Fórmulas o Reglas de derivación en 4 minutos - Parte 2
Summary
TLDREn este video se continúa el estudio de reglas y fórmulas de derivación, enfocándose en funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y raíces. Se muestra el proceso de derivación paso a paso, como el ejemplo del seno de x al cuadrado más 7, la constante elevada a una función y el logaritmo natural. Finalmente, se aborda la derivación de la raíz cuadrada, destacando la importancia de simplificar las expresiones resultantes. El objetivo es proporcionar una guía clara para entender y aplicar estas técnicas matemáticas.
Takeaways
- 📚 El video es una segunda parte de un curso sobre reglas y fórmulas de derivación.
- 📐 Se analizarán funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y la raíz cuadrada.
- 🧭 Se comienza con el ejemplo de derivar \(4\sin^2(x) + 7\), destacando la constante multiplicadora y la derivada del seno como coseno.
- 🔢 La derivada de \(x^2\) es \(2x\), y para una constante, como el 7, la derivada es 0.
- 📈 La derivada de la función trigonométrica se completa multiplicando por la derivada del ángulo.
- 📚 Se aplica la fórmula de derivación para funciones exponenciales, como \(3^{\cos(x)}\), incluyendo el logaritmo natural de la base.
- 🔍 La derivada de una función logarítmica se calcula utilizando la fórmula del logaritmo natural del argumento.
- 📘 Se muestra cómo derivar una función que incluye potencias y términos con \(x\), como en el ejemplo \(\log_3(5x^3 - 4x)\).
- 🔢 La derivada de la raíz cuadrada de una función se realiza derivando el radicando y simplificando el índice.
- 📝 Se sugiere que las derivadas pueden simplificarse, como en el caso de la derivada de la raíz cuadrada.
- 👋 El video termina con un mensaje de despedida y una invitación a ver el próximo contenido.
Q & A
¿Qué tipo de funciones se trataron en el segundo video sobre reglas o fórmulas de derivación?
-En el segundo video se trataron funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y la función raíz cuadrada.
¿Cuántas funciones trigonométricas hay y cuál se analizó en el video?
-Hay seis funciones trigonométricas, pero en el video se analizó específicamente la función seno de x.
¿Cómo se derivó la función 4sen(x)^2 + 7 en el video?
-Se mantuvo el 4 como constante y se derivó el seno de x, obteniendo 4cos(x). Luego, se derivó x^2 obteniendo 2x, y se multiplicó por 4, resultando en 8x, y se sumó a la derivada del seno.
¿Qué fórmula se usó para derivar la función exponencial 3^(cos(x)) en el video?
-Se usó la fórmula de derivación de una función elevada a otra, obteniendo -3^(cos(x))sin(x) y se multiplicó por el logaritmo natural de 3.
¿Cómo se derivó la función logarítmica en el video?
-Se trazó una línea de fracción y se derivó el argumento del logaritmo, que es 5x^3 - 4x, y se multiplicó por el logaritmo natural de la base del logaritmo, que es 3.
¿Cuál es la derivada de la función raíz cuadrada en el video?
-Se derivó lo que está dentro de la raíz cuadrada, que es 6x - 8, obteniendo 6. Luego, se ubicó el índice de la raíz cuadrada, que es 1/2, y se multiplicó por lo que está dentro de la raíz cuadrada.
¿Qué se debe recordar al derivar una función con una constante elevada a una variable?
-Se debe recordar que la derivada de una constante elevada a una variable es la constante multiplicada por el logaritmo natural de la constante, y se debe multiplicar por la derivada de la variable.
¿Por qué se debe derivar término a término en la función 4sen(x)^2 + 7?
-Se debe derivar término a término porque hay una constante multiplicando a una función y un término con una potencia, y cada uno de ellos tiene su propia regla de derivación.
¿Qué significa el logaritmo natural y cómo se utiliza en la derivación de funciones exponenciales?
-El logaritmo natural, también conocido como logaritmo en base e, es una función matemática que es útil para la derivación de funciones exponenciales, ya que permite aplicar la regla de la cadena en la derivación.
¿Cómo se puede simplificar la derivada de la función raíz cuadrada √(6x - 8)?
-La derivada de la función raíz cuadrada √(6x - 8) se simplifica dividiendo la derivada del interior, que es 6, entre la raíz cuadrada del interior, que es √(6x - 8), resultando en 3/√(6x - 8).
Outlines
📚 Reglas de derivación para funciones trigonométricas
Este párrafo introduce el tema de las reglas y fórmulas de derivación, particularmente para funciones trigonométricas. Se menciona que se analizarán las derivadas de las seis funciones trigonométricas, pero en este caso, se centrará en la función seno de x. Se presenta un ejemplo de derivación de una función que combina el seno de x con una expresión algebraica, y se procede a derivar paso a paso, destacando la importancia de las constantes y el uso de la derivada del ángulo x.
🔍 Derivación de funciones exponenciales
En este párrafo, se aborda la derivación de funciones exponenciales, utilizando la constante 'e' y una función trigonométrica como base. Se aplica una fórmula específica para derivar exponentes y se muestra el proceso de derivación, incluyendo el uso del logaritmo natural y la multiplicación por la constante de la base elevada a la función.
📘 Derivación de funciones logarítmicas
Se describe el proceso de derivación de funciones logarítmicas, utilizando una fórmula que involucra el trazado de una línea de fracción y la derivación del argumento de la función logarítmica. Se ejemplifica con una función que incluye exponentes y se detalla el proceso de derivación, destacando la manipulación de los exponentes y el uso del logaritmo natural de la base del logaritmo.
