Permutación lineal | Ejemplo 2
Summary
TLDREl script del video ofrece un curso de combinatoria donde se resuelven ejemplos de permutaciones. Se presenta un escenario de una familia en el cine y se analizan dos problemas: uno con cinco asientos consecutivos y otro con restricciones de sentar a los padres en los extremos. Se utiliza el método de las 'cajitas' para ilustrar las soluciones y se explican las fórmulas de permutación lineal. El video termina con un ejercicio práctico y una invitación a suscribirse y dar like al canal para apoyar el contenido.
Takeaways
- 😀 El video es un curso de combinatoria que aborda el tema de las permutaciones.
- 👨👩👧👦 Se presenta un ejemplo de una familia compuesta por dos padres y tres hijos que van al cine y se sientan en butacas consecutivas.
- 🔢 Se plantea dos preguntas, una más fácil que la otra, relacionadas con las formas en que la familia puede sentarse.
- 📚 Se explica que una permutación implica que el orden importa y se utilizan todos los elementos disponibles.
- 🧑👧👦 Se ilustra cómo los padres y los hijos tienen diferentes opciones de sentado dependiendo de las restricciones impuestas.
- 🎨 Se utiliza el método de las 'cajitas' para resolver las permutaciones, ofreciendo una forma visual y sencilla de entender el proceso.
- 🔄 Se menciona la fórmula de permutación lineal y se aplica para calcular las distintas maneras de sentarse sin restricciones.
- 📉 Se presenta un segundo escenario donde los padres deben sentarse en los extremos, lo que cambia las opciones de sentado para los hijos.
- 🔢 Se calcula la permutación de los padres y la de los hijos por separado, y luego se multiplican los resultados para obtener el total de formas de sentarse con la nueva restricción.
- 📝 Se invita a los espectadores a practicar con un ejercicio adicional sobre la formación de una fila con mujeres y hombres bajo ciertas condiciones.
- 👍 Se alienta a los espectadores a suscribirse, dar like y compartir el video si les gustó el contenido y les resultó útil.
Q & A
¿Qué es el curso de combinatoria y qué se trata en este video en particular?
-El curso de combinatoria es un tema de matemáticas que se enfoca en el estudio de las formas en que se pueden combinar objetos. En este video, se trata específicamente un ejemplo de permutaciones en el contexto de una familia que va al cine y se sientan en butacas consecutivas.
¿Cuántas formas distintas pueden sentarse los miembros de una familia compuesta por dos padres y tres hijos en butacas consecutivas?
-Según el script, hay 5! (cinco factorial) que es 5 × 4 × 3 × 2 × 1, lo que resulta en 120 formas distintas de sentarse sin restricciones.
¿Qué es una permutación y cómo se relaciona con el ejemplo dado en el video?
-Una permutación es una arreglo de objetos en un orden específico donde el orden importa. En el ejemplo, la permutación se refiere a las diferentes maneras en que los miembros de la familia pueden sentarse en las butacas, y es relevante porque cada orden de sentado es considerado diferente.
¿Cuál es la fórmula para calcular la permutación lineal de cinco elementos?
-La fórmula para calcular la permutación lineal de cinco elementos es 5!, que es 5 factorial, y se calcula como 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
¿Cómo cambia la situación si los padres deben sentarse en los extremos de la fila de butacas?
-Si los padres deben sentarse en los extremos, se reduce la cantidad de permutaciones posibles. En este caso, hay 2 opciones para el primer extremo y 1 obligatoriamente para el segundo extremo, dejando 3 opciones para el primer asiento intermedio, luego 2 para el segundo asiento intermedio y 1 para el último asiento, lo que implica una nueva fórmula de cálculo.
¿Cómo se calculan las permutaciones cuando hay restricciones como sentar a los padres en los extremos?
-En ese caso, primero se calculan las permutaciones de los padres (2!) y luego se multiplican por las permutaciones de los hijos (3!), ya que los padres tienen una posición fija y los hijos tienen que sentarse en las posiciones restantes.
¿Cuántas formas distintas pueden sentarse los hijos si los padres están sentados en los extremos?
