Hallar la TASA DE VARIACIÓN y TASA DE VARIACIÓN MEDIA 📉 Ejercicios de Funciones

Summary

En este video tutorial, Susi guía a los espectadores a través del proceso de calcular la tasa de variación y la tasa de variación promedio para una función dada en un intervalo. Utiliza una función con variables representadas por letras para desafiar a los estudiantes a aplicar sus conocimientos de cálculo diferencial. Susi explica paso a paso cómo encontrar la f(x+h) y la f(x), y luego cómo derivar la fórmula para la tasa de variación y la tasa de variación promedio. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan comprender mejor estos conceptos matemáticos fundamentales.

Takeaways

• 😀 El vídeo es una lección sobre cómo calcular las tasas de variación y tasas promedio de variación de una función.
• 📘 Se presenta un ejercicio para que el espectador lo copie y lo resuelva mientras mira el vídeo.
• 🔢 El ejercicio utiliza letras en lugar de números para representar el intervalo, lo que desafía al espectador a ser más cuidadoso con las operaciones.
• 📐 Se explica que la fórmula para la tasa de variación es la diferencia de la función evaluada en dos puntos del intervalo dividida por la diferencia de los puntos.
• 📘 Se detalla el proceso de sustitución de 'x' por 'x + h' en la función para encontrar la expresión de la tasa de variación.
• 🔄 Se utiliza la identidad notable para simplificar la expresión de (x + h)^2 a x^2 + 2xh + h^2.
• ➖ Se resalta la importancia de colocar paréntesis correctamente al realizar la resta de funciones para evitar errores.
• 🔢 Se resuelve el ejercicio paso a paso, mostrando cómo simplificar la expresión para obtener la tasa de variación.
• 📊 Para calcular la tasa promedio de variación, se divide la tasa de variación por el ancho del intervalo 'h'.
• 📝 Se enfatiza la importancia de extraer el factor común 'h' de la expresión para simplificar la tasa promedio de variación.
• 🎓 Se concluye el vídeo invitando a los espectadores a interactuar y seguir el canal para recibir más contenido similar.

Q & A

¿Qué ejercicio se realiza en el video de Susi?

En el video, se realiza un ejercicio para encontrar la tasa de variación y la tasa de variación promedio de una función en un intervalo dado.

¿Cómo se indica el intervalo en el ejercicio presentado?

El intervalo en el ejercicio se indica con letras en lugar de números, lo que desafía al usuario a aplicar los mismos conceptos pero con un enfoque más cuidadoso.

¿Cuál es la fórmula para calcular la tasa de variación de una función?

La tasa de variación de una función en el intervalo de x a x + h se calcula como la diferencia de la función evaluada en x + h menos la función evaluada en x.

¿Cómo se sustituye x por x + h en la función dada en el ejercicio?

Para sustituir x por x + h, se toma cada término que contiene x en la función y se reemplaza por (x + h), lo que implica elevar al cuadrado y multiplicar por 2 los términos correspondientes.

¿Qué identidad notable se aplica al desarrollar la expresión (x + h)^2?

Se aplica la identidad notable (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 para desarrollar la expresión (x + h)^2.

¿Cuál es la fórmula para la tasa de variación promedio de una función?

La tasa de variación promedio en el intervalo de x a x + h se calcula como la tasa de variación dividida por el intervalo, es decir, (f(x + h) - f(x)) / h.

¿Cómo se simplifica la expresión para obtener la tasa de variación promedio en el ejercicio?

Después de obtener la tasa de variación, se simplifica extrayendo el factor común h y dividiendo todos los términos por h para obtener la tasa de variación promedio.

¿Qué se debe tener en cuenta al realizar cálculos con variables en lugar de números?

Al trabajar con variables, se debe ser más cuidadoso y detallado en los cálculos, ya que las operaciones son más complejas que con números.

¿Cómo se puede acceder a la explicación detallada de las fórmulas para las tasas de variación?

Para acceder a una explicación detallada de las fórmulas, se puede hacer clic en el cuadro mencionado en el video donde se proporciona un enlace a un video de explicación.

¿Cómo se puede seguir a Susi para estar al tanto de nuevos videos y ejercicios?

Para seguir a Susi y estar informado sobre nuevos contenidos, se puede suscribirse al canal y seguirla en Instagram.

Outlines

00:00

📘 Introducción al ejercicio de funciones

Susi, la presentadora, inicia el video dando la bienvenida a los espectadores y anuncia que el tema será el cálculo de la tasa de variación y la tasa de variación promedio de una función en un intervalo. Expone que, aunque el ejercicio se presenta con letras en lugar de números, los conceptos son aplicables de la misma manera. Aclarando que aunque requiere más atención, no hay dificultad en realizar los cálculos con variables. Seguidamente, Susi procede a explicar el concepto de tasa de variación, proporcionando una fórmula y un enlace para un video que lo explica con más detalle. La fórmula para calcular la tasa de variación se basa en la diferencia de la función evaluada en dos puntos del intervalo, \( f(x+h) - f(x) \), y se ejemplifica con una función dada, \( x^2 - 2x \), reemplazando \( x \) por \( x+h \) y desarrollando el resultado.