🔢 Derivación de funciones con raíz cuadrada
El último párrafo se enfoca en la derivación de funciones que contienen raíces, específicamente la raíz cuadrada. Se presenta un ejemplo y se sigue el proceso de derivación, que incluye la derivación del contenido dentro de la raíz y la manipulación del índice de la raíz. Se sugiere la posibilidad de simplificar la expresión resultante y se concluye el video con un mensaje de despedida.
Mindmap
Keywords
💡Derivación
💡Fórmulas de derivación
💡Funciones trigonométricas
💡Potencia
💡Exponente
💡Constante
💡Funciones exponenciales
💡Logaritmo natural
💡Funciones logarítmicas
💡Raíz cuadrada
💡Índice de la raíz
Highlights
Comienza el video con la segunda parte de reglas o fórmulas de derivación.
Se revisaron reglas básicas en un video anterior, incluyendo potencia, cadena, producto y cociente.
Hoy se estudian fórmulas para derivar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
Se analiza la derivación de la función seno de x, como ejemplo 4 seno de x al cuadrado más 7.
Se destaca que la derivada de una constante multiplicando una función se mantiene.
Se aplica la derivada del seno, que es el coseno, a la función dada.
Se muestra cómo multiplicar la derivada del ángulo por la constante 4.
Se derivan términos a término, destacando la derivada de x al cuadrado y de una constante.
Se obtiene la derivada de la función trigonométrica como 8x coseno(x).
Se pasa a derivar funciones exponenciales, con una constante elevada a una función.
Se aplica la fórmula de derivación para funciones exponenciales.
Se muestra cómo se multiplica la derivada de la función por el logaritmo natural de la base.
Se derivan funciones logarítmicas, utilizando la fórmula de derivación adecuada.
Se destaca la importancia de la derivada del argumento logarítmico y su relación con el logaritmo natural de la base.
Se derivan funciones con raíz cuadrada, utilizando una fórmula específica.
Se muestra cómo se simplifica la derivada de una función con raíz cuadrada.
Se sugiere que las derivadas pueden simplificarse aún más en algunos casos.
Se concluye el video con una revisión de las derivaciones realizadas y se alude a posibles simplificaciones.
Transcripts
qué tal amigos día de hoy te estamos con
reglas o fórmulas de derivación parte 2
bien en un vídeo anterior ya estudiamos
reglas básicas como son la potencia la
cadena el producto y el cociente en
cambio hoy estudiaremos fórmulas para
derivar funciones tales como las
trigonométricas exponenciales
logarítmicas y raíz cuadrada entonces
empecemos con las funciones
trigonométricas
recordando que se tienen seis funciones
trigonométricas pero en esta ocasión
analizaremos nada más la función seno de
x y el ejemplo que resolveremos es igual
a 4 seno de x al cuadrado más 7 así que
derivamos de esta función y prima es
igual el 4 al ser una constante que
multiplica a la función se mantiene y
derivamos la función seno tomando en
cuenta que su derivada es coseno así que
escribimos coseno paréntesis y copiamos
el ángulo tal como está x al cuadrado +
7 cerramos paréntesis ahora debemos
multiplicar por la derivada del ángulo
es decir lo que está dentro de este
paréntesis y para derivar esta función
se deriva término a término recordando
que este exponente baja a multiplicar el
número que esté delante de la equis
asimismo al exponente se le resta 1 por
lo tanto la derivada de x al cuadrado es
2x y la derivada de 7 que es una
constante es cero simplemente nos queda
como derivada 2x podemos multiplicar
este 4 por 2x y prima es igual 4 por 2 x
es 8x y copiamos la función coseno
paréntesis x al cuadrado más 7 y listo
hemos derivado la función
trigonométricas pasemos a la función
exponencial y tenemos una constante
elevada a una función aplicamos esta
fórmula de derivación y prima es igual
primero se deriva el exponente la
derivada de coseno de x es menos seno de
x ahora se copian la función tal como
está 3 ^ coseno de x y se multiplica por
el logaritmo natural del número de la
constante de la base de esta potencia 3
tomando en cuenta que este número debe
ser mayor a 0 pero diferente de 1 para
que exista la derivada ahora continuamos
y prima es igual el logaritmo natural de
3 es 109 por esté menos menos 109 que
multiplica hace 9 x y esto a su vez
multiplicado por tres elevado a coseno
de x con esto terminamos de derivar esta
función pasemos a la función logarítmica
y aplicamos la siguiente fórmula que
prima es igual trazamos una línea de
fracción y en el numerador se escribe la
derivada del argumento de la función
logarítmica derivamos esta función
término a término primero el exponente
va a multiplicar a este número 3 por 5
15 mantenemos la equis y a este 3 le
restamos 13 menos 12
menos la derivada de un número que tiene
x exponente uno simplemente es el número
así que 4 en el denominador se escribe
el argumento de la función tal como está
5 x al cubo menos 4 x entre paréntesis y
se multiplica por el logaritmo natural
de la base del logaritmo que es 3 y con
esto acabamos de derivar esta función
claro está que se puede obtener el
logaritmo natural de 3 y esto ponerlo
delante de este paréntesis que también
es válido pero lo dejaremos ahí y
finalmente pasamos a la función raíz
cuadrada y prima es igual trazamos una
línea de fracción y en el numerador se
deriva lo que se encuentra dentro de la
raíz cuadrada la derivada de 6x menos 8
es nada más 6 en el denominador ubicamos
el índice de la raíz que en este caso es
2 raíz cuadrada y volvemos a copiar lo
que se encuentra dentro de la raíz
cuadrada 6x menos 8 y listo hemos
terminado de derivar la última función
algo a tomar en cuenta es que si es
posible podríamos simplificar este y
este 2 quedando 3 sobre raíz cuadrada de
6 x 2 bien muchachos espero que este
corto vídeo y este repaso le sirva de
ayuda hasta la próxima
[Música]
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