Producto interno - Ejercicio resuelto - ¿Es un producto interno de R2 la función (v,w)=8v1w1-3v2w2?

Summary

El guión de este video trata sobre la verificación de si una función dada define un producto interno en el espacio vectorial R². Se discute la importancia de que el producto interno de un vector consigo mismo sea siempre no negativo, a pesar de que comúnmente se comete el error de pensar que siempre debe ser positivo. El ejercicio implica analizar si la función cumple con las propiedades de un producto interno, incluyendo la no negatividad. Se concluye que la función no cumple con la primera propiedad, ya que puede ser negativa, utilizando un ejemplo de vector donde el término negativo es mayor en valor absoluto, lo que demuestra que la función no define un producto interno.

Takeaways

• 📚 El ejercicio trata de determinar si una función dada define un producto interno en un espacio vectorial de R^2.
• 🔍 Se revisa si la función cumple con las propiedades de un producto interno, comenzando por la primera propiedad.
• 🤔 Se aclara un posible malentendido sobre el producto interno, que no siempre tiene que ser no negativo entre vectores distintos.
• 📉 Se analiza la función dada, que involucra la suma y resta de productos de componentes de vectores.
• ✅ Se confirma que el primer término del producto interno siempre será positivo, debido a que es el cuadrado de un número real.
• ❌ Se señala que el segundo término puede ser negativo, dependiendo de los valores de los componentes del vector.
• 🔢 Se concluye que la función no siempre da un resultado no negativo, lo que indica que no cumple con la primera propiedad del producto interno.
• 🚫 Se proporciona un contraejemplo para demostrar que la propiedad no se cumple, eligiendo vectores que hacen que el término negativo sea mayor.
• 📉 Se calcula el producto interno de un vector con su mismo, mostrando que puede ser negativo si el término negativo domina.
• 🔚 Se concluye que la función no define un producto interno válido, ya que no cumple con la propiedad de ser siempre no negativo.

Q & A

¿Qué es un producto interno y qué se necesita para definir uno en R²?

Un producto interno es una operación que toma dos vectores y devuelve un escalar. En R², se necesita una función que tome dos vectores y devuelva un número real, cumpliendo con ciertas propiedades como ser lineal y simétrica.

¿Cuál es la primera propiedad del producto interno que se menciona en el guión y qué significa?

La primera propiedad mencionada es que el producto interno de un vector con él mismo debe ser siempre mayor o igual a cero. Esto significa que el resultado de multiplicar un vector por sí mismo no puede ser negativo.

¿Por qué es común cometer el error de pensar que el producto interno entre dos vectores cualquiera siempre es mayor o igual a cero?

Es un error común porque la propiedad de no negatividad se aplica solo al producto interno de un vector consigo mismo, no necesariamente entre dos vectores diferentes, donde el resultado puede ser negativo.

¿Cómo se define la función en el guión para calcular el producto interno de dos vectores en R²?

La función se define como la suma de la multiplicación de las primeras componentes de los vectores (8v1*w1) y la resta de la multiplicación de las segundas componentes (-3v2*w2).

¿Por qué el término '8v1*w1' siempre es positivo?

El término '8v1*w1' siempre es positivo porque es la multiplicación de un número real (v1 o w1) por 8, y el producto de un número real y un número positivo siempre da como resultado un número positivo.

¿Cuál es el problema con el término '-3v2*w2' para cumplir con la propiedad de no negatividad?

El problema es que, aunque 'v2*w2' es siempre positivo (ya que es la multiplicación de dos números reales), multiplicarlo por -3 lo hace negativo, lo que puede hacer que el producto interno sea negativo, dependiendo de los valores de v2 y w2.

¿Cómo se elige un contraejemplo para demostrar que la propiedad de no negatividad no se cumple?

Se elige un vector donde la componente que contribuye al término negativo sea mayor en valor absoluto que la del término positivo. Por ejemplo, poner cero en la primera componente para que el término positivo sea cero y un número distinto de cero en la segunda componente.

¿Qué sucede si el término negativo es mayor en valor absoluto que el término positivo en el producto interno definido en el guión?

Si el término negativo es mayor en valor absoluto, el resultado del producto interno será negativo, lo que violaría la propiedad de que el producto interno de un vector consigo mismo debe ser no negativo.

¿Cómo se calcula el producto interno del vector [0, 1] con sí mismo según la función dada en el guión?

Al poner cero en la primera componente, el término positivo (8v1*w1) se anula y el término negativo (-3v2*w2) se convierte en -3, ya que ambas segundas componentes son 1, resultando en un producto interno negativo.

¿Por qué la función dada en el guión no define un producto interno válido?

La función no define un producto interno válido porque no cumple con la propiedad de que el producto interno de un vector consigo mismo debe ser siempre no negativo, como se demuestra con el contraejemplo.