Intégrales - partie 1 : l'intégrale de Riemann
Summary
TLDRThis chapter segment delves into the concept of integrals, specifically the Riemann integral, starting with simple step functions to build up to more complex function integration. It introduces the integral of an exponential function and demonstrates the process of approximating areas under the curve using rectangles. The main theorem is that continuous functions are integrable, and a proof is provided. The lesson also covers basic properties of integrals and explains how to define the integral for any given function, including those not integrable, such as the Dirichlet function. The importance of understanding the integral's definition for both bounded and unbounded functions is highlighted, concluding with the integral calculation for a quadratic function and the proof that continuous functions are integrable.
Takeaways
- 🔢 The chapter introduces Riemann integration, starting with simple step functions to define integrals.
- 📐 The integral of the exponential function is used as an example to calculate the area under a curve between x=0 and x=1.
- 🟩 By subdividing the interval and using lower and upper rectangles, the area under the curve is approximated.
- ↔️ As the number of subdivisions increases, the area approximation converges to the true integral.
- 🧮 The integral of a step function is defined as the sum of areas of rectangles formed under the function.
- ✅ A function is integrable if the limit of the areas under and above it are equal as subdivisions become finer.
- ⚠️ Not all functions are integrable; however, continuous functions are always integrable.
- 🚧 A non-integrable function example is given, where the function takes different values based on whether x is rational or irrational.
- 🔍 The integral of a general bounded function is defined using the upper and lower step functions.
- 📊 Continuous functions can be closely approximated by step functions, leading to their integrability.
Q & A
What is the primary focus of the first part of the chapter on integrals?
-The primary focus is on understanding the definition of the integral, particularly the Riemann integral, rather than on performing calculations.
How is the Riemann integral initially defined for simple functions?
-The Riemann integral is initially defined for simple step functions, which are functions that are constant on subintervals of a given interval.
What is the significance of step functions in defining the Riemann integral for more general functions?
-Step functions are used as a foundational tool to define the Riemann integral for more general functions, allowing for the development of the concept by approximating the area under a curve.
What is the main theorem introduced in this chapter regarding continuous functions?
-The main theorem states that continuous functions admit integrals, and the proof of this theorem is provided in the chapter.
How are the areas under the curve of the exponential function approximated?
-The areas are approximated using sums of areas of rectangles positioned under and above the curve, with the sum of the lower rectangles converging to the integral as the number of subdivisions increases.
What happens to the sums of the areas of the lower and upper rectangles as the number of subdivisions increases?
-As the number of subdivisions increases, the sums of the areas of the lower and upper rectangles both converge to the same value, which represents the integral of the function.
How is the integral defined for a general bounded function?
-The integral for a general bounded function is defined using the concept of step functions that approximate the function from below and above. The integral exists if the upper and lower sums converge to the same value.
What conditions must a function meet to be integrable according to the Riemann definition?
-A function is Riemann integrable if the upper sum and lower sum for step functions converge to the same value, meaning that the area under the curve can be accurately approximated from both sides.
Can you give an example of a function that is not Riemann integrable?
-Yes, a function that takes the value 1 at rational points and 0 at irrational points on an interval is not Riemann integrable because the upper and lower sums do not converge to the same value.
What is the result of integrating the function f(x) = x^2 over the interval [0, 1]?
-The integral of f(x) = x^2 over the interval [0, 1] is equal to one-third, as calculated using the definition of the Riemann integral and the approximation with step functions.
Outlines
📚 Introduction to Riemann Integrals
This paragraph introduces the concept of integrals, specifically the Riemann integral, and sets the stage for a deeper understanding of integration. It begins by explaining that the focus is not on extensive calculations but on understanding the definition of the integral. The paragraph uses the example of an exponential function to illustrate how to approximate the area under the curve using rectangles and then refines the approximation by considering the limit as the number of rectangles approaches infinity. The main theorem of the lesson is introduced, stating that continuous functions admit integrals, and the proof is outlined.
