Intervalo de confianza de la proporción poblacional
Summary
TLDREl guión proporciona una explicación detallada sobre cómo calcular el intervalo de confianza para una proporción de la población, utilizando muestras grandes. Se mencionan las condiciones necesarias para que la distribución muestral sea aproximadamente normal, incluyendo que n*p y n*(1-p) sean mayores o iguales a 5. Se utiliza la fórmula de la proporción más o menos z*(raíz cuadrada de p*(1-p)/n) para calcular el intervalo. Se ilustra con ejemplos, calculando intervalos de confianza al 90% y al 95% para una muestra de 800 unidades con una proporción de 0.70, utilizando la hoja de cálculo para encontrar el valor z y calcular el margen de error.
Takeaways
- 📊 La estimación de un intervalo de proporción de la población se realiza para muestras grandes (n ≥ 30) y asume que la distribución muestral de la proporción p es aproximadamente normal.
- 🔍 Para que esta aproximación sea válida, deben cumplirse dos condiciones: n*p ≥ 5 y n*(1-p) ≥ 5, donde n es el tamaño de la muestra y p es la proporción.
- 📉 La desviación estándar de la proporción muestral es dada por la raíz cuadrada de (p*(1-p))/n.
- 📚 El intervalo de confianza para una proporción se calcula con la fórmula: proporción muestral ± z*(raíz cuadrada de p*(1-p)/n), donde z es el valor zalfa/2 de la distribución normal estándar.
- 🎯 El valor zalfa/2 se determina por el nivel de confianza (1 - alfa) y representa la cantidad de área bajo la curva normal a la derecha del punto z.
- 📉 El margen de error es el producto del valor z y la desviación estándar de la proporción muestral.
- 📈 Se muestra un ejemplo práctico donde se calcula el intervalo de confianza al 90% para una muestra de 800 unidades con una proporción de 0.70.
- 🔢 En el ejemplo, se verifican las condiciones para la aproximación normal, y se calcula el valor z correspondiente al nivel de confianza deseado (1.64 para un 90% de confianza).
- 📝 Se describe el proceso de calcular el intervalo de confianza utilizando una hoja de cálculo, incluyendo el uso de la función de distribución normal inversa para encontrar el valor z.
- 🔄 Se ilustra cómo cambiar el nivel de confianza afecta el valor de z y, en consecuencia, el intervalo de confianza resultante, como se muestra en el ejemplo de un intervalo de confianza al 95%.
- 📋 Finalmente, se explica cómo interpretar los intervalos de confianza en términos de porcentaje, indicando la probabilidad de que la proporción de la población esté dentro de cierto rango.
Q & A
¿Cuándo es apropiado usar una distribución normal para estimar una proporción de la población?
-Es apropiado cuando el tamaño de la muestra es mayor o igual a 30 y se cumplen las condiciones de n * p ≥ 5 y n * (1 - p) ≥ 5, donde n es el tamaño de la muestra y p es la proporción.
¿Qué es la desviación estándar de una proporción muestral y cómo se calcula?
-La desviación estándar de una proporción muestral es igual a la raíz cuadrada de (p * (1 - p)) / n, donde p es la proporción en la muestra y n es el tamaño de la muestra.
¿Cómo se determina el valor z para un intervalo de confianza específico?
-El valor z se determina a partir de una tabla de valores z, buscando el valor que corresponde a la probabilidad complementaria a la mitad del nivel de confianza (alfa/2).
¿Cuál es la fórmula para calcular el intervalo de confianza de una proporción?
-La fórmula es p ± z * sqrt((p * (1 - p)) / n), donde p es la proporción muestral, z es el valor z correspondiente al nivel de confianza y n es el tamaño de la muestra.
¿Cómo se calcula el margen de error en el intervalo de confianza de una proporción?
-El margen de error se calcula como z * la desviación estándar de la proporción, donde z es el valor zeta correspondiente al nivel de confianza.
