¿Cómo derivar funciones con raíces?. [4 ejemplos]

Summary

En este video, se explica cómo derivar funciones que contienen raíces, aplicando propiedades algebraicas fundamentales como la conversión de raíces a exponentes fraccionarios y el uso de la regla de derivación para exponentes. Se detallan varios ejemplos paso a paso, desde raíces cuadradas hasta raíces cúbicas y cuánticas. El proceso incluye el uso de la fórmula de derivación, el manejo de exponentes negativos y la simplificación final en términos de raíces. Este tutorial es ideal para estudiantes que buscan entender cómo derivar funciones con raíces de manera efectiva y clara.

Takeaways

• 😀 Se explican las propiedades básicas para derivar funciones que contienen raíces, como la conversión de raíces a exponentes fraccionarios.
• 😀 La primera propiedad es convertir una raíz con exponente a un exponente fraccionario, donde el exponente de la variable se convierte en el numerador y el índice de la raíz en el denominador.
• 😀 El exponente negativo se maneja elevando la base al exponente positivo, lo cual requiere convertir el exponente negativo a positivo al subir la variable.
• 😀 Se presenta la fórmula general para derivar funciones con exponentes: 'x^n', donde el exponente se multiplica por la base y luego se resta 1 al exponente.
• 😀 En lugar de trabajar con enteros, se recomienda convertir los enteros a fracciones equivalentes para simplificar el proceso de derivación.
• 😀 La derivación de funciones con raíces cuadradas, cúbicas o de mayor orden se realiza siguiendo el mismo principio de conversión a exponentes fraccionarios.
• 😀 El proceso de derivación incluye varios ejemplos prácticos, donde se demuestran cómo aplicar las propiedades y la fórmula de derivación paso a paso.
• 😀 Se enfatiza la importancia de convertir las fracciones en fracciones homogéneas para poder restar los exponentes correctamente.
• 😀 En el caso de exponente negativo, se realiza un ajuste convirtiendo el exponente negativo en positivo y bajando la variable correspondiente.
• 😀 El exponente final en la derivada se debe simplificar, regresando a la forma de raíz cuando se haya trabajado con exponentes fraccionarios.
• 😀 En los ejemplos presentados, se resuelven funciones con raíces cuadradas, cúbicas y cuárticas, demostrando el proceso completo de derivación y simplificación.

Q & A

¿Cuál es la propiedad básica para convertir una raíz a exponente fraccionario?

La propiedad básica es que el exponente de la variable dentro de la raíz será el numerador de la fracción y el tipo de raíz será el denominador de la fracción. Por ejemplo, una raíz cúbica de x al cuadrado se convierte en x elevado a 2/3.

¿Qué ocurre cuando el exponente es negativo al derivar una función?

Cuando el exponente es negativo, se aplica la propiedad del exponente negativo, lo que significa que la variable se mueve al denominador y el exponente se convierte en positivo.

¿Cómo se aplica la fórmula para derivar una función de la forma x^n?

Se multiplica el exponente por la base, luego se resta 1 al exponente. Es decir, si y = x^n, entonces la derivada es y' = n * x^(n-1).

¿Qué debe hacerse cuando el exponente de una variable después de derivar es negativo?

Cuando el exponente es negativo, se debe bajar la variable al denominador y cambiar el signo del exponente a positivo.

¿Cómo se regresa a la forma de raíz después de derivar una función con exponente fraccionario?

Para regresar a la forma de raíz, el exponente fraccionario se convierte nuevamente en una raíz, donde el numerador es el exponente de la variable y el denominador es el índice de la raíz.

¿Cómo se identifica el exponente m y el denominador n cuando se tiene una raíz?

El exponente m es el exponente de la variable dentro de la raíz, y el denominador n es el tipo de raíz, es decir, el índice de la raíz (por ejemplo, 2 para raíz cuadrada, 3 para raíz cúbica, etc.).

En el segundo ejemplo, ¿cómo se convierte la raíz cuadrada de x en un exponente fraccionario?

La raíz cuadrada de x se convierte en x^(1/2), ya que el exponente m es 1 (por defecto en una variable sin exponente explícito) y n es 2 (por ser una raíz cuadrada).

¿Qué se debe hacer cuando el resultado de una derivada contiene una fracción con exponente negativo?

Se aplica la propiedad del exponente negativo, moviendo la variable al denominador y cambiando el signo del exponente a positivo.

¿Cómo se derivaría la función raíz cúbica de x^7?

La función se convertiría en x^(7/3). Al aplicar la fórmula de derivación, se multiplica el exponente (7/3) por la base x^(7/3), y luego se resta 1 al exponente, obteniendo la derivada.

¿Cuál es la diferencia en el procedimiento cuando el exponente de la variable es negativo frente a cuando es positivo?

Cuando el exponente es negativo, se mueve la variable al denominador y se convierte el exponente en positivo. Si el exponente es positivo, se sigue directamente la fórmula de derivación sin necesidad de hacer este ajuste.