, y las series de Taylor. Se destaca la controversia entre Newton y Leibniz sobre el crédito por la invención del cálculo, y cómo ambos llegaron a sus resultados de manera independiente. Además, se menciona la aplicación del cálculo en la física y la notación utilizada en el cálculo. Finalmente, se habla de cómo el cálculo ha sido desarrollado y aplicado en áreas más avanzadas, como la optimización, la cálculo de áreas y volúmenes, y su uso en otras disciplinas matemáticas, con una invitación a los espectadores para continuar aprendiendo más sobre el tema en futuros vídeos.

Mindmap

Keywords

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia la variación de las cantidades y la tasa a la que estas cambian. En el vídeo, se menciona que el cálculo ha evolucionado a lo largo de la historia, desde sus inicios en la antigüedad hasta su desarrollo moderno. Se destaca que el cálculo incluye tanto el cálculo integral, que se relaciona con el cálculo de áreas y volúmenes, como el cálculo diferencial, que se relaciona con la tasa de cambio de una cantidad.

💡Área antigua

La 'edad antigua' es un término utilizado para describir el período de la historia que abarca desde los orígenes de la humanidad hasta aproximadamente el año 500 d.C. En el contexto del vídeo, se destaca que en la edad antigua se desarrollaron algunas ideas del cálculo de manera no rigurosa o sistemática, como se evidencia en los papiros matemáticos de Moscú y los trabajos de Arquímedes.

💡Área media

La 'edad media' se refiere al período histórico que va desde el declive del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aproximadamente del siglo V al siglo XV. En el vídeo, se menciona que en la edad media, matemáticos como Alhazen y Sharaf al-DinMusay al-Din Tūsi contribuyeron al cálculo diferencial, derivando fórmulas para series y sumas de progresiones aritméticas.

💡Área moderna

La 'edad moderna' en el vídeo se refiere al período que comienza con el Renacimiento y continúa hasta nuestros días. Se destaca que en esta era, matemáticos como Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo infinitesimal, proporcionando un marco matemático más riguroso y un conjunto de reglas claras para el cálculo de derivadas y integrales.

💡Arquímedes

Arquímedes es considerado uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y de toda la historia. En el vídeo, se menciona su uso del método exhaustivo para calcular áreas y volúmenes, y su aproximación precisa del número pi, lo que demuestra su contribución significativa al cálculo integral.

💡Método exhaustivo

El 'método exhaustivo' es una técnica utilizada por Arquímedes para aproximar áreas y volúmenes mediante la superposición de polígonos. En el vídeo, se describe cómo Arquímedes utilizó este método para calcular el área bajo el arco de una parábola, lo que es un antecedente del cálculo integral.

💡Teorema de Rolle

El 'teorema de Rolle' es un resultado del cálculo diferencial que establece condiciones bajo las cuales la derivada de una función debe tener un valor cero en un intervalo cerrado. Aunque no se menciona directamente en el vídeo, se puede inferir que este tipo de teoremas son parte de los desarrollos del cálculo diferencial que se exploraron en la edad moderna.

💡Serie de Taylor

Las 'series de Taylor' son una herramienta del cálculo que permite representar funciones como sumas de series infinitas. En el vídeo, se menciona que Newton desarrolló una serie de expansiones de funciones, incluyendo potencias fraccionarias e irracionales, lo que sugiere su uso de series de Taylor para aproximar funciones.

💡Funciones analíticas

Las 'funciones analíticas' son aquellas que se pueden representar mediante una serie de Taylor en un intervalo. El vídeo destaca cómo Newton introdujo la noción de derivadas de mayor orden y series de Taylor, lo que es fundamental para el estudio de funciones analíticas y su aplicación en el cálculo.

💡Teorema fundamental del cálculo

El 'teorema fundamental del cálculo' es una proposición clave que establece una conexión entre el cálculo integral y diferencial. Aunque no se menciona explícitamente en el vídeo, es un resultado crucial que emerge de los trabajos de Newton y Leibniz y que se utiliza para justificar la integración y diferenciación en el cálculo.

Highlights

La historia del cálculo se divide en tres partes: antigua, media y moderna.

En la antigüedad, se desarrollaron ideas no rigurosas ni sistemáticas sobre el cálculo de áreas y volúmenes.

Los papiros matemáticos de Moscú, datan del 1890 a.C., incluyen problemas de cálculo integral.

Arquímedes fue un matemático clave en la antigüedad, conocido por su método exhaustivo y aproximación del número pi.

El método de Arquímedes fue utilizado en China por Liu Hui en el siglo III a.C. para encontrar el área del círculo.

Sharaf al-Din al-Tusi, un matemático persa del siglo 12, descubrió la derivada de la función cúbica.

Bhaskara II, un matemático indio, desarrolló una derivada temprana y descubrió una forma temprana del teorema de Rolle.

Angelsen, un matemático islámico, fue el primero en derivar la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética.

En la Edad Media, se realizaron avances en el cálculo diferencial y en la teoría de los indivisibles.

Bonaventura Cavalieri, un matemático italiano del Renacimiento, intentó calcular áreas y volúmenes con secciones infinitesimales.

Isaac Newton introdujo la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor y las funciones analíticas.

Gottfried Wilhelm Leibniz, a pesar de las acusaciones de plagio, es reconocido como inventor independiente del cálculo.

Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física, mientras que Leibniz desarrolló la notación utilizada en el cálculo.

El Teorema Fundamental del Cálculo es un hito crucial en la integración y diferenciación.

En el siglo 19, el cálculo se estructuró de manera más rigurosa por matemáticos como Cauchy y Riemann.

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos de velocidad, aceleración y optimización.

Las aplicaciones de la integral incluyen cálculo de áreas, volúmenes y longitud de arco.

El cálculo también se utiliza en otras disciplinas matemáticas, como la álgebra lineal y la teoría de probabilidad.