¿Qué tamaño de muestra (n) se utiliza en el ejemplo proporcionado en el guion?
-En el ejemplo, el tamaño de la muestra (n) es de 800 unidades.
¿Cuál es la proporción (p) en la muestra del ejemplo del guion?
-La proporción (p) en la muestra del ejemplo es de 0.70.
¿Cuál es el nivel de confianza utilizado en el primer ejemplo del guion y cuál es el intervalo de confianza resultante?
-El nivel de confianza utilizado en el primer ejemplo es del 90%, y el intervalo de confianza resultante es de 0.6734 a 0.7266.
¿Cómo se utiliza una hoja de cálculo para calcular el intervalo de confianza de una proporción?
-Se utiliza la función de distribución normal estándar inversa para encontrar el valor z, y luego se aplica la fórmula del intervalo de confianza en la celda correspondiente.
¿Cuál es el valor z para un nivel de confianza del 95% y cómo se determina?
-El valor z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, determinado a través de una tabla de valores z buscando la probabilidad complementaria a 0.025 (alfa/2).
¿Cuál es el intervalo de confianza para un nivel del 95% en el segundo ejemplo del guion?
-El intervalo de confianza para un nivel del 95% es de 0.6682 a 0.7318.
Outlines
📊 Estimación de Intervalo de Proporción con Muestras Grandes
El primer párrafo explica cómo estimar el intervalo de una proporción de la población para muestras grandes (n ≥ 30), utilizando la distribución normal aproximada de la proporción muestral. Se mencionan las condiciones necesarias para que esta aproximación sea válida: n * p ≥ 5 y n * (1 - p) ≥ 5. La fórmula para calcular el intervalo es p ± z * sqrt(p * (1 - p) / n), donde z es el valor z-esfuerzo correspondiente al nivel de confianza (1 - α), y sqrt(p * (1 - p) / n) es el error estándar de la proporción. Se ilustra con un ejemplo de una muestra de 800 unidades con una proporción de 0.7 y un nivel de confianza del 90%.
🔢 Hallazgo del Valor Z y Cálculo del Intervalo de Confianza
Este párrafo se enfoca en cómo determinar el valor z para un nivel de confianza específico, utilizando una tabla de valores z. En el ejemplo dado, para un 90% de confianza, se busca z0.05, que se encuentra en la tabla correspondiente a una probabilidad de 0.95 a la izquierda, resultando en z = 1.64. Luego, se calcula el intervalo de confianza para la proporción muestral de 0.7, obteniendo un rango de 0.6734 a 0.7266.
📉 Cálculo del Intervalo de Confianza al 95%
En el tercer párrafo, se muestra cómo ajustar el cálculo del intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95%. Se determina el nuevo valor z correspondiente a α/2 = 0.025, que es z = 1.96. Con esto, se recalcula el intervalo de confianza, resultando en un rango de 0.6682 a 0.7318, indicando que con un 95% de confianza, la proporción de la población está dentro de este intervalo.
📈 Interpretación del Intervalo de Proporción en Porcentajes
El último párrafo ofrece una interpretación en porcentajes del intervalo de proporción calculado. Se traduce el intervalo numérico al 90% de confianza (67.34% - 72.66%) y al 95% de confianza (66.82% - 73.18%), facilitando la comprensión de la estimación de la proporción de la población en términos de porcentajes.
Mindmap
Keywords
💡Intervalo de confianza
💡Proporción
💡Distribución muestral
💡Condiciones de normalidad
💡Desviación estándar de la proporción
💡Valor z
💡Nivel de confianza
💡MARGEN DE ERROR
💡Tabla de valores z
💡Hoja de cálculo
Highlights
Para muestras grandes, cuando el tamaño de la muestra es mayor o igual a 30, la distribución muestral de la proporción p es aproximadamente normal.
Las condiciones necesarias son: n por p debe ser mayor o igual a 5 y n por (1 - p) debe ser mayor o igual a 5.