05:05

🔢 Desarrollo de la tasa de variación y cálculo de la tasa promedio

Continúa el análisis del ejercicio, desarrollando la expresión para \( f(x+h) \) y mostrando el proceso de expansión y simplificación hasta obtener la fórmula completa para la tasa de variación en el intervalo. Luego, se enfoca en el cálculo de la tasa de variación promedio, que se define como la tasa de variación dividida por el intervalo \( h \). Susi resalta la importancia de tener la fórmula de la tasa de variación antes de proceder con el cálculo promedio, ya que simplifica el proceso. Finalmente, se extrae el factor común \( h \) de la fórmula y se simplifica para obtener la tasa de variación promedio, \( h - 2 - 2x \). El video concluye con un mensaje de despedida, invitando a los espectadores a interactuar con el contenido y a seguir sus redes sociales para recibir actualizaciones.

Keywords

💡Función

Una 'función' en matemáticas se refiere a una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el contexto del video, se utiliza para describir la relación matemática que se está analizando, donde se busca encontrar la tasa de variación y la tasa de variación promedio de la función en un intervalo dado.

💡Tasa de variación

La 'tasa de variación' es un concepto matemático que mide el cambio en una función con respecto a un cambio en su variable. En el video, se explica cómo calcular esta tasa para una función dada, y se utiliza para demostrar cómo se aplica el concepto de variación en una función matemática.

💡Promedio

El término 'promedio' se refiere a una medida que representa el valor central o medio de un conjunto de datos. En el guion, se menciona la 'tasa de variación promedio', que es una medida del cambio promedio de una función en un intervalo específico, y se calcula dividiendo la variación total por el tamaño del intervalo.

💡Intervalo

Un 'intervalo' en matemáticas es un rango de valores que se definen por un punto de inicio y un punto final. En el video, el intervalo se menciona en relación con el cálculo de la tasa de variación y la tasa de variación promedio de una función, y se ilustra cómo se trabaja con intervalos tanto con números como con letras.

💡Letras

En el video, se hace hincapié en que los intervalos y las funciones pueden estar representados con letras en lugar de números, lo que requiere una atención más detallada al realizar los cálculos. Esto se utiliza para enfatizar que la comprensión de los conceptos matemáticos es independiente del uso de símbolos numéricos o alfabéticos.

💡Fórmula

Una 'fórmula' es una expresión matemática que relaciona variables y constantes de una manera específica. En el guion, se mencionan fórmulas específicas para calcular la tasa de variación y la tasa de variación promedio, y se explica cómo se aplican estas fórmulas en el contexto de la función dada.

💡Desarrollo algebraico

El 'desarrollo algebraico' se refiere al proceso de expandir y simplificar expresiones algebraicas. En el video, se utiliza el desarrollo algebraico para calcular f(x+h) y para simplificar la expresión que representa la tasa de variación de la función.

💡Identidad notable

Una 'identidad notable' es una fórmula o relación matemática que es ampliamente reconocida y utilizada para simplificar cálculos. En el guion, se menciona la identidad notable para el cuadrado de una suma, que se aplica para expandir (x+h)^2 en el cálculo de la tasa de variación.

💡Factor común

Un 'factor común' es un número o variable que se multiplica por todas las términos de una expresión algebraica. En el video, se extrae el factor común 'h' de los términos de la tasa de variación para simplificar la expresión y calcular la tasa de variación promedio.

💡Substracción

La 'substracción' es una operación matemática que se utiliza para encontrar la diferencia entre dos números o expresiones. En el video, la substracción se utiliza en el cálculo de la tasa de variación y en la simplificación de la expresión para encontrar la tasa de variación promedio.

Highlights

Introducción a un ejercicio de cálculo de tasas de variación y tasas promedio de variación para una función.

Invitación a los espectadores a pausar el video para copiar el ejercicio y resolverlo antes de continuar viendo la resolución.

Explicación de que los intervalos pueden estar en letras y cómo abordarlos sin miedo si se conocen los procedimientos con números.

Fórmula para calcular la tasa de variación: diferencia de la función evaluada en x+h menos la función evaluada en x.

Sustitución de x por x+h en la función para encontrar f(x+h).

Desarrollo algebraico de (x+h)^2 utilizando la identidad notable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Eliminación de términos en la fórmula de la tasa de variación al simplificar x^2 - x^2 y -2x + 2x.

Resultado final de la tasa de variación: h^2 - 2h + 2xh.

Fórmula para la tasa promedio de variación: (variación total) / (intervalo total).

Uso de la tasa de variación previamente calculada para encontrar la tasa promedio de variación sin repetir cálculos.

Extracción del factor común h de la fórmula de la tasa promedio de variación.

Resultado final de la tasa promedio de variación: h - 2 - 2x.

Aviso sobre la importancia de la precisión en los cálculos algebraicos, especialmente cuando se trabaja con letras en lugar de números.

Conclusión del video con un recordatorio a los espectadores de dar like, compartir, suscribirse y seguir en Instagram para contenido nuevo.

