Razón de cambio - Problema 1

Summary

Este video explica cómo calcular la velocidad de cambio del volumen de un cubo cuando su arista crece a razón de 2 cm por segundo. A través de un ejemplo, se ilustra cómo usar la fórmula del volumen de un cubo, V = a³, y derivarla respecto al tiempo para encontrar la tasa de cambio del volumen. Se presentan los pasos detallados, incluyendo la sustitución de valores conocidos (como la arista de 5 cm) y la razón de cambio de la arista (2 cm/s), resultando en una velocidad de cambio del volumen de 150 cm³/s. Un excelente ejemplo de la aplicación de derivadas en tasas relacionadas.

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Q & A

¿Qué información nos proporciona el problema sobre la Arista del cubo?

El problema nos dice que la Arista del cubo crece a razón de 2 cm por segundo, lo cual es una tasa de cambio positiva, ya que la Arista está aumentando en tamaño.

¿Cómo se relaciona el volumen del cubo con su Arista?

El volumen de un cubo se calcula como el valor de su Arista elevado al cubo, es decir, V = a³, donde 'a' es la longitud de la Arista.

¿Qué queremos encontrar en este problema?

Se nos pide encontrar a qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la Arista mide 5 cm.

¿Cuál es la fórmula matemática para derivar el volumen con respecto al tiempo?

La derivada del volumen con respecto al tiempo se obtiene aplicando la regla de la cadena: dV/dt = 3a² * (da/dt), donde dV/dt es la tasa de cambio del volumen y da/dt es la tasa de cambio de la Arista.

¿Qué información se tiene sobre la Arista en el momento específico que nos interesa?

En el momento que la Arista mide 5 cm, la tasa de cambio de la Arista es de 2 cm por segundo, es decir, da/dt = 2 cm/s.

¿Cómo se aplica la fórmula para encontrar la tasa de cambio del volumen?

Para calcular la tasa de cambio del volumen, sustituimos los valores en la fórmula derivada: dV/dt = 3 * (5 cm)² * 2 cm/s. Esto da como resultado 150 cm³/s.

¿Qué unidades resultan de la tasa de cambio del volumen?

Las unidades de la tasa de cambio del volumen son centímetros cúbicos por segundo (cm³/s), ya que el volumen se mide en cm³ y el tiempo en segundos.

¿Qué significa que la Arista esté creciendo a razón de 2 cm por segundo?

Significa que la longitud de la Arista aumenta en 2 cm cada segundo, lo que se representa como la derivada de la Arista con respecto al tiempo, da/dt = 2 cm/s.

¿Por qué se utiliza la derivada de la función volumen en este problema?

La derivada de la función volumen se utiliza para encontrar cómo cambia el volumen del cubo con respecto al tiempo, ya que la Arista está cambiando con el tiempo.

¿Qué es una tasa de cambio relacionada en problemas de este tipo?

Una tasa de cambio relacionada es un concepto en cálculo donde varias cantidades están cambiando de manera simultánea, y se utilizan derivadas para encontrar cómo se relacionan estas tasas de cambio entre sí, como en este caso entre la Arista y el volumen del cubo.