La desviación estándar de la proporción se calcula como la raíz cuadrada de (p x (1 - p) / n).
El intervalo de una proporción de la población se calcula como la proporción más o menos un valor z multiplicado por el error estándar.
El valor z se determina por el nivel de confianza, 1 - alfa.
Ejemplo: con una muestra de 800 unidades y una proporción de 0.70, se pide determinar el intervalo de confianza del 90%.
Para n = 800 y p = 0.70, se cumplen las condiciones de normalidad: 800 x 0.70 = 560 y 800 x 0.30 = 240, ambos mayores a 5.
Nivel de confianza del 90% implica un alfa de 0.10 y alfa sobre 2 es 0.05.
El valor z correspondiente a 0.05 en la cola superior es 1.64.
Intervalo de confianza del 90%: 0.70 +/- 1.64 x error estándar (0.0266).
El intervalo resultante es [0.6734, 0.7266].
Para un intervalo de confianza del 95%, alfa es 0.05 y alfa sobre 2 es 0.025.
El valor z correspondiente a 0.025 en la cola superior es 1.96.
Intervalo de confianza del 95%: 0.70 +/- 1.96 x error estándar (0.0318).
El intervalo resultante es [0.6682, 0.7318].
Interpretación: hay un 95% de probabilidad de que la proporción de la población esté entre 0.6682 y 0.7318.
Interpretación para el 90%: hay un 90% de probabilidad de que la proporción de la población esté entre 0.6734 y 0.7266.
Transcripts
estimación de intervalo de una
proporción de la población
tenemos que para muestras grandes es
decir cuando el tamaño de la muestra es
mayor o igual a 30 la distribución
muestral de la proporción p es
aproximadamente normal para esto se
deben cumplir las siguientes condiciones
n por p debe ser mayor o igual a 5 y
también n x 1 - p debe ser mayor o igual
a 5 donde n es el tamaño de la muestra y
p es la proporción entonces cumpliéndose
estas condiciones la distribución
muestral de la proporción es
aproximadamente normal tal como lo
tenemos en este gráfico en el centro
tenemos la proporción con una desviación
estándar de la proporción que es igual a
la raíz cuadrada de
x 1 - p / n entonces si la distribución
muestral de la proporción es
aproximadamente normal el intervalo de
una proporción de la población se puede
calcular con esta fórmula tenemos la
proporción más menos un valor z
multiplicado por esta raíz cuadrada pero
hemos visto que esta raíz cuadrada es la
que tenemos aquí y esto es la desviación
estándar de la proporción entonces lo
que tenemos aquí es la proporción más
menos zeta x el error estándar de la
proporción veamos sus componentes que es
la proporción de la muestra tenemos aquí
el valor z alfa sobre 2 observamos que
aquí en la distribución tenemos en el
centro uno menos alfa y por lo tanto en
los extremos tenemos alfa sobre 2
entonces aquí tenemos un valor z este
valor z
z alfa sobre 2 es decir el valor z alfa
sobre 2 es el valor z que origina una
área de alfa sobre 2 esta área
en el extremo superior de la
distribución normal estándar entonces
aquí en este punto se encuentra este
valor se está alfa sobre 2 y este valor
se está alfa sobre 2 está determinado
por el nivel de confianza
1 - alfa por lo tanto cuando
determinamos el nivel de confianza
estamos determinando el valor z alfa
sobre 2 y la distancia que hay entre la
proporción y este valor se está es el
margen de error que es precisamente lo
que tenemos aquí se está alfa sobre 2 x
el error estándar es esta distancia ya
que tenemos esta fórmula para calcular
el intervalo para una proporción vamos a
ver un ejemplo
tenemos aquí una muestra de 800 unidades
con una proporción de puntos 70 nos
piden determinar el intervalo de
confianza de 90% entonces tenemos la
siguiente información n que es el tamaño
de la muestra es 800
