Integración por sustitución | Ejemplo 11 | Seno

Matemáticas profe Alex

8 Sept 201806:01

Summary

TLDREn este vídeo tutorial, el instructor explica cómo resolver integrales por sustitución con un ejemplo específico, enfocándose en la integral del seno. Se recuerda que la integral del seno de x es igual a menos coseno de x, basándose en la relación entre integral y derivada. A continuación, se practica la sustitución para simplificar la integral de seno de 3x, demostrando paso a paso cómo realizar la sustitución y completar la integral. Al final, se invita a los estudiantes a practicar con un ejercicio similar y se ofrece el curso completo de integrales en el canal del instructor.

Takeaways

📘 La integral del seno de x es igual a menos el coseno de x.
🔄 La integral es el operador inverso de la derivada.
📐 Se utiliza la sustitución para resolver integrales complejas.
🔢 Se sustituye lo que está dentro del ángulo por una variable u.
🔄 Al realizar la sustitución, se toma la derivada de la expresión dentro del ángulo.
📉 La derivada de 3x es 3, y se utiliza para simplificar la integral.
📌 Se debe recordar que la integral de una fracción se distribuye.
🔄 Al final de la sustitución, se reemplaza la variable de sustitución (u) por la original (3x).
✅ Se menciona la importancia de mantener la consistencia en las variables, empezando y terminando con la misma.
📑 Se ofrece un ejercicio práctico para que los estudiantes apliquen lo aprendido.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver la integral en el ejercicio presentado en el video?
-El método utilizado es la sustitución, que consiste en reemplazar una parte de la integral por una nueva variable para simplificar el cálculo.
¿Cuál es la integral del seno de x?
-La integral del seno de x es igual a -coseno de x + C.
¿Por qué la integral del seno es -coseno?
-La integral del seno es -coseno porque la derivada del coseno es -seno, y la integral es la operación inversa a la derivada.
¿Qué indica que se debe utilizar la sustitución en el ejercicio presentado?
-Se utiliza la sustitución porque la derivada de la expresión dentro del ángulo (3x) aparece fuera de la integral.
¿Qué se debe hacer cuando aparece un número multiplicando dentro de la función a integrar, como el 3 en 3x?
-Se debe dividir la integral por ese número, en este caso, se pasa el 3 al otro lado de la ecuación como 1/3.
¿Cuál es la regla importante que se debe seguir al hacer sustituciones en integrales?
-Al finalizar la integración, es importante volver a la variable original con la que se comenzó, en este caso, volver de la u a la x.
¿Qué se debe hacer si hay un número dividiendo en la integral, como el 3 en el ejercicio?
-Si hay un número dividiendo en la integral, como el 3, se saca fuera de la integral y se coloca en el denominador.
¿Qué se obtiene después de integrar el seno de 3x usando la sustitución?
-Después de integrar, se obtiene -1/3 * coseno de 3x + C.
¿Por qué el resultado final tiene un signo negativo frente al coseno?
-El signo negativo aparece porque la integral del seno es -coseno, debido a que la derivada del coseno es -seno.
¿Qué pasos adicionales se deben tomar al finalizar el ejercicio para presentar el resultado de forma correcta?
-Se debe multiplicar la fracción por el coseno y reescribir el negativo correctamente. Además, se debe cambiar la u por 3x al final del ejercicio para mantener la variable original.

Outlines

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📘 Introducción a las integrales por sustitución

En este primer párrafo, se da la bienvenida a los estudiantes al curso de integrales, destacando que el tema central del video es la solución de integrales por sustitución. Se presenta el ejercicio a resolver, que incluye la integral del seno. Se recuerda que la integral es la operación contraria a la derivada y se explica por qué la integral del seno es el coseno negativo, relacionando esto con la derivada del coseno. El enfoque principal es entender el uso de la sustitución cuando hay funciones complejas dentro del ángulo y cómo la derivada externa indica la viabilidad de usar esta técnica.

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🧠 Ejemplo detallado de sustitución en integrales

Este párrafo continúa con el ejemplo práctico. Se explica el proceso de sustitución, comenzando con la elección de la variable interna, en este caso, 3x. Se deriva para simplificar la expresión y luego se sustituye el valor obtenido en la integral. Se resalta cómo el factor 3 se debe sacar de la integral al estar en el denominador. Finalmente, se completa la integral del seno y se ajusta el resultado para que la respuesta quede en términos de la variable original (3x). También se menciona la importancia de mantener la coherencia con la variable con la que se empezó.