-Si los padres están sentados en los extremos, los hijos tienen 3! (tres factorial) formas de sentarse, que es 3 × 2 × 1, lo que da 6 formas distintas.
¿Qué método se utiliza en el video para resolver problemas de permutaciones?
-El video utiliza el método de las 'cajitas' para resolver problemas de permutaciones, que es una técnica visual para entender cuántas opciones hay para cada posición en una serie de butacas.
¿Qué es un ejemplo de un caso más complejo de permutación que se presenta en el video?
-Un ejemplo de un caso más complejo es cuando se añaden restricciones, como que los padres deben sentarse en los extremos de la fila. Esto requiere calcular las permutaciones de dos grupos separados (padres y hijos) y luego multiplicar los resultados.
¿Cuál es el ejercicio propuesto al final del video para que los espectadores practiquen lo aprendido?
-El ejercicio propuesto es calcular cuántas formas distintas pueden formar una fila de cuatro mujeres y tres hombres si las mujeres deben ir primero que los hombres.
¿Cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila a siete personas, cuatro mujeres y tres hombres, si las mujeres van primero?
-Si las mujeres van primero, se realiza una permutación de las cuatro mujeres (4!) y luego se multiplica por la permutación de los tres hombres (3!), dando un total de 4! × 3! que es 24 × 6, lo que resulta en 144 maneras diferentes.
Outlines
😀 Introducción al Curso de Combinatoria y Ejemplo de Permutaciones
El primer párrafo presenta el inicio de un curso de combinatoria, donde se anuncia la resolución de un ejercicio de permutaciones. Se menciona que el nivel de dificultad es superior en comparación con ejercicios anteriores y se ofrece la opción de revisar contenidos anteriores para un enfoque más sencillo o avanzar para desafíos mayores. El ejemplo central gira en torno a una familia compuesta por dos padres y tres hijos que asisten al cine y se sientan en butacas consecutivas. Se plantea la pregunta de cuántas formas distintas pueden sentarse, introduciendo la distinción entre permutaciones y la importancia de orden en su ubicación.
😉 Análisis de Permutaciones con Restricciones
En el segundo párrafo, se profundiza en el ejemplo de la familia, esta vez con la condición de que los padres deben sentarse en los extremos. Se utiliza el método de las 'cajitas' para ilustrar las opciones disponibles para cada asiento, destacando que los padres tienen dos opciones de ubicación y los hijos tres, una vez que los padres están sentados. Se calcula la cantidad de formas en que los hijos pueden sentarse utilizando la fórmula de permutación, multiplicando las opciones restantes para cada asiento. Al final, se combina la permutación de los padres (2!) con la de los hijos (3!) para obtener el total de formas posibles de sentarse.
🎓 Conclusión y Ejercicio Adicional
El tercer y último párrafo concluye la lección con un resumen de los conceptos aprendidos y presenta un desafío adicional para los estudiantes: calcular cuántas formas distintas cuatro mujeres y tres hombres pueden formar una fila si las mujeres van primero. Se utiliza nuevamente el método de las 'cajitas' para demostrar cómo se abordan las permutaciones en este escenario. El resultado final se calcula como el producto de las permutaciones factoriales de mujeres (4!) y hombres (3!), dando un total de 144 formas distintas. El instructor alienta a los estudiantes a suscribirse, comentar, compartir y dar 'like' al video, y se despiden con un mensaje de éxito en futuras tareas o evaluaciones.
Mindmap
Keywords
💡Combinatoria
💡Permutaciones
💡Método de las cajitas
💡Factorial
💡Permutación lineal
💡Permutación circular
💡Permutación con elementos repetidos
💡Ejercicio
💡Música
💡Ejercicio adicional
Highlights
Bienvenida al curso de combinatoria, donde se explorará un ejemplo de permutaciones.
Se presenta un ejercicio de permutaciones con una familia de dos padres y tres hijos que van al cine.
Se establece que el ejercicio es más difícil que los anteriores, ofreciendo alternativas para diferentes niveles de dificultad.
Se define la permutación como un caso en que importa el orden y se utilizan todos los elementos.