la proporción de esta muestra es de
punto 70 ahora debemos cumplir estas dos
condiciones para que la distribución
muestral sea aproximadamente normal
entonces vamos a ver en el x p n que es
800 x p qué vale punto 70 esto nos da
igual a
560 esto efectivamente es mayor o igual
a 5 entonces se cumple esta condición la
otra condición es que n x 1 - d
también sea mayor a 5 n vale 800
x 1 p te vale punto 70 entonces 1 - te
vale punto 30
por lo tanto 800 por punto 30 nos da
240 esto efectivamente es mayor que 5
entonces se cumple la condición
ya que se cumplieron estas dos
condiciones podemos decir que la
distribución muestral de esta proporción
efectivamente es una distribución normal
entonces tenemos aquí la distribución
normal en el centro tenemos la
proporción de la población y en los
extremos tenemos alfa sobre 2 aquí
también tenemos alfa sobre 2 en el
centro por lo tanto nos queda uno menos
alfa que es el nivel de confianza y el
nivel de confianza hemos dicho que es
punto 90
entonces ponemos aquí el nivel de
confianza 1 - alfa que es punto 90 y por
lo tanto alfa vale punto 10
recordemos que el área total bajo la
curva es 1 sí uno menos alfa es punto 90
por lo tanto alfa vale punto 10 y
entonces alfa sobre 2 es igual a punto
05
lo que significa que aquí esta
probabilidad vale punto 05 entonces lo
que nos interesa es hallar el valor
7.05 es decir el valor z que se
encuentra justo en este punto que es el
valor se está punto 05 como hallamos
este valor z
vamos a utilizar la tabla de valores z
estamos aquí en una tabla de valores z
vamos a hallar el valor z punto 05 ahora
esta tabla de valores z nos da la
probabilidad a la izquierda si sabemos
que la probabilidad a la derecha es
punto 05 entonces a la izquierda tenemos
una probabilidad de
1.05 esto es igual a punto
950 entonces vamos a buscar este valor
en el cuerpo de esta tabla el valor más
próximo a punto 950 es
punto 94 95
entonces en esta fila tenemos el valor z
1.6 y en el encabezado tenemos punto 04
sumamos estos dos valores 1.6 más punto
04 nos da
1.64
este es el valor z de tal manera que a
la izquierda hay una probabilidad de
punto 95 y por lo tanto a la derecha hay
una probabilidad de punto 05 por lo
tanto nos quedamos con este valor
1.64
entonces el valor se está buscado vale
1.64
entonces utilizando esta fórmula vamos a
calcular el intervalo al 90% de
confianza tenemos el valor de la
proporción que vale punto 70 + menos el
valor z que es éste
1.64
multiplicado por la raíz cuadrada de la
proporción que vale punto 70
esto por uno menos la proporción que es
punto setenta
esto /
n que es el tamaño de la muestra que
vale 800
entonces nos queda punto 70 más menos
esta multiplicación nos da punto cero
266
por lo tanto el intervalo queda de la
siguiente manera punto 70 - punto cero
266 es punto
67 34 y el otro extremo del intervalo es
punto 70 + punto 0 2 66 nos da puntos
72-66 listo este es el intervalo de la
proporción con un nivel de confianza del
90 por ciento
ahora veamos cómo calcular este
intervalo de la proporción con la hoja
de cálculo estamos aquí en la hoja de
cálculo tenemos los datos la muestra que
es 800 la proporción que es punto 70 y
el nivel de confianza 1 - alfa que vale
punto 90 tenemos aquí la fórmula para el
intervalo de la proporción entonces la
proporción que vale puntos 70 el valor z
punto 05 que vale 1.64 vamos a ver como
obtuvimos este valor
1.64
simplemente nos ubicamos en esta celda
nos vamos a efe x
en categoría vamos a elegir estadísticas
y buscamos la distribución normal
estándar inversa la tenemos aquí
distribución normal estándar inversa
clic en siguiente y aquí recordemos que
la hoja de cálculo nos da la
