Integración por partes | Ejemplo 3.2 Logaritmo natural

Summary

В этом видеоуроке автор подробно объясняет метод интегрирования по частям, используя конкретный пример с интегралом, содержащим произведение двух функций: x^2 и логарифма. Он шаг за шагом показывает, как выбрать функции для применения формулы интегрирования по частям, а также как вычислять производные и интегралы этих функций. Видео освещает, как решать интегралы с логарифмами и algebraic функциями, показывая на примере, как добиться более простого результата. В конце автор предоставляет упражнение для самостоятельной практики.

Takeaways

• 😀 Для решения интегралов по частям необходимо, чтобы в выражении была умножение двух функций, как в примере x^2 и ln(x).
• 😀 Если есть логарифм, то важно проверить, можно ли решить задачу методом подстановки, но в данном случае подстановка не подходит.
• 😀 Для определения метода решения важно учитывать производные функций. Например, производная x^2 не будет подходить для метода подстановки.
• 😀 При решении интегралов по частям одна из функций заменяется на u, а другая на dv. Важно правильно выбрать эти функции.
• 😀 Вспоминаем правило для выбора u и dv: первым всегда идет логарифмическая функция, если она присутствует.
• 😀 После выбора u и dv важно выполнить дифференцирование u и интегрирование dv, чтобы продолжить решение.
• 😀 Для упрощения задачи важно правильно определить производную и интеграл, например, для x^2 производная будет 2x.
• 😀 После применения формулы интегралов по частям остаются более простые выражения для дальнейших вычислений.
• 😀 В процессе решения важно внимательно отслеживать, что каждая операция проводится корректно, иначе результат может быть ошибочным.
• 😀 В конце следует организовать все выражения, чтобы получить окончательный результат, как например, x^3 * ln(x) / 3.
• 😀 Важно помнить, что при наличии логарифмов в результате часто записывается их значение в последней части выражения, чтобы избежать путаницы.

Q & A

Что нужно учитывать, чтобы решить интеграл методом интегрирования по частям?

Для того чтобы решить интеграл методом интегрирования по частям, нужно убедиться, что интеграл содержит произведение двух функций. В данном случае это функции x² и натуральный логарифм x.

Как определить, что интеграл не решается методом подстановки?

Если производная одной из функций не соответствует остальной части интеграла, то это знак, что интеграл не решается методом подстановки. В примере, производная x² не совпадает с остальной частью выражения, поэтому это намекает на использование метода интегрирования по частям.

Как выбрать функции u и dv при интегрировании по частям?

Для выбора функций u и dv используется правило, которое помогает запомнить порядок: логарифмические функции идут первыми, затем алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. В примере логарифм является функцией u, а x² — функцией dv.

Почему при решении интегралов с логарифмами, их часто оставляют в конце?

Логарифмы часто оставляют в конце выражения, так как это упрощает вычисления. Это связано с тем, что они могут не поддаваться простым операциям интегрирования, и оставление их в конце помогает избежать ошибок.

Как упростить выражение, когда интеграл приводит к более сложному виду?

Если после применения метода интегрирования по частям возникает более сложный интеграл, его нужно упростить, разделив и применив дополнительные преобразования. Например, можно упростить дроби и перераспределить степени x для более простого интегрирования.

Что такое интеграл по частям и почему его нужно применять в этом примере?

Интеграл по частям используется для решения интегралов, которые являются произведением двух функций. Этот метод помогает разделить сложные выражения на более простые части, которые легче интегрировать.

Как правильно выполнить операцию интегрирования для x²?

При интегрировании x² нужно прибавить 1 к показателю степени, что дает x³, и затем разделить на новый показатель степени, т.е. результат будет x³/3.

Почему важно правильно определить, что будет u, а что dv?

Правильный выбор u и dv критичен для успешного применения метода интегрирования по частям. Ошибки в выборе могут привести к более сложным или неразрешимым интегралам, как это могло бы произойти в случае неправильного выбора.

Что происходит с выражением, если выбрать неправильные функции u и dv?

Если выбрать неправильные функции u и dv, то интеграл может стать сложнее или не решитьсь. Это может привести к необходимости использования другого метода интегрирования или дополнительных шагов для упрощения выражений.

Какая роль играет постоянная интегрирования в ответе?

Постоянная интегрирования (обозначаемая как C) необходима для завершения решения, поскольку интегрирование неопределенного интеграла всегда включает добавление произвольной постоянной. Она отображает общее семейство решений.