11. Integral de raíz cúbica de x (potencia fraccionaria)

MateFacil

28 Nov 201402:18

Summary

TLDREn este vídeo, el presentador profundiza en el cálculo de integrales, específicamente la integral de la raíz cúbica de x. Expone la técnica de integración cambiando la raíz a un exponente fraccionario y luego aplicando la fórmula de la integral de una potencia. Detalla el proceso paso a paso, culminando en la aplicación de la regla de la herradura para simplificar la expresión. Al final, el vídeo desafía a los espectadores a intentar resolver la integral por sí mismos, prometiendo mostrar el procedimiento en el próximo episodio.

Takeaways

📘 El vídeo trata sobre cómo calcular la integral de la raíz cúbica de x.
🔢 Se utiliza la propiedad de la raíz en n, que es \( x^{\frac{1}{n}} = n^{\frac{1}{x}} \).
✅ Se transforma la integral de \( \sqrt[3]{x} \) en la integral de \( x^{\frac{1}{3}} \).
📚 Se aplica la fórmula de la integral de una potencia, \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
🔄 Se obtiene que \( \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C \).
🧮 Se simplifica la fracción al elevar el exponente y multiplicar por la inversa.
🔢 Se realiza la suma de exponentes: \( \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \).
📐 Se aplica la regla de la herradura para integrar funciones con exponentes fraccionarios.
🌱 Se convierte el exponente fraccionario en un radical, usando la fórmula \( x^{\frac{m}{n}} = (n^{\frac{1}{x}})^m \).
📝 El resultado final es \( \int \sqrt[3]{x} dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C \), que se simplifica a \( \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C \).
💡 Se invita a los espectadores a intentar realizar la integral por sí mismos antes de ver la explicación en el próximo vídeo.

Q & A

¿Qué integral se discute en el vídeo?
-El vídeo trata sobre cómo calcular la integral de la raíz cúbica de x.
¿Cuál es la propiedad utilizada para simplificar la integral de la raíz cúbica de x?
-Se utiliza la propiedad de que la raíz en potencia n sobre x es igual a x elevado a la 1/n.
¿Cómo se transforma la integral de la raíz cúbica de x utilizando la propiedad mencionada?
-Se transforma en la integral de x elevado a la 1/3.
¿Qué fórmula se utiliza para calcular la integral de x elevado a la 1/3?
-Se utiliza la fórmula de la integral de una potencia, que es x elevado a la (n+1) dividido entre n+1, donde n es 1/3 en este caso.
¿Cuál es el resultado de la integral de x elevado a la 1/3 utilizando la fórmula?
-El resultado es x elevado a la 4/3 dividido entre 4/3 más la constante de integración.
¿Qué significa 'realizar la operación un tercio más uno' mencionado en el vídeo?
-Se refiere a la suma de 1/3 (un tercio) más 1 (un entero), que se convierte en 4/3 (cuatro tercios).
¿Qué es la regla de la herradura y cómo se aplica en este caso?
-La regla de la herradura es una técnica para integrar funciones de la forma (a*x^n)/(b*x^n + c). Se aplica multiplicando los extremos por 3 y 1/4 respectivamente.
¿Cómo se convierte el exponente fraccionario en un radical según el vídeo?
-Se utiliza la propiedad que x elevado a la n/3 se convierte en la raíz cúbica de x elevado a la n, donde n es 4 en este caso.
¿Cuál es el resultado final de la integral de la raíz cúbica de x según el vídeo?
-El resultado final es la raíz cúbica de x elevado a la 4, más la constante de integración.
¿Por qué es importante notar que la raíz solo llega hasta el 3 en la integral?
-Es importante porque esto indica que la raíz cúbica no afecta a la parte de la fracción que está debajo de la línea de la integral (la equis).
¿Cómo se les anima a los espectadores al final del vídeo?
-Se les anima a intentar realizar la integral por sí mismos utilizando los conceptos y técnicas explicados en el vídeo.