Transcripts

Hello everyone, I'm Susi, welcome to my channel.

In this video we are going to do an exercise with functions,

so let's do it.

This is the exercise that we are going to do. You can pause the video to copy the exercise

and do it. Then you can press play to continue and see how it is resolved.

In this exercise we are asked to find the variation rate and the average variation rate

of this function in this interval. Normally the intervals are usually given with numbers,

but in this case I have put this exercise with letters so that when they are letters,

as in this case, do not be afraid. If you know how to do it with numbers, you know how to do it

with letters, you have to be a little more careful, but without any problem you will be able to do it.

Well, let's start with the variation rate. If you need to pass the formulas

for the variation rates, you can click on the box and there you will see a video in which

I explain it in detail. Well, the formula for the variation rate, remember that it was

a variation rate, we put the interval in this case from x to x plus h, it would be the difference

of the function by substituting x for this, the function with x plus h minus the function

with the first part of the interval, which in this case is x. Well, this is the formula.

We are going to substitute what we have here, we have to find this to subtract this.

We are going to find f of x plus h, f of x plus h means that in the function I have to substitute

every x for this, so every time an x appears I have to put x plus h. Well,

x squared, I have to put x plus h squared minus 2 times x, instead of x, x plus h.

You see? We are going to develop this expression, x plus h squared, you can multiply this,

if it is squared, it is to multiply this twice, x plus h times x plus h, or directly to

go to the result, faster you apply a notable identity, you see here a sum squared,

notable identity, if you want to review them too, click on the box. Well, if I apply it

as a notable identity, it is the square of the first, square of the first is x squared plus

the double, that is, 2 times the first times the second, that is, 2 times x times h, 2x h plus

the square of the second, the second is h, plus h squared, plus, okay, minus 2 times x, 2x,

I'm going to do something, let's put it better, down here, and let's go around here, minus

2 times x, minus 2x and minus 2 times h, minus 2h, okay? Well, now we see here if we can

operate something and we realize that no, we would have this expression, we have it like this, okay?

That is, I will be able to substitute this for all this, and now we are going to do f of x, if you realize,

I do not have to do it because f of x is the function itself, x squared minus 2x, that's it, okay?

Then we are going to find the variation rate, I am going to do it in blue, therefore the

variation rate in the interval from x to x plus h is going to be this that we have found, which is this,

x squared plus 2x h plus h squared minus 2x minus 2h minus f of x, which is this, that is, minus,

this would be the first, this, minus f of x, which is this, because I have put it between parentheses,

because be careful, when subtracting this, if I had not put the parentheses, I only have negative

x squared, but this negative affects the whole function, that is, it affects x squared and 2x,

therefore now I am going to have, from here that I can subtract x squared minus this,

that goes away, because x squared minus x squared is removed, and the minus 2x minus minus 2x,

this minus minus becomes a plus 2x, therefore minus 2x plus 2x is going to go away, and in the end,

then what I have left here, I am going to put it a little in order, I am going to put h squared

first, then I can put the minus 2h and plus 2x h, because I already have the exercise solved, the

variation rate of the function in that interval is this, okay? h squared minus 2h plus 2x h.

We are now going to do the average variation rate, here I have written the result of the

variation rate, because you will see now in the average variation rate, if we have already found the

variation rate, we no longer have to find it again, why? Because the average variation rate, its formula

is this,

the average variation rate in the interval that we have in this exercise is above the subtraction

of what it was before, that is, the average variation rate, which was the subtraction of f of x plus h minus f of x and below

the subtraction of the terms of the interval, the second minus the first, that is, x plus h minus the first

which is x in this case, okay? Well, if I have already found the variation rate as I have

done, I do not have to do it again, but that makes it easier for you, if you imagine that they only ask you for the average

variation rate, I recommend that you have the upper part first and so you will substitute it

and without any problem, okay? As I already have it, which is this, well, above I am going to put the

rate, I am going to do it in blue, the average variation rate, therefore, it will be above the variation rate

that we have already found before, which is h squared minus 2h plus 2xh and below the subtraction of this

x minus x is gone, so I only have the h left, here I can simplify this expression more,

yes, I realize that above there is a common term in all of them, in each one of them, you see?

What do they all have in common? They have a common factor, an h, because I extract that common factor,

if I extract an h from here, I have an h left, if I extract an h from here, I have a 2 left and if I extract

an h from here, I have 2x left and below I have the h, therefore, once I have extracted the factor,

you already know that this is multiplying everything, when it is multiplying, I can simplify the numerator

and the denominator, therefore, in the end, my average variation rate is going to be h minus 2 minus 2x,

this is the average variation rate of this function in this interval, well, if you have

placed it in another way, the minus 2 in front, the h behind, it does not matter the question, because the order

of the factors does not alter the product, the question is that they give you those terms,

regardless of the order, okay? Well, that would be our average variation rate, you see? With letters

you have to go a little more slowly, because in the operational way it costs you more, it is normal,

but you know how to do it if you know the formulas well.

And so far today's video, if you liked the video, give it a like and share it,

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Have a good day and see you in the next video.