🏗️ Building the Integral for General Functions
The second paragraph delves into the construction of the integral for more general functions by first defining it for simple step functions. It explains the process of defining the integral using the lower and upper sums of step functions that approximate the function from below and above. The paragraph introduces the concept of a partition of the interval and how a function is considered a step function if it is constant over each subinterval of the partition. The integral of a step function is defined as the sum of the areas of the rectangles formed by the partition, with consideration for the sign of the function values.
📉 Understanding Integrable Functions and Their Properties
This paragraph discusses the criteria for a function to be considered integrable. It explains that the integral is defined for bounded functions and introduces the concept of lower and upper sums to determine the integral's value. The paragraph also highlights the importance of the function's behavior over the interval, emphasizing that continuous functions are integrable. It provides an example of a function that is not integrable due to its dense rational values, contrasting it with the properties of continuous functions and their integrability.
📐 Calculating the Integral of a Specific Function
The fourth paragraph provides a detailed example of calculating the integral of a function f(x) = x^2 over the interval from 0 to 1. It describes constructing lower and upper step functions to approximate the integral and then calculating the areas of the rectangles formed by these functions. The paragraph uses the formula for the sum of squares of integers to find the integral of the upper step function and similarly calculates the integral of the lower step function. It concludes by showing that as the partition becomes finer, the integrals of the step functions converge to a third, which is the value of the integral of the function f(x) over the given interval.
🔍 Theoretical Results and Proof of Integrability for Continuous Functions
The final paragraph presents theoretical results and a proof of the main theorem, which states that continuous functions are integrable. It begins by discussing the properties of continuous functions and their derivatives, using the Mean Value Theorem to establish bounds on the function's values. The paragraph then constructs lower and upper step functions to approximate the continuous function within a given error margin. It concludes by showing that as the partition becomes finer, the difference between the integrals of the lower and upper step functions approaches zero, proving the integrability of the continuous function.
Mindmap
Keywords
💡Integrals
💡Riemann Integral
💡Step Functions
💡Continuous Functions
💡Exponential Function
💡Summation
💡Geometric Series
💡Subdivision
💡Upper and Lower Sums
💡Integral of a Step Function
💡Bounded Function
💡Supremum and Infimum
💡Piecewise Continuous Function
💡Theorem of Finite Increments
Highlights
Introduction to integrals, specifically the Riemann integral, for simple step functions and the progression to more general functions.
Explanation of how to define the integral for step functions to prepare for the definition of integrals for more complex functions.
The main theorem of the lesson: continuous functions admit integrals, with a proof provided.
Calculation of the integral of an exponential function using rectangles under the curve to approximate the area.
The concept of the sum of a geometric series and its application in calculating the area under the curve.
Behavior of the integral as the number of rectangles approaches infinity, leading to the definition of the integral limit.
The importance of subdivisions in refining the approximation of the area under the curve.
The definition of the integral for arbitrary functions using step functions to replace rectangles.
The integral of a function is only defined for integrable functions, and conditions for a function to be integrable are discussed.
Introduction of the concept of a subdivision of an interval and its role in defining the integral.
Definition of a step function and its integral, which is a sum of areas of rectangles, each with a constant height.
The integral of a step function as a real number that measures the algebraic area between the curve and the x-axis.
The process of defining the integral for any bounded function using the concept of upper and lower sums.
The criteria for a function to be integrable based on the equality of the upper and lower integrals.
Examples of integrable functions, such as step functions, and non-integrable functions, like the Dirichlet function.
The integral of a function defined on an interval is invariant under finite changes in the function's values.
The extension of the integral definition to continuous functions and the proof of their integrability.
The Mean Value Theorem for integrals and its application in proving the integrability of continuous functions.
The construction of step functions to approximate a continuous function and control the error uniformly over an interval.
The proof that a function of class C1 (continuously differentiable) is integrable, using the finite increment theorem.
The conclusion that continuous functions, and more generally, piecewise continuous functions, are integrable.