probabilidad a la izquierda tal como lo
tenemos en este gráfico sabemos que la
probabilidad en el extremo superior es
punto 05 entonces a la izquierda tenemos
una probabilidad de punto 95 ese es el
valor que vamos a colocar aquí punto 95
le damos clic en aceptar y obtenemos el
valor 1.64 luego tenemos aquí esta raíz
que es la desviación estándar de la
proporción simplemente lo hacemos con
estos cálculos ponemos raíz y entre
paréntesis ponemos punto 70 que es la
proporción x 1 - la proporción que es
punto 70 esto dividido entre l que es
800 a todo esto le sacamos la raíz
y nos da esto punto 0 162 entonces
multiplicamos estos dos factores y nos
da punto 0
266 este es el margen de error es decir
la multiplicación del valor z por el
error estándar finalmente tenemos que el
intervalo de confianza nos queda punto
70 menos punto 0 266 nos da este valor
lo tenemos aquí esto en azul menos esto
que está en rojo nos da puntos 67 34 y
el otro extremo del intervalo es la
proporción que está el azul más el error
de estimación que es punto 0 266 nos da
puntos
72-66 entonces este intervalo es justo
lo que tenemos aquí punto 67 34 y puntos
72-66 veamos otro ejemplo tenemos los
mismos datos pero ahora nos piden
determinar el intervalo de confianza
al
95% entonces tenemos que n es igual a
800 la proporción es la misma punto 70
y lo que cambia es el nivel de confianza
tenemos 1 - alfa que ahora vale punto 95
por lo tanto alfa es igual a punto 05
es decir alfa sobre 2 es igual a punto
025 por lo tanto aquí en la distribución
normal tenemos la proporción y ahora
este valor alfa sobre 2 vale esto
punto
025 por lo tanto nos interesa encontrar
el valor z de tal manera que en el
extremo superior hay una probabilidad de
punto 025 hay que hallar este valor zeta
ceta punto
025 nuevamente nos vamos a la tabla de
valores z
sabemos que el valor z punto 0 25
es lo mismo que 1 - punto 0 25 esto es
igual a punto
975 es decir si a la derecha hay una
probabilidad de punto 0 25 a la
izquierda hay una probabilidad de punto
975 buscamos este valor en la tabla
punto 975 lo tenemos justo aquí
y esta probabilidad corresponde al valor
z
1.9 y en el encabezado tenemos punto 06
sumamos estos dos valores 1.9 con punto
0 6 nos da un 1.96 por lo tanto el valor
se está buscando es
1.96 nos regresamos al ejercicio y
decimos que el valor se está buscando es
1.96
entonces ahora si podemos utilizar la
fórmula para calcular el intervalo
tenemos la proporción que es punto 70 +
menos el valor setup que es
1.96 multiplicado por la desviación
estándar de la proporción que es la raíz
cuadrada de la proporción punto setenta
por uno menos peques puntos setenta
esto / n que es el tamaño de la muestra
que vale 800 entonces nos queda punto 70
más o menos
esta multiplicación nos da punto 0
318
este es el margen de error es decir el
error de estimación y por lo tanto el
intervalo es punto 70 menos punto 0 318
es punto 66 82 y el otro extremo del
intervalo es punto 70 más punto 0 318 es
punto
73 18 este es el intervalo para la
proporción con un nivel de confianza del
95%
por lo tanto decimos que hay una
probabilidad del 95% de que la
proporción de la población esté entre
puntos 66 82 y punto 73 18 de la misma
manera podemos interpretar este
intervalo al 90 por ciento es decir
decimos que hay un 90 por ciento de
confianza de que la proporción de la
población esté
punto 67 34 y punto 72 66 en términos
porcentuales podemos decir que la
proporción de la población puede estar
entre 67 puntos 34 % y 72 puntos 66 por
ciento esto con un nivel de confianza
del 90 por ciento
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