🔄 Sustitución y finalización del ejercicio

Aquí se describe el proceso final del ejercicio. Se repiten los pasos de sustitución con otros valores, destacando cómo el denominador (3) debe ser sacado de la integral y cómo se simplifican las expresiones resultantes. Se llega a la integral final del seno, destacando nuevamente el coseno negativo, y se efectúa el cambio de la variable u por la original (3x - 5). Se presentan dos formas correctas de expresar la solución y se concluye el ejercicio. Finalmente, se invita a los estudiantes a seguir practicando y a suscribirse al canal para acceder al curso completo de integrales.

Mindmap

Keywords

💡Integrales

Integrales son una parte fundamental del cálculo, que se utilizan para calcular el área bajo una curva. En el video, se aborda la integral como el operador que encuentra la antiderivada de una función, es decir, la función original antes de que se aplique su derivada. Se menciona que la integral del seno es el coseno negativo, lo cual se utiliza para resolver el ejercicio propuesto.

💡Sustitución

La sustitución es una técnica utilizada en el cálculo integral para transformar una integral compleja en una más simple. En el video, se practica la sustitución para resolver una integral que involucra al seno de una función. Se elige una sustitución apropiada para simplificar la integral y se muestra cómo se aplica el proceso paso a paso.

💡Derivada

La derivada es un concepto del cálculo diferencial que indica cómo cambia una función con respecto a una variable. En el video, se recuerda que la integral es el opuesto de la derivada y se usa la derivada para recordar la fórmula de la integral del seno, que es el coseno negativo.

💡Seno

El seno es una función trigonométrica que representa la relación entre la longitud del lado opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el video, se busca la integral del seno de una variable, que resulta ser el coseno negativo de esa variable.

💡Coseno

El coseno es otra función trigonométrica que representa la relación entre la longitud del lado adjacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el video, se menciona que la integral del seno da como resultado el coseno negativo, y se utiliza esta relación para resolver la integral por sustitución.

💡Ángulo

El ángulo es un término geométrico que se refiere a la medida del espacio entre dos líneas que se encuentran en un punto. En el video, el ángulo se refiere al argumento de la función seno, que es la variable dentro de la función trigonométrica que se está integrando.

💡Ejercicio

El video presenta un ejercicio práctico para que los espectadores apliquen los conceptos aprendidos. El ejercicio es un caso de integral por sustitución que involucra al seno de una función, y se espera que los espectadores lo resuelvan siguiendo los pasos explicados en el video.

💡Cambio de variable

El cambio de variable es una técnica matemática que se utiliza para transformar una integral en otra más manejable. En el video, se practica el cambio de variable 'u' para simplificar la integral del seno de una función, demostrando cómo se elige 'u' y cómo se aplican las reglas de la derivada para llevar a cabo la sustitución.

💡Antiderivada

La antiderivada es una función cuya derivada da la función original. En el video, se busca la antiderivada de la función seno para calcular la integral, y se recuerda que la integral del seno es el coseno negativo, que es la antiderivada en este caso.

💡Área bajo la curva

El cálculo de la integral se utiliza para encontrar el área bajo la curva de una función. Aunque no se menciona explícitamente en el video, la integral del seno y su resultado en el coseno negativo están relacionadas con el cálculo de áreas en contextos geométricos.

💡Practicar

El video enfatiza la importancia de la práctica para dominar conceptos matemáticos. Se invita a los espectadores a pausar el video y resolver el ejercicio propuesto para aplicar lo aprendido sobre integrales por sustitución y fortalecer sus habilidades.

Highlights

Bienvenidos al curso de integrales.

Veremos un ejemplo de solución de integrales por sustitución.

Recordamos que la integral del seno de x es igual a menos coseno de x.

La integral es lo contrario de la derivada.

Recordamos la derivada del coseno para entender la integral del seno.

Vamos a practicar la sustitución en la integral.

Sustituimos lo que está por dentro del ángulo.

Explicamos cómo se hace la sustitución en la integral del seno de 3x.

Sustituimos 3x por u y encontramos la derivada de u.

Dividimos por la derivada de u para simplificar la integral.

Sustituimos la integral del seno de 3x por la integral del seno de u.

Recuerda que la integral del seno es menos coseno.

Terminamos la integral cambiando de vuelta u por 3x.

Recordamos que debemos terminar con la misma variable con la que empezamos.

Presentamos dos formas de escribir la respuesta final.

Explicamos cómo se maneja el signo negativo en la respuesta.

Deja un ejercicio para que los estudiantes practiquen.

Invitamos a suscribirse, comentar, compartir y dar like al vídeo.

Anunciamos que el curso completo de integrales está disponible en el canal.