Se explica que la situación implica permutaciones lineales, ya que los asientos son consecutivos.
Se describe el método de las 'cajitas' para resolver permutaciones, sugiriendo que es el más fácil.
Se calcula la cantidad de maneras distintas en que la familia puede sentarse sin restricciones.
Se presenta la fórmula de permutación lineal, 5!, como solución para el primer ejercicio.
Se introduce un segundo ejercicio con la condición de que los padres deben sentarse en los extremos.
Se utiliza el método de las 'cajitas' nuevamente para resolver el segundo ejercicio con restricciones.
Se diferencia entre la permutación de los padres y la de los hijos, calculando cada una por separado.
Se multiplican los resultados de las permutaciones de padres e hijos para obtener la solución final.
Se invita a los estudiantes a practicar con un ejercicio adicional sobre la formación de filas con mujeres y hombres.
Se proporciona la respuesta al ejercicio de práctica, mostrando el proceso de cálculo de permutaciones para mujeres y hombres.
Se enfatiza la importancia de la multiplicación en la resolución de permutaciones con múltiples grupos.
Se concluye la clase con una invitación a suscribirse, comentar y compartir el contenido, y a dar 'like' al video.
Se ofrece el enlace para el curso completo y se motiva a los estudiantes a profundizar en el tema.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de combinatoria y
ahora veremos un ejemplo de
permutaciones
[Música]
i
[Música]
y en este vídeo vamos a resolver este
ejercicio que bueno ya tiene un nivel de
dificultad un poquito lo tiene un
poquito más de nivel de dificultad que
los ejercicios anteriores no ya saben si
quieren ejercicios más sencillos pueden
ir a los vídeos anteriores del curso o
ejercicios más difíciles pueden ir a los
siguientes vídeos no aquí hay para todos
los gustos pero bueno dice que una
familia en este caso dice que una
familia formada por dos padres y tres
hijos van al cine y se sientan en
butacas consecutivas entonces tenemos
dos preguntas una más fácil que la otra
la primera pregunta dice de cuántas
maneras distintas pueden sentarse
entonces pues a pesar de que en el
título diga que esto es una permutación
pues la idea es que sepamos que sepamos
cómo ver si de verdad si es una
permutación entonces acordémonos que en
la permutación si importa el orden y se
utiliza todos los elementos entonces
dice que hay una familia formada por dos
padres y tres hijos y obviamente pues se
van a sentar en cinco butacas
consecutivas entonces aquí tenemos las
cinco butacas dos tres cuatro y cinco si
entonces supongamos que los
3 se llaman ana y josé y los hijos se
llaman miguel carlos y blanca sí
entonces será lo mismo si se ubican por
ejemplo los padres
hannah y josé y luego aquí se ubican
miguel no me acuerdo que es creo que
carlos y blanca será que es la misma
ubicación o será que es lo mismo si se
ubican por ejemplo anna acá miguel aca
carlos blanca y jose si obviamente no
están ubicados de la misma forma por
ejemplo si yo fuera jose pues no me
daría lo mismo sentarme al lado de mi
pareja o al lado opuesto no entonces
como no es lo mismo no están ordenados
de la misma forma quiere decir que si
importa el orden a mí me importaría a
muchas personas les gusta ir a la orilla
les gusta ir al centro entonces a mí me
importaría en donde voy ubicado entonces
importa el orden segundo están todos los
elementos claro porque los cinco las
cinco personas
las que vamos a acomodar en las cinco
butacas entonces están todos los
elementos a ella por eso se sabe que es
una permutación pero bueno esto lo
expliqué ya detenidamente en los vídeos
anteriores por eso lo hago un poquito
rápido bueno claro que dentro de la
permutación tendríamos que para si lo
hacemos con la fórmula tendremos que
elegir entre los tres tipos diferentes
de permutación no acordémonos que hay
permutación lineal en este caso es una
lineal porque porque se van a sentar
pues en una línea recta no sí
el otro tipo de permutaciones
permutación circular y cuando se sientan
