DERIVADA DE LOS 4 PASOS CON RAICES

LUCIA MATH TERUEL

3 Oct 202208:02

Summary

TLDREn este video, se presenta un ejercicio de derivadas utilizando la fórmula del límite. El profesor explica paso a paso cómo aplicar el límite para encontrar la derivada de la función raíz de X. El proceso involucra cuatro pasos, destacando la importancia de la racionalización para evitar una indeterminación de 0/0. Finalmente, tras simplificar y aplicar el límite, se llega a la derivada de la función, que es 1 sobre 2 veces la raíz de X. El video concluye con una explicación detallada de cada paso y la resolución completa del ejercicio.

Takeaways

📘 El ejercicio se encuentra en la página 66 y se resuelve utilizando la fórmula de derivación de cuatro pasos.
🔢 El primer paso es encontrar F(x+h), reemplazando x por (x+h) en la función.
➖ En el segundo paso, se resta F(x) a F(x+h), pero la resta no se puede resolver directamente.
🔄 Para el paso tres, se divide el resultado del paso dos por h.
🚫 Se menciona que no se puede dividir h entre h, ya que están dentro de una raíz y hay una jerarquía de operaciones que no se puede saltar.
🔄 El cuarto paso implica aplicar el límite cuando h tiende a cero, pero antes se debe racionalizar el denominador para evitar divisiones por cero.
📐 Se utiliza la racionalización para eliminar las raíces cuadradas en el denominador.
🔢 Al racionalizar, se multiplica por el conjugado del binomio para eliminar las raíces.
➗ Se resuelve la resta en el numerador después de la racionalización, facilitando la división.
🔍 Al aplicar el límite cuando h tiende a cero, se obtiene la derivada de la función que se buscaba.
📝 Se concluye que la derivada es 1/2 veces la raíz de x, y se agradece a los espectadores por seguir el tutorial.

Q & A

¿Cuál es el objetivo del ejercicio que se presenta en el guion?
-El objetivo es resolver una derivada utilizando la fórmula del límite de cuatro pasos.
¿Cuál es la función que se está derivando en el ejercicio?
-La función que se está derivando es la raíz de X, es decir, \( \sqrt{X} \).
¿Cuál es el primer paso al resolver la derivada según el guion?
-El primer paso es encontrar \( F(x+h) \), que es la función original \( F(x) \) pero reemplazando X por \( x+h \).
¿Por qué no se puede simplificar la resta en el paso 2 del ejercicio?
-No se puede simplificar la resta en el paso 2 porque ambas expresiones están dentro de una raíz y no se pueden combinar directamente.
¿Qué estrategia se sugiere para evitar la división por cero en el paso 3 del ejercicio?
-Se sugiere racionalizar el binomio para evitar la división por cero al multiplicar por el conjugado de lo que está dentro de la raíz.
¿Qué significa 'racionalizar' en el contexto de este ejercicio?
-Racionalizar significa eliminar las raíces al cuadrado de una expresión multiplicando por el conjugado correspondiente.
¿Cuál es la fórmula que se utiliza para encontrar la derivada según el guion?
-La fórmula utilizada es el límite cuando h tiende a 0 de \( (F(x+h) - F(x)) / h \).
¿Qué significa 'jerarquía de operaciones' mencionada en el guion?
-La 'jerarquía de operaciones' hace referencia al orden en que se realizan las operaciones matemáticas, como paréntesis, exponentes, multiplicación y división, y sumas y restas.
¿Cómo se resuelve el problema de la división por cero que aparece en el paso 3 del ejercicio?
-Se resuelve el problema de la división por cero al racionalizar el binomio y luego realizar la división entre los términos sin raíces.
¿Cuál es el resultado final de aplicar el límite cuando h tiende a cero en el ejercicio?
-El resultado final es \( 1/(2\sqrt{x}) \), que es la derivada de la función \( \sqrt{x} \).
¿Qué significa el término 'binomio conjugado' utilizado en el guion?
-Un 'binomio conjugado' es la expresión que resulta de cambiar el signo del término medio en un binomio, como en \( a - b \) se convierte en \( a + b \).

Outlines

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📘 Resolviendo la derivada usando la fórmula de los 4 pasos

En este párrafo, se introduce un nuevo ejercicio de la página 66 que requiere el uso de la fórmula de la derivada mediante los cuatro pasos. El presentador explica cómo utilizar el límite cuando h tiende a 0 para obtener la derivada de una función dada, comenzando con F(x + h) menos F(x) dividido entre h. En este caso, la función es la raíz cuadrada de X. El primer paso es encontrar F(x + h) reemplazando la X en la función original por X + h.

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➗ Procedimiento de la resta en la derivada

Aquí, el presentador avanza al segundo paso, que es restar F(x) de F(x + h). Se menciona que esta resta no puede resolverse directamente debido a la presencia de raíces cuadradas. Luego se describe cómo representar la resta de forma horizontal y se concluye que el problema se debe a la imposibilidad de simplificar las raíces en este paso, lo que prepara el terreno para el siguiente paso en el proceso de derivación.

⚠️ Complicaciones con la división en el tercer paso

En el tercer paso, se intenta dividir el resultado obtenido en el paso 2 por h, pero surgen complicaciones porque las raíces y la variable h no permiten simplificar la expresión. El presentador señala que aplicar el límite en este punto conduce a una forma indefinida de 0 sobre 0, lo que sugiere que algo más debe hacerse antes de proceder al paso 4.