Transcripts
dans cette première partie du chapitre
sur les intégrales nous n'allons pas en
calcul et beaucoup nous allons bien
comprendre comment est définie
l'intégrale plus précisément l'intégrale
de riemann nous allons d'abord définir
l'intégrale pour des fonctions très
simple les fonctions en escalier cela
nous permettra ensuite de définir
l'intégrale de fonctions beaucoup plus
général puis nous verrons quelques
propriétés élémentaire le théorème
principal de cette leçon sera que les
fonctions continue admettre des
intégrales et nous en donnerons la
preuve
nous allons introduire l'intégrale aller
exemple considérons la fonction
exponentielle
fdx égale exponentielle x on souhaite
calculé l'air à en dessous du grave de f
et entre les droites d'équations x égal
zéro x égal 1 et lax os x nous
approchons ses terres par des sommes
d'air de rectangles situé sous la courbe
plus précisément des coupons notre
intervalle 011 est mort saut et sur ce
dessin n est égal à 4
on considère les rectangles inférieur r
i - chacun ayant pour base un segment i
- 1 sur rennes i sur rennes et deux
longueurs donc un sur aisne ont choisi
la hauteur de chacun des rectangles pour
qu'il soit juste en dessous de la courbe
ici la hauteur est donc la valeur prise
sur la gauche de l'intervalle qui vaut
ici exponentielle i - 1 sur rennes
calculons l'air verte de nos rectangle
inférieur l'air d'un rectangle et base
est donc un suresnes fois auteur c'est à
dire exponentielle i - à suresnes et il
faut faire la somme surtout les
rectangles c'est à dire la somme pour
yves variant de 1 jusqu'à peine on
réécrit cette somme ainsi et on
reconnaît la somme d'une suite
géométriques dont la raison est
exponentielle 1 sur rennes
on peut donc calculer cette somme et on
la réécrit 1 6 1 sur rennes /
exponentielle 1 sur l moins un facteur
2e - que se passe-t-il lorsque haine
envers plus l'infini on sait que
exponentielle x - 1 sur x temps vers 1
lorsque x tend vers zéro donc 1 sur
rennes / exponentielle 1 sur rennes - un
temps aussi vers 1 lorsque end en verre
plus l'infini et donc notre somme
tant vers -1
regardons maintenant les rectangles
supérieur ils ont la même base mais sont
au dessus de la courbe pour notre
fonction ils ont donc la hauteur qui
correspond à la valeur à droite du
segment de base un calcul tout à fait
similaire montre que lorsque haine
envers plus l'infini la somme des rd
rectangle rouge supérieur temps aussi
vers eux - 1
les rats de notre région est plus grande
que l'air verte des rectangles
inférieure est plus petit que l'air
rouge des rectangles supérieur lorsque
l'on considère des subdivisions de plus
en plus petit
c'est à dire lorsque l'on fait tendre n
vert plus l'infini alors on obtient la
limite que l'air à de notre région est
encadré par deux aires qui tendent vers
1 - 1 dont claire de notre région est à
est égale à e - 1
résumons tout cela nous avons cadré
l'air sous la courbe par des airs de
rectangle en verre qui reste en dessous
et des rectangles rouge qui sont au
dessus cela nous donne un encadrement de
notre ère sous la courbe notre
intervalle de départ est coupée en
morceaux
donc chaque rectangle à une base de
longueur 1 sur rennes et sur ce dessin n
est égal à 4 lorsque n grandit alors là
base de nos rectangle diminue et il
approche de mieux en mieux l'air sous la
courbe si l'on arrive à justifier que
l'air verte s'approche de l'air rouge
comme on l'a fait ici par le calcul
alors à la limite cet encadrement nous
donne l'air sous la courbe
nous allons reprendre la construction
que l'on vient de faire
mais cette fois ci pour une fonction f
quelconque ce qui va remplacer les
rectangles ce seront des fonctions en
escalier et si la limite des airs en
dessous et gala limite des airs au
dessus on appelle cette limite commune
l'intégrale de f que l'on note intégrale
de ab de f2 xd x cependant il n'est pas
toujours vrai que c'est limite soit égal
l'intégrale n'est donc défini que pour
les fonctions intégrables heureusement
nous verrons que si la fonction f et