alrededor de una mesa o en círculo
cuando se ubican en el círculo y
permutación con elementos repetidos en
este caso no hay elementos repetidos
pues por qué porque no está la mamá dos
veces o un hijo no está dos veces
obviamente no entonces simplemente esto
es una permutación lineal entonces vamos
a hacer lo primero que todo con el
método de las cajitas no que a mí me
parece el más fácil todas las
permutaciones se pueden resolver con el
método de las cajitas frei entonces aquí
hay cinco opciones o cinco opuestos
digámoslo así que son estas cinco las
butacas cuántas opciones tenemos para
que se siente en esta butaca en este
caso tenemos cinco opciones por qué
porque aquí se puede sentar cualquiera
de los padres a bueno estamos
resolviendo la primera pregunta cuántas
maneras pueden sentarse sin problemas no
sin restricciones entonces aquí se
pueden sentar cinco cualquiera de los
cinco cualquiera de los dos padres o
cualquiera de los tres hijos
5
pero ya se sentó una persona aquí
cuántas se pueden sentar aquí pues
cuatro porque si se sentó uno de los
padres pues solamente queda el otro y
los tres hijos o si se sentó uno de los
hijos queda o los dos padres o los dos
hijos que quedan solamente tenemos
cuatro opciones en esta silla cuánto se
podrían sentar pues los tres que quedan
aquí de los dos que quedan pues hay dos
opciones y aquí solamente se podría
sentar el último ya por la regla de la
multiplicación pues simplemente nos
quedaría multiplicar estos valores y
tendríamos la respuesta pero por fórmula
como ya sabemos que es una permutación
lineal pues en este caso también es
sencillo entonces es una permutación de
cinco elementos que la fórmula nos dice
que sería 5 factorial cuanto el 5
factorial pues lo que tenemos acá es 5
por 4 por 3 por 2 por 1 que es lo mismo
que teníamos en el método de las cajitas
5 por 4 20 por 360 por 2 120 y por 1
pues 120 si ya tenemos la primera
respuesta ahora vamos con el segundo
ejercicio en el que pues ya hay un
poquito más de nivel de dificultad dice
en este caso qué
qué pasa si los padres se tienen que
sentar en los extremos entonces aquí en
esta casilla voy a hacerla con azul que
indica que es un solo padre aquí va a
estar un padre y en el otro extremo va a
estar el otro padre si los dos padres y
los tres hijos entonces si lo observamos
bien miren que aquí bueno voy a hacer lo
primero con el método de las cajitas sí
entonces ya se sabe que aquí se va a
sentar un padre cuantas opciones hay
aquí tenemos dos opciones porque pues
porque aquí se puede sentar un padre o
el otro entonces ya me voy a pasar a
este lado porque porque si aquí ya se
sentó un padre bueno si aquí ya se sentó
un padre cuantas opciones hay aquí pues
solamente una porque si aquí ya se sentó
uno pues aquí se tiene que sentar el
otro y no hay más opciones porque aquí
no se pueden sentar los hijos ahora
supongamos incluso que ya se sentaron
los padres cuántas opciones hay aquí
pues tres porque aquí solamente se
pueden sentar los hijos en estos tres
puestos aquí se puede sentar cualquiera
de los tres hijos incluso así no se
hubiera sentado ninguno de los padres ya
se sabe que aquí solamente se pueden
sentar los hijos entonces
aquí no se puede sentar ninguno de los
padres solamente uno de los tres hijos
si ya se sentó un hijo acá cuántas
opciones quedan acá pues simplemente dos
porque solamente se pueden sentar los
dos hijos que quedan y aquí cuánto se
puede sentar pues uno solo porque
solamente se podría sentar el último
hijo que queda si multiplicamos y
tenemos la respuesta ahora con la
fórmula miren que lo único que tenemos
que hacer aquí es diferenciar que
tenemos que hacer dos permutaciones
diferentes una permutación que es para
la ubicación de los padres y otra
permutación que es para la ubicación de
los hijos al final vamos a hacer una
multiplicación entre esos dos resultados
sí porque la regla de la multiplicación
nos dice que si éstos se pueden permutar
de una forma y estos se pueden permutar
de otra pues entonces la permutación va
