Ecuaciones paramétricas de la recta
Summary
TLDREn este tutorial, se explica cómo calcular las ecuaciones paramétricas de una recta. Se comienza recordando la ecuación vectorial de una recta y se muestra cómo derivar las ecuaciones paramétricas a partir de ella. Se detallan los pasos para obtener las coordenadas del punto y el vector director necesarios. Se proporciona un ejemplo práctico para calcular las ecuaciones paramétricas de una recta dada, y se ejemplifica cómo obtener la ecuación vectorial a partir de las ecuaciones paramétricas. El video es una herramienta educativa para comprender mejor las rectas en el plano.
Takeaways
- 📐 La ecuación vectorial de una recta se escribe como \( \vec{x} = \vec{x_0} + t\vec{AB} \), donde \( \vec{x_0} \) es un punto en la recta y \( \vec{AB} \) es un vector director.
- 🔢 Las ecuaciones paramétricas de una recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial multiplicando el vector director por la variable paramétrica \( t \) y sumando el punto base.
- 📍 Las coordenadas del punto base \( \vec{x_0} \) se colocan como términos independientes en las ecuaciones paramétricas.
- 🛤️ Las coordenadas del vector director \( \vec{AB} \) se convierten en coeficientes de la variable \( t \) en las ecuaciones paramétricas.
- 🔄 Para transformar la ecuación vectorial en ecuaciones paramétricas, se separan las coordenadas del punto y del vector, y se aplican las operaciones de suma y multiplicación.
- 📘 En el ejemplo dado, la recta que pasa por el punto \( (3, 5) \) con vector director \( (-2, 1) \) tiene como ecuaciones paramétricas \( x = 3 - 2t \) y \( y = 5 + t \).
- 🔍 Para obtener la ecuación vectorial a partir de ecuaciones paramétricas, se identifican los términos independientes como coordenadas del punto y los coeficientes de \( t \) como las coordenadas del vector director.
- 🎯 En el ejercicio propuesto, se demuestra cómo se obtiene un punto y un vector director a partir de ecuaciones paramétricas dadas, y cómo se utiliza para formar la ecuación vectorial.
- 📌 Es importante recordar que en las ecuaciones paramétricas, el término independiente indica la posición del punto en la recta y el coeficiente de \( t \) indica la dirección y magnitud del vector director.
- 📐 La ecuación vectorial resultante de un ejercicio práctico es \( \vec{x} = (0, -1) + t(2, -5) \), lo que muestra cómo se aplica la información obtenida de las ecuaciones paramétricas.
Q & A
¿Qué son las ecuaciones paramétricas de una recta?
-Las ecuaciones paramétricas de una recta son una forma de expresar la recta en el plano utilizando una variable paramétrica, típicamente denotada por 't', donde se especifica un punto en la recta y un vector director.
¿Cómo se relaciona la ecuación vectorial con las ecuaciones paramétricas?
-La ecuación vectorial de una recta puede derivarse en ecuaciones paramétricas multiplicando el vector director por la variable paramétrica 't' y sumándolo al punto de la recta.
Si se conoce un punto y un vector director, ¿cómo se calculan las ecuaciones paramétricas?
-Se toman los coeficientes de la coordenada del punto como términos independientes y los coeficientes del vector director como coeficientes de la variable paramétrica 't' para formar las ecuaciones paramétricas.
¿Qué es un vector director y cómo se determina en una recta?
-Un vector director es un vector que tiene la misma dirección que la recta y se determina por dos puntos de la recta o por un punto y la pendiente de la recta.
Si la ecuación paramétrica de una recta es x = 3 - 2t y y = 5 + t, ¿cuál es el punto en la recta y el vector director?
-El punto en la recta es (3, 5) y el vector director es (-2, 1).
¿Qué significa que en la ecuación paramétrica de una recta no aparezca un término independiente en la 'x'?
-Si en la ecuación paramétrica de una recta no aparece un término independiente en la 'x', esto indica que el término independiente es cero, es decir, la coordenada 'x' del punto en la recta es cero.
Si se da una recta con ecuaciones paramétricas x = 2t y y = -1 - 5t, ¿cómo se obtiene la ecuación vectorial de esta recta?
-Para obtener la ecuación vectorial, se identifica el punto (0, -1) y el vector director (2, -5), y se escribe la ecuación vectorial como x = 0 - 1 + t(2, -5).
¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de una recta?
-Las ecuaciones paramétricas utilizan una variable paramétrica para expresar la recta, mientras que la ecuación vectorial expresa la recta en términos de un punto y un vector director.
Si se tiene una recta con ecuaciones paramétricas x = 2t y y = -1 - 5t, ¿cómo se determina un punto en la recta y un vector director?
-Un punto en la recta se determina por los términos independientes, que son (0, -1), y el vector director se determina por los coeficientes de 't', que son (2, -5).
¿Cómo se relacionan las coordenadas de un punto y un vector director con las ecuaciones paramétricas de una recta?
-Las coordenadas del punto son los términos independientes en las ecuaciones paramétricas, y las coordenadas del vector director son los coeficientes de la variable paramétrica 't'.
Outlines
📘 Introducción a las ecuaciones paramétricas de una recta
El primer párrafo presenta el tema del tutorial, que es el estudio de las ecuaciones paramétricas de una recta. Se recuerda la ecuación vectorial de una recta, que es una fórmula que utiliza un punto en la recta y un vector en su dirección. Se explica que, a partir de esta ecuación, se pueden derivar las ecuaciones paramétricas, que son una forma de expresar la recta donde se utilizan dos variables, comúnmente t, para representar los coeficientes. Se ilustra el proceso de cómo se obtienen estas ecuaciones a partir de la multiplicación y suma de vectores, y cómo se identifican los términos independientes y los coeficientes de t en dichas ecuaciones.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones paramétricas
💡Recta
💡Punto
💡Vector
💡Coordenadas
💡Ecuación vectorial
💡Multiplicación de vectores
💡Suma de vectores
💡Parámetro
💡Ejemplo práctico
Highlights
Tutorial sobre ecuaciones paramétricas de una recta.