continue alors elle est intégrable
soit à b1 interne
r on appelle une subdivision de
l'intervalle avait une suite finie
strictement croissante de nombres xxi
tels que a est égal à x 1 10 0 qui est
strictement plus petit que x 1 10 à 1
qui est lui-même strictement plus petit
que x indice de etc jusqu'à strictement
plus petit que x un dix cennes qui est
égal à l'extrémité b voici un exemple
d'une subdivision de l'intervalle
ab maintenant on dit qu'une fonction f
défini sur l'intervalle ab dans aer
s'appelle une fonction en escalier s'il
existe une subdivision de l'intervalle
ab et des valeurs c1 c2 et c'est jusqu'à
cn tels que f 2 x est égal à c y pour
tous les x dans le sou d'intervalle xxi
- un xxi autrement dit est fait une
fonction constante sur chacun des ce ou
intervalle de la subdivision nous allons
définir l'intégrale pour ses fonctions
très spéciale pour une fonction en
escaliers comme ci dessus son intégrale
est le réel la somme pourri variant de 1
jusqu'à n2c ifois xxi - xxi moins que
l'on note intégrale de ab de f2 xd x
noter que chaque terme
seïf acteurs de xxi - ici - 1 l ère du
rectangle compris entre les apps 6 x 6 -
1 et xxi et de hauteur c'est i
il faut juste prendre garde que l'on
compte l'air avec un signe plus si c'est
y est positif et un signe - cissé y est
négatif l'intégrale d'une fonction en
escalier l ère de la partie rouge donc
situé au dessus de l'axé des abscisses -
l'ère de la partie
donc bleu situé en dessous l'intégrale
une fonction en escalier et bien un
nombre réel qui mesurent l'air
algébrique c'est-à-dire avec signe entre
la courbe de f
et l'axé des abscisses
avant de définir l'intégrale pour une
fonction quelconque
rappelons qu'une fonction f défini sur
un intervalle ab dans aer est borné s'il
existe un réel grands thèmes tels que f
2 x est compris entre -0 scène pour
toutes xe de l'intervalle
ab rappelons aussi que si l'on a deux
fonctions est fait j'ai défini sur un
intervalle ab alors on dira que f est
inférieur ou égal à g si et seulement si
f 2 x est inférieur ou égal à g2x ceci
pour toutes xe
dans l'intervalle ab alors on suppose à
présent que f2 l'intervalle ab dans air
est une fonction borné quelconque et
pour définir l'intégrale nous aurons
besoin de deux nombres
le premier y moins de f et définit ainsi
on prend toutes les fonctions fille en
escalier qui sont inférieures à f
on calcule à chaque fois l'intégrale de
fille c'est à dire l'air sous la
fonction l'escalier et on prend l'air la
plus grande parmi toutes ces fonctions
en escalier mais comme on n'est pas sûr
que ce maximum existe on prend la borne
supérieure
de même on définit un second réels y
plus de f
c'est le même principe mais les
fonctions fille en escaliers sont
supérieurs à f
et on cherche l'air la plus petite
possible alors il est intuitif que l'on
a dit moins de f qui est inférieur ou
égal à plus de f
et nous dirons d'une fonction borné f
donc de l'intervalle ab dont r quelle
est intégrable si l'aide de nombres ou
moins de fmi plus de f sont égaux si
c'est le cas alors cette valeur commune
s'appelle l'intégrale de f sur ab et on
note cette valeur commune
l'intégrale de a à b
fdx dx
la définition de l'intégrale repose donc
sur la même idée qu avec les rectangles
on a des fonctions en escalier sous la
courbe ici en verre et on cherche l'air
la plus grande possible
pour cela on s'autorise à prendre des
bases de rectangles aussi petit que l'on
veut et on a aussi des fonctions en
escalier au dessus de la courbe ici en
rouge et on cherche l'air la plus petite
possible au lieu de s'autoriser
seulement un découpage régulier de
l'intervalle avec des auteurs
correspondant aux valeurs aux extrémités
on considère tout les subdivisions
possible avec toutes les valeurs
possible du moment que l'on reste en
dessous pour les rectangles verts et au
dessus pour les rectangle rouge
évidemment c'est lorsque les
subdivisions sont de plus en plus fine
que l'on peut trouver des fonctions en
escalier qui approche très bien le grave
de notre fonction si les airs verte et
les herbes rouges sont aussi proches que
l'on veut alors on dit que la fonction
est faite intégrable et la limite
s'appelle l'intégrale de f
entre a et b
voyons quelques exemples tout d'abord
fonctions à l'escalier sont intégrables
en effet si elle fait une fonction en
escaliers alors la borne inférieure i -
2f et la borne supérieure y plus de f
sont atteintes avec la fonction fille
est égal à f nous verrons bientôt que
toutes les fonctions continue sont des
fonctions intégrables mais attention
cependant il existe des fonctions qui ne
sont pas intégrables par exemple celle
ci 6x et rationnel alors la fonction vos
seins et sinon la fonction vos héros
c'est un bon exercice décrire proprement
que f n'est pas intégrable par la
densité des rationnel dans air si une
fonction en escalier est supérieur à f
alors en fait elle est supérieure à 1 et
par densité d irrationnel une fonction
en escalier inférieur à eve est toujours
négative donc pour cette fonction i - de
f est égal à zéro y plus de f est égal à
1
ce sont des valeurs distinctes et donc f
n'est pas intégrables
mettons en pratique la définition de
l'intégrale regardons la fonction f qui
a x à ceux ci x carré est ce que cette
fonction est faite intégrables et si oui
que vaut son intégrale entre 0 et 1
alors pour répondre à ces questions on
prend la subdivision régulière de
l'intervalle 0 1 0 1 sur rennes de
suresnes et cetera le terme général
c'est ea sur rennes jusqu'à n suresnes
qui vaut 1 alors sur chaque intervalle i
- 1 sur l issue rennes nous avons la
double inégalités x carrés est compris
entre 10 - 1 sur rennes au car elle est
issue rennes au carré nous construisons
donc une fonction l'escalier fille - en
dessous de f qui est définie par fille -
2x est égal à 10 - 1 sur rennes au carré
si x est compris entre 10 - 1 sur lci
sur elle de même nous construisons une
fonction en escalier fit plus au dessus
de f qui est défini sur le même
intervalle par fit plus de x est égal à
icare et / m²
alors ici fille - correspond à la au
rectangle vert et fit plus au rectangle
rouge et elle est égale à 5
voici le dessin pour n égale 6
et voici le dessin pour un égal 7
nous allons maintenant calculé chacune
des airs verte et rouge et vert tendre n
vers l'infini alors on a défini pour
cela deux fonctions l'escalier fille -
et fit plus donc ce sont des fonctions
en escalier et elle vérifie que f est
compris entre filles - et fit plus alors
l'intégrale de la fonction à l'escalier
fit plus est par définition la zone la
somme des airs calculé par la formule
base fois auteur ce qui serait écrit ici
un suresnes cube fois la somme pourri
variant de 1 à n d i au carré alors on
se souvient de la formule pour la somme
des carrés des entier et donc on peut en
déduire l'intégrale de la fonction en
escalier fit plus cette intégrale vos
haines plus un facteur de 2 m + 1 sur 6
et nocar on calcule de même l'intégrale
de la fonction en escalier fille -
maintenant y moins de f
c'est la borne supérieure sur toutes les
fonctions en escalier inférieur à f et
donc en particulier y moins de f est
supérieur à l'intégrale de 0 à 1 2
filles moins de même y plus de f est
inférieure à l'intégrale de 0 à 1 2 fit
plus on connaît chacune des extrémités
et elles tendent toutes les deux vers un
tiers lorsque end envers plus cela finit
par le théorème des gendarmes alors
d'une part cela implique
i - de f est égal à y plus de f
et en plus cette valeur vos un tiers en
conclusion f
eh bien une fonction intégrable et
l'intégrale de 0 à 1 2 x 2 2 x est égale
à un tiers
voici deux résultats qui découlent de la
définition premièrement soit f défini
sur un intervalle ab une fonction
intégrables alors si l'on change les
valeurs de f en un nombre fini de poing
alors la fonction est fait toujours
intégrable et la valeur de l'intégrale
de ab de f 2 x 2 x ne change pas
deuxièmement si f défini sur un
intervalle ab est intégrable alors la
restriction de rêve à tout intervalles à
prime des primes inclus dans
