Límite con teorema del encaje 1

Summary

En este video, se aborda un ejercicio sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje. El problema se enfoca en calcular el límite de una función F desconocida, pero acotada entre 4 - x^2 y 4 + x^2. Aplicando el teorema del encaje, se demuestra que el límite de F cuando x tiende a 0 debe ser 4, ya que es el único valor que satisface la condición de estar entre los límites superior e inferior dados. El video explica cómo se llega a esta conclusión paso a paso.

Takeaways

• 🔍 El ejercicio trata sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje.
• 📘 El teorema del encaje también es conocido como el teorema del emparedado.
• ❓ El objetivo es encontrar el límite cuando x tiende a 0 de una función F, sabiendo que está acotada.
• 📏 La función F está acotada entre 4 - X² y 4 + X².
• 🔗 Se aplica el límite a las tres expresiones involucradas en la desigualdad.
• 🧮 Los límites de las funciones 4 - X² y 4 + X², cuando x tiende a 0, son ambos 4.
• ⚖️ El teorema del encaje indica que si los límites de las funciones que acotan a F son iguales, entonces el límite de F también será ese valor.
• 📊 El límite de la función F, cuando x tiende a 0, es 4.
• 🔎 El resultado solo puede ser 4, ya que es el único valor que cumple la condición de estar entre 4 y 4.
• ✅ El teorema del encaje es clave para resolver este tipo de problemas con funciones acotadas.

Q & A

¿Qué es el teorema del encaje o empar?

El teorema del encaje o empar establece que si una función está acotada entre dos funciones y los límites de esas dos funciones en un punto son iguales, entonces el límite de la función acotada en ese punto también es igual a ese valor.

¿Cuál es el objetivo del ejercicio presentado en el video?

El objetivo del ejercicio es calcular el valor del límite de una función F cuando x tiende a 0, utilizando el teorema del encaje, aunque no se conoce la forma explícita de la función F.

¿Qué información se da sobre la función F?

Se sabe que la función F está acotada entre las funciones 4 - x² y 4 + x².

¿Cómo se aplica el teorema del encaje en este ejercicio?

Primero, se establece que 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x². Luego, se aplica el límite a las tres expresiones cuando x tiende a 0, obteniendo que el límite de F(x) también debe ser 4.

¿Por qué no hay indeterminación al calcular los límites de 4 - x² y 4 + x²?

No hay indeterminación porque ambos límites son directos; simplemente sustituyendo x por 0 se obtienen valores de 4 en ambos casos.

¿Cuál es el valor del límite de la función F(x) cuando x tiende a 0?

El límite de la función F(x) cuando x tiende a 0 es 4, según el teorema del encaje.

¿Por qué el único valor que satisface la condición es 4?

El valor 4 es el único que cumple con la condición de estar entre 4 y 4, ya que cualquier otro número no satisface la desigualdad que se deriva del teorema del encaje.

¿Qué ocurre si se intenta asignar otro valor, como 2 o 6, al límite de F(x)?

Si se intenta asignar valores como 2 o 6 al límite de F(x), no se cumple la condición de que F(x) esté acotada entre 4 - x² y 4 + x², por lo que esos valores no son posibles.

¿Qué pasos se siguieron para aplicar el teorema del encaje?

Primero se establece la desigualdad 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x², luego se aplican los límites a cada parte de la desigualdad, y finalmente se concluye que el límite de F(x) es 4.

¿Por qué el cálculo del límite de F(x) es posible aunque no se conozca la forma explícita de la función?

El cálculo es posible porque, aunque no se conozca la forma exacta de F(x), el teorema del encaje permite deducir su límite basándose en las funciones que la acotan.