🔄 Solución mediante la racionalización

El presentador propone la racionalización como solución a la forma indefinida de 0 sobre 0. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado de la expresión con raíces. Al hacerlo, las raíces desaparecen al elevarse al cuadrado, lo que permite simplificar la expresión. Esta estrategia elimina las raíces y permite restar los términos en el numerador, resultando en h, que se simplifica con la h del denominador.

✅ Aplicación del límite y resultado final

En este párrafo se explica cómo, tras racionalizar y simplificar la expresión, se puede aplicar el límite cuando h tiende a 0. Esto permite resolver la derivada correctamente, resultando en 1 sobre 2 veces la raíz de X. Finalmente, se concluye que este es el resultado correcto de la derivada, y el presentador agradece a los espectadores por su atención, terminando la explicación del ejercicio.

Mindmap

Keywords

💡Derivada

La derivada es una herramienta matemática que mide el cambio de una función con respecto a una variable. En el video, se está explicando cómo calcular la derivada de una función usando el límite. La derivada ayuda a entender cómo cambia la función cuando su variable independiente cambia, lo que es esencial en el cálculo diferencial.

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en cálculo que describe el comportamiento de una función a medida que una variable se aproxima a un valor específico. En el video, el límite se usa para calcular la derivada, tomando el límite cuando 'h' tiende a 0 para obtener el valor exacto del cambio en la función.

💡Racionalización

La racionalización es una técnica algebraica utilizada para eliminar raíces de expresiones fraccionarias. En el video, se menciona la racionalización como un paso necesario para simplificar una expresión que contiene raíces cuadradas, lo que facilita el cálculo del límite sin llegar a una indeterminación como 0/0.

💡Función

Una función es una relación matemática donde cada valor de la variable independiente tiene asociado un único valor de la variable dependiente. En el video, la función que se está analizando es una raíz cuadrada de 'X', y el objetivo es calcular su derivada para entender cómo varía en función de los cambios en 'X'.

💡H tendiendo a 0

Este es un proceso en el cálculo de derivadas que implica que el valor de 'h', que representa un pequeño incremento en 'X', se aproxima a 0. Esto permite calcular la derivada exacta de la función en un punto, como se explica en el video para la función raíz cuadrada de 'X'.

💡Binomios conjugados

Los binomios conjugados son dos expresiones algebraicas que se diferencian solo por el signo entre sus términos. En el video, se usan para racionalizar una expresión con raíces cuadradas. Al multiplicar binomios conjugados, se elimina la raíz, lo que permite simplificar el cálculo de la derivada.

💡Indeterminación 0/0

Una indeterminación es una forma indefinida que surge en cálculos matemáticos cuando el resultado no puede determinarse directamente. En el video, aparece una indeterminación 0/0 al intentar calcular el límite sin racionalizar primero la expresión. Este es un problema común en los límites que debe resolverse con técnicas como la racionalización.

💡Jerarquía de operaciones

La jerarquía de operaciones establece el orden en que deben realizarse las operaciones matemáticas. En el video, se menciona que no se pueden dividir o restar términos bajo raíces sin respetar esta jerarquía, lo que es crucial para evitar errores en la resolución de derivadas.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es una operación matemática que determina qué número, al multiplicarse por sí mismo, produce el número original. En el video, la función que se está derivando es la raíz cuadrada de 'X', y se explica cómo aplicar la fórmula de la derivada para funciones con raíces.

💡Fórmula de la derivada

La fórmula de la derivada es el método estándar para calcular la derivada de una función. En el video, se muestra cómo usar la fórmula límite cuando 'h' tiende a 0 para derivar una función, en este caso, la raíz cuadrada de 'X'. Esta fórmula es esencial para entender el comportamiento local de las funciones.

Highlights

Presentación del ejercicio de derivada de la página 66 utilizando la fórmula conocida.

Explicación de la fórmula límite cuando h tiende a 0 para F(x+h) - F(x) todo dividido entre h.

Paso 1: Encontrar F(x+h) reemplazando la x en la función por x + h.

Explicación de cómo F(x+h) no se puede simplificar ya que x + h está dentro de una raíz cuadrada.

Paso 2: Resta de F(x+h) menos F(x) y la imposibilidad de resolver la resta directamente.

Consejo: Reescribir la resta de forma horizontal como dos raíces menos dos raíces.

Paso 3: División del resultado del paso 2 entre h, con explicación de por qué h no se puede simplificar fácilmente.

Advertencia sobre cómo la jerarquía de operaciones evita la simplificación entre la h y las raíces.

Problema identificado al intentar aplicar el límite en el paso 4, resultando en 0/0.

Solución sugerida: Racionalizar el binomio utilizando la conjugada.

Multiplicación de binomios conjugados para eliminar las raíces en el numerador.

Resolución de la resta en el numerador después de eliminar las raíces.

Simplificación final al dividir h entre h y aplicar el límite cuando h tiende a 0.

Resultado final: la derivada es igual a 1 sobre 2 veces la raíz de x.

Conclusión del ejercicio con la obtención de la derivada de la función raíz de x.