Recordatorio de la ecuación vectorial de una recta.
Explicación de que una ecuación vectorial de una recta requiere un punto y un vector director.
Introducción a la obtención de ecuaciones paramétricas a partir de la ecuación vectorial.
Multiplicación del vector director por el parámetro 't'.
Suma de los vectores resultantes para formar las ecuaciones paramétricas.
Las primeras coordenadas de la ecuación paramétrica son iguales a x0 + a*t.
Las segundas coordenadas de la ecuación paramétrica son iguales a y0 + b*t.
Importancia de conocer un punto y un vector director para cualquier forma de ecuación de una recta.
Las coordenadas del punto en las ecuaciones paramétricas son los términos independientes.
Las coordenadas del vector director en las ecuaciones paramétricas son los coeficientes de 't'.
Ejemplo práctico para calcular las ecuaciones paramétricas de una recta dada.
Ejercicio de obtención de un punto y un vector director a partir de ecuaciones paramétricas.
Análisis de la ausencia de término independiente en la primera ecuación paramétrica.
Determinación del punto (0, -1) y del vector director (2, -5) a partir de las ecuaciones paramétricas.
Ejercicio para obtener la ecuación vectorial a partir de ecuaciones paramétricas dadas.
Explicación de la ecuación vectorial de una recta utilizando un punto y un vector director.
Sustitución del punto y el vector director en la ecuación vectorial para obtener la recta.
Transcripts
[Música]
[Música]
Hola Bienvenidos a Nuevo tut tomate en
el tutorial de hoy veremos En qué
consisten las ecuaciones paramétricas de
una recta y cómo se pueden calcular
comenzaremos recordando algo que ya
hemos visto en un tutorial anterior la
ecuación vectorial de la recta
supongamos que tenemos una recta como la
que veis en pantalla y en ella conocemos
un punto a de coordenadas x0 y 0 y un
vector V en la dirección de la recta de
coordenadas
a Pues bien la ecuación vectorial de
esta recta tiene esta expresión x y = x0
y0 + t * AB vemos entonces que para
escribir esta ecuación solo necesitamos
un punto y un vector en la dirección de
la rect
ahora a partir de esta expresión vamos a
conseguir las ecuaciones
paramétricas cómo pues es bastante
sencillo fijaos veis en la parte derecha
de esta expresión que tenemos una suma y
una multiplicación vamos a hacer esas
operaciones primero multiplicaremos t
por el vector AB recordad que tenemos
que multiplicar t por cada una de las
coordenadas del vector conseguimos Así
esta expresión
a continuación sumamos esos vectores
recordad que tenemos que sumar por
separado las primeras coordenadas y las
segundas coordenadas si esta igualdad es
cierta las primeras coordenadas deben Y
ser iguales entre sí es decir x será
igual a x0 + a * t y lo mismo debe
ocurrir con las segundas coordenadas y
será igual a y0 + b * t estas dos
ecuaciones que tenéis en pantalla se
conocen como ecuaciones paramétricas de
la
recta antes de seguir es muy importante
que en cualquiera de las formas en las
que se puede escribir una recta sepáis
encontrar un punto de la misma y un
vector director en el caso de las
ecuaciones paramétricas las coordenadas
del punto son los términos
independientes y las coordenadas del
vector son los coeficientes de T veamos
un
ejemplo Calcula las ecuaciones para
métricas de la recta que pasa por el
punto a 35 y tiene vector director V -2
1 lo único que tenemos que hacer es
tomar la expresión que hemos visto y que
tenéis aquí arriba y sustituir el punto
y el
vector las coordenadas del punto se
colocan en los términos independientes
tres en la primera cinco en la segunda y
las coordenadas del vector se colocan
como coeficientes de T es decir
multiplicando a t -2 en la primera y y 1
en la segunda En definitiva las
ecuaciones paramétricas de esta recta
son x = 3 - 2t e y = 5 + t veamos un
ejercicio más dada la recta con
ecuaciones paramétricas x = 2t = -1 - 5t
apartado a obtengo un punto y un vector
director de la misma apartado B obtén su
ecuación vectorial comenzaremos con el
apartado a conseguir un punto y un
vector como hemos visto en el ejercicio
anterior y como podéis ver aquí arriba
en la expresión de las ecuaciones
paramétricas las coordenadas del punto
son los términos independientes de las
ecuaciones y las coordenadas del vector
son los coeficientes de la variable t
veis que en la primera de las ecuaciones
no aparece término independiente Eso es
porque su término independiente es cero
la ecuación Por tanto se puede escribir
x = 0 + 2t la segunda ecuación la
dejamos tal y como está por lo que hemos
dicho antes el punto será el 0 -1 es
decir los términos independientes y el
vector director será 2 - 5 que lo
sacamos de los coeficientes de T
apartado B tenemos que escribir la
ecuación vectorial de esa recta
recordamos que su expresión es la que
veis en pantalla donde x0 y 0 es un
punto de la recta y AB es un vector
director de la misma
sustituimos el punto y el vector que
acabamos de calcular en el apartado a y
tenemos que x y es el punto 0 - 1 + t
por el vector 2 - 5
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