l'intervalle ab est encore une fonction
intégrables
voici le résultat théorique le plus
important de cette leçon théorème 6f est
une fonction continue à leur ai fait une
fonction intégrables ce résultat s'étend
à une classe de fonctions plus générale
une fonction af ait dit continue par
morceau s'il existe une subdivision x 0
x1 et cetera jusqu'à xn tels que la
restriction de f soit continu sur chacun
des ce ou intervalle xxi - un hic si une
conséquence du théorème est que les
fonctions continue par morceaux sont des
fonctions intégrables
voici une preuve du théorème principale
preuve que vous pouvez passer lors d'une
première lecture nous allons prouver une
version un peu plus faible du théorème
rappelons qu'une fonction f
edit de classe c1 6 f et continue des
rives à bhl et que f prime est aussi une
fonction continue nous allons montrer le
théorème suivants 6 f et de classe c1
alors f est une fonction intégrables
l'idée est que les fonctions continue ou
ici de classer un peuvent être approchés
d'aussi près que l'on veut par des
fonctions en escalier tout en gardant un
contrôle d'erreur uniforme sur
l'intervalle
alors comme est fait de classe c1 alors
f prime est une fonction continue sur
l'intervalle fermé et bornés ab f prime
est donc une fonction borné il existe
une constante grands thèmes tels que
pour toutes xe appartenant à
l'intervalle ab on a valeur absolue de f
primes de x plus petit que m
l'inégalité des accroissements fini nous
dit alors que pour tout x et y dans
l'intervalle ab on a valeur absolue de
f2 x - f2 y est inférieure à m x valeur
absolue de x - y
fixons un epsilon positif et considérons
une subdivision x 0 x1 x2 et c'est de
l'intervalle ab suffisamment fine pour
que xxi - xxi -1 soit plus petit que
notre epsilon nous allons construire
deux fonctions en escalier fille - et
fit plus et fille - indéfinie de la
façon suivante alors sur l'intervalle
xxi - un xxi fille - est la fonction
constante c'est y qui s est é
c'est l'info pour tes appartenant à eksi
- 1 x idf de thé voici la valeur
de scei pour seul sou intervalle de même
puis plus c'est une fonction constante
sur chaque intervalle xxi - xxi où elle
prend la valeur dei qui est le sup
df de thé pour tes appartenant à xxi -
ici voici dei pour sossou intervalle
fille - et fit plus ce sont bien deux
fonctions en escalier
on a donc construit deux fonctions en
escalier fille - et fit plus tels que f
soit comprise entre filles - et fit plus
par définition de i - et de i plus on a
donc que i - est plus grand que
l'intégrale de films - et e-plus est
plus petit que l'intégrale de fit plus
en utilisant la continuité de f sur
l'intervalle xxi - xxi alors le maximum
et le minimum sont atteints sur cet
intervalle c'est à dire qu'il existe une
valeur à hideux l'intervalle xxi - un
xxi tels que f2 à y soit égal au minimum
c y et de même il existe une valeur pays
tels que f2b y soit égale au maximum 10
mai nous avons vu que grâce au théorème
des accroissements fini d i - c'est y
qui vaut f2b i - f2 hays est plus petit
que m x valeur absolue de baby - aille
donc plus petit que m x x 6 - x 10 - 1
et par le choix de notre subdivision
plus petit que m x epsilon on va
utiliser ces inégalités pour majorer la
différence entre l'intégrale de fit plus
et l'intégrale de fille - sur chaque
intervalle
l'écart est inférieur à m
epsilon facteur de xxi - ici - 1 on a
majoré la différence de hauteur par m
epsilon et on multiplie par la longueur
de la base xxi - 6 - 1
lorsque l'on sommes pourris variant de 1
jusqu'à n alors cela vaut m
epsilon x b - a car les xxi forme une
subdivision de l'intervalle ab cela
implique l'inégalité e-plus - i - est
plus petit que m
fois epsilon x b - a mais m
et b - à sont des constantes fixé
lorsque l'on fait tendre et
si lon vers zéro on n'obtient que i plus
est égal à i - ce qui prouve que notre
fonction af est une fonction intégrables
c'est le moment de vérifier votre
compréhension du court
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