Criterio de la segunda derivada | Concavidad y puntos de inflexión | Ejemplo 5

Takeaways

• 😀 La fonction donnée est f(x) = 2 / (x^2 + 4), et elle est réécrite sous la forme f(x) = 2(x^2 + 4)^(-1).
• 😀 Pour analyser la concavité et les points d'inflexion, on commence par dériver la fonction en utilisant la règle de la chaîne.
• 😀 La première dérivée de la fonction est f'(x) = -4x(x^2 + 4)^(-2).
• 😀 Ensuite, on applique la règle du produit et la règle de la chaîne pour obtenir la deuxième dérivée : f''(x) = -4(x^2 + 4)^(-2) + 16x^2(x^2 + 4)^(-3).
• 😀 Pour trouver les points d'inflexion, on résout f''(x) = 0, ce qui donne les valeurs approximatives x = ±1,15.
• 😀 Les points d'inflexion de la fonction se trouvent à x ≈ 1,15 et x ≈ -1,15.
• 😀 Après avoir trouvé les points d'inflexion, on analyse les intervalles autour de ces points pour déterminer la concavité.
• 😀 Lorsque x est inférieur à -1,15, la fonction est concave vers le haut (c'est-à-dire concave vers le bas, avec une dérivée seconde positive).
• 😀 Entre les points d'inflexion (-1,15 < x < 1,15), la fonction est concave vers le bas (la dérivée seconde est négative).
• 😀 À droite de 1,15, la fonction est également concave vers le haut (avec une dérivée seconde positive).
• 😀 En résumé, la fonction est concave vers le haut pour x < -1,15 et x > 1,15, et concave vers le bas pour -1,15 < x < 1,15.