a ser el resultado de la multiplicación
listos entonces voy a hacer con azul la
permutación de los padres entonces la
permutación de los padres para los
padres pues en este caso la n sería el
número 2 y para la permutación de los
hijos que lo voy a hacer con rojo la n
sería 3 porque porque hay tres hijos
y los padres bueno aquí voy a colocar en
el sub 2 y aquí voy a colocar n sub 1
como para diferenciarlo entonces primero
la permutación de los padres o sea sería
la permutación de solamente dos
elementos y eso lo tenemos que
multiplicar por la permutación de los
hijos que en este caso sería una
permutación de tres elementos entonces
esto que nos quedaría permutación de dos
elementos sería dos factorial x
permutación de tres elementos o sea
sería tres factorial entonces
simplemente nos queda hacer las
operaciones aquí dice 2 factorial eso
que es eso es 2 por 1 que miren que es
lo que teníamos aquí 2 por 1 ahora eso
multiplicado por tres factores que es 3
factorial pues es 3 por 2 por 1 que
miren que es lo que teníamos acá cuál es
el resultado pues simplemente
multiplicamos en este caso 2 por 12 por
36 y por 2 12 y por 1 pues 12 no si
hacemos la multiplicación aquí da
exactamente lo mismo 2 por 3 6 por 2 12
por 112 y por 1
12 ya con esto termino mi explicación
como siempre por último les voy a dejar
un ejercicio para que ustedes practiquen
ya saben que pueden pausar el vídeo
ustedes van a resolver este ejercicio
que en este caso dice de cuántas formas
distintas pueden cuatro mujeres y tres
hombres hacer una fila si las mujeres
deben ir primero que los hombres
entonces responden a esa pregunta y la
respuesta va a aparecer en 32 espera un
momento si llegaste hasta esta parte del
vídeo supongo que fue porque te gustó te
sirvió porque aprendiste algo nuevo
porque el profesor explica muy bien
bueno por alguna de estas razones y si
es así te invito a que apoyes mi canal
suscribiéndote y dándole like al vídeo
ahí abajo like
bueno ahora sí te dejo para que observes
la respuesta bueno en este caso teníamos
que hacer dos permutaciones no pero para
aclararles esto voy a hacer el método de
las cajitas que pues es un poco más
comprensible no entonces en el método de
las cajitas supongamos que aquí es la
fila y aquí se van a ubicar las cuatro
mujeres y detrás de ellas
los tres hombres entonces va a llegar
aquí la primera ubicación cuántas
personas se pueden ubicar aquí solamente
se pueden ubicar cuatro personas porque
aquí se puede ubicar una de las cuatro
mujeres solamente cualquiera de las
cuatro mujeres en la primera ubicación
en la segunda ubicación como ya se ubicó
una mujer pues aquí solamente se pueden
ubicar cualquiera de las otras tres
mujeres aquí cualquiera de las otras dos
mujeres y aquí solamente la última mujer
que no se ubicó en los tres primeros
puestos ahora para las otras tres
ubicaciones entonces ya tienen que
ubicarse los hombres aquí en esta
ubicación se puede hacer cualquiera de
los tres hombres aquí cualquiera de los
otros dos hombres y aquí el último
hombre que no se ve ubicado
entonces miren que aquí teníamos que
hacer dos permutaciones diferentes una
para las mujeres si solamente aquí
teníamos en cuenta las mujeres porque
pues primero iban las mujeres entonces
estas cuatro las permuta vamos entonces
primero era una permutación de cuatro
personas y además entonces multiplicamos
por la permutación de los tres hombres o
sea una permutación de tres personas
entonces aquí sería cuatro factorial por
tres factores cuatro factorial que es
cuatro por tres por dos por uno por tres
factores que es 3 por 2 por 1 que miren
es lo mismo que dice aquí 4 por 3 por 2
por 1 por 3 por 2 por 1 no importa el
orden de la multiplicación pues porque
la multiplicación que cumple con la
propiedad conmutativa no que no importa
el orden en el que la realicemos y nos
da 144 maneras diferentes en que se
pueden ubicar en esa fila